1 如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点。若线段PA的长为5，则线段PB的长为 （）

A.8
B.7
C.6
D.5
（第1题）

1. D

【分析】
解题时首先提取题干已知条件：①直线CD是线段AB的垂直平分线，②点P在直线CD上，③PA=5，要求PB的长度。此时应回忆线段垂直平分线的相关性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，结合P点的位置，可直接得到PB和PA的等量关系，代入数值即可求出PB的长度。
【解析】
∵直线CD是线段AB的垂直平分线，点P在CD上，
根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，
∴PB = PA，
又
∵PA = 5，
∴PB = 5，
故选D。
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是基础类题目，直接考察线段垂直平分线性质的应用，熟练掌握相关性质即可快速得出答案，无需复杂推导。
【难度系数】
0.9

2 [2024 凉山]如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$DE$垂直平分$AB$，交$BC$于点$D$，连接$AD$。若$△ ACD$的周长为$50\ \mathrm{cm}$，则$AC+BC$的长为（）

A.$25\ \mathrm{cm}$
B.$45\ \mathrm{cm}$
C.$50\ \mathrm{cm}$
D.$55\ \mathrm{cm}$

2. C

【分析】
解题时首先观察题目条件，看到DE垂直平分AB，立刻联想到线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，因此可得AD=BD。接下来分析△ACD的周长组成：△ACD的周长=AC+CD+AD，将AD替换为相等的BD后，式子变为AC+CD+BD，而CD+BD恰好是BC的长度，因此△ACD的周长就等于AC+BC，结合已知周长数值即可直接得到答案。
【解析】
解：
∵DE垂直平分AB，点D在DE上
∴根据线段垂直平分线的性质，得$AD=BD$
∵△ACD的周长为$50\ \mathrm{cm}$
∴$C_{△ ACD}=AC + CD + AD = 50\ \mathrm{cm}$
将$AD=BD$代入上式，得：
$AC + CD + BD = 50\ \mathrm{cm}$
又
∵$CD + BD = BC$
∴$AC + BC = 50\ \mathrm{cm}$
故选C。
【答案】C
【知识点】
线段垂直平分线的性质、三角形周长计算
【点评】
本题是基础应用类题型，核心是利用线段垂直平分线的性质完成线段的等量代换，将未知的线段和转化为已知的三角形周长，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质。
【难度系数】
0.8

3 如图,点D在△ABC的边BC上.如果DB=DA,那么点D在线段的垂直平分线上;如果BC=BD+AD,那么点D在线段的垂直平分线上.

3. AB AC

【分析】
解题时先回忆线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。对于第一个空，已知DB=DA，可直接判断点D到A、B两点距离相等，对应到AB的垂直平分线上；对于第二个空，先结合BC的组成BC=BD+DC，和已知条件BC=BD+AD做等量代换，推导出AD=DC，即可判断点D到A、C两点距离相等，对应到AC的垂直平分线上。
【解析】
1. 求解第一个空：
根据线段垂直平分线的判定定理，若点到线段两端点的距离相等，则该点在这条线段的垂直平分线上。
已知DB=DA，即点D到点A、点B的距离相等，因此点D在线段AB的垂直平分线上。
2. 求解第二个空：
由线段和的定义可知，BC=BD+DC，结合题中给出的BC=BD+AD，进行等量代换可得：
$\boldsymbol{BD+DC = BD+AD}$
等式两边同时减去BD，可得$AD=DC$，即点D到点A、点C的距离相等，因此点D在线段AC的垂直平分线上。
【答案】
AB；AC
【知识点】
线段垂直平分线的判定，等量代换
【点评】
本题属于基础题，核心考查线段垂直平分线的判定定理的应用，解题的关键是结合已知条件推导出点到对应线段两端的距离相等，熟练掌握该判定定理可快速求解这类问题。
【难度系数】
0.9

4 如图，线段AB的垂直平分线与线段BC的垂直平分线的交点P恰好在AC上，且AC=10 cm，则点B到点P的距离为 cm.

4. 5

【分析】
解题时首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。已知点P是AB、BC两条线段垂直平分线的交点，因此可以先推出PA=PB、PB=PC，进而得到PA=PB=PC，说明PB是AC长度的一半，代入AC的长度即可求出结果。
【解析】
连接PB，
∵点P在AB的垂直平分线上，
∴PA = PB（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
又
∵点P在BC的垂直平分线上，
∴PB = PC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∴PA = PB = PC，
∴PB = $\frac{1}{2}$AC，
已知AC=10cm，
∴PB = $\frac{1}{2}×10 = 5$cm。
【答案】
5
【知识点】
线段垂直平分线的性质、等量代换
【点评】
本题考查线段垂直平分线性质的应用，解题核心是熟练运用垂直平分线的性质得到相等的线段，进而推导出所求线段与已知线段的数量关系，是基础的几何性质应用题。
【难度系数】
0.8

5 [2025 沭阳期中]如图,在$△ ABC$中,$AD ⊥ BC$,$EF$垂直平分$AC$,交$AC$于点$F$,交$BC$于点$E$,且$BD=DE$,连接$AE$.
(1) 求证:$AB=EC$;
(2) 若$△ ABC$的周长为$20\ \mathrm{cm}$,$AC=9\ \mathrm{cm}$,求$DC$的长.

5. (1) $\because EF$ 垂直平分$AC$,$\therefore AE=EC$. $\because AD⊥ BC$，$BD=DE$,$\therefore AD$ 垂直平分 $BE$,$\therefore AB=AE$,$\therefore AB=EC$
(2) $\because △ ABC$ 的周长为 $20\ \mathrm{cm}$,$\therefore AB+BC+AC=20\ \mathrm{cm}$. $\because AC=9\ \mathrm{cm}$,$\therefore AB+BC=11\ \mathrm{cm}$.
$\because AB=EC$,$BD=DE=\frac{1}{2} BE$,$\therefore DC=DE+EC=\frac{1}{2} BE+\frac{1}{2} EC + \frac{1}{2} EC = \frac{1}{2} BC + \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} (AB + BC)=\frac{1}{2}×11=5.5(\mathrm{cm})$

【分析】
(1) 要证$AB=EC$，可通过中间量$AE$等量代换推导：首先看到$EF$垂直平分$AC$，根据线段垂直平分线的性质可直接得到$AE=EC$；再结合$AD⊥ BC$且$BD=DE$，可知$AD$是$BE$的垂直平分线，同理可得$AB=AE$，等量代换即可得证。
(2) 求$DC$的长时，先利用$△ ABC$的周长和已知$AC$的长度，算出$AB+BC$的总长度；再结合第一问结论$AB=EC$、$BD=DE$，把$DC$拆分为$DE+EC$，通过线段和的变形将$DC$转化为$\frac{1}{2}(AB+BC)$，整体代入数值即可求解。
【解析】
(1) 证明：
$\because EF$垂直平分$AC$，
$\therefore AE=EC$。
$\because AD⊥ BC$，$BD=DE$，
$\therefore AD$垂直平分$BE$，
$\therefore AB=AE$，
$\therefore AB=EC$。
(2) 解：
$\because △ ABC$的周长为$20\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AB+BC+AC=20\ \mathrm{cm}$。
$\because AC=9\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AB+BC=20-9=11\ \mathrm{cm}$。
$\because AB=EC$，$BD=DE$，即$DE=\frac{1}{2}BE$，
$\therefore DC=DE+EC=\frac{1}{2}BE+EC=\frac{1}{2}BE+\frac{1}{2}EC+\frac{1}{2}EC=\frac{1}{2}(BE+EC)+\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}BC+\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}(AB+BC)$，
代入$AB+BC=11\ \mathrm{cm}$，得$DC=\frac{1}{2}×11=5.5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 证明成立，$AB=EC$；
(2) $DC$的长为$5.5\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
线段垂直平分线的性质，三角形周长计算，线段和差运算
【点评】
本题属于线段垂直平分线性质的基础应用题型，解题核心是利用垂直平分线的性质得到相等线段，结合整体代入思想计算线段长度，能够帮助学生巩固几何性质的应用能力，掌握转化的数学思想。
【难度系数】
0.7

6 如图，若$AC=AD$，$BC=BD$，则下列结论一定正确的是（）

A.AB 垂直平分CD
B.CD 垂直平分AB
C.AB 与CD 互相垂直平分
D.CD 平分$∠ ACB$

6. A

【分析】
解题思路如下：首先回忆线段垂直平分线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。题目给出AC=AD，说明点A到C、D的距离相等，因此点A在CD的垂直平分线上；同理BC=BD，说明点B到C、D的距离相等，点B也在CD的垂直平分线上。根据“两点确定一条直线”，过A、B两点的直线AB就是CD的垂直平分线，即可判断正确选项。其余选项可通过是否有对应已知条件逐一排除。
【解析】
解：① 推导正确选项：
∵ AC=AD，
∴ 点A在线段CD的垂直平分线上（到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）。
∵ BC=BD，
∴ 点B在线段CD的垂直平分线上。
又
∵ 两点确定一条直线，
∴ 直线AB是线段CD的垂直平分线，即AB垂直平分CD，故A选项正确。
② 排除错误选项：
题目未给出AC=BC、AD=BD等能证明C、D在AB垂直平分线上的条件，因此无法推出CD垂直平分AB，也无法推出AB与CD互相垂直平分，故B、C选项错误；
没有额外条件证明∠ACD=∠BCD，因此无法推出CD平分∠ACB，故D选项错误。
【答案】
A
【知识点】
1. 线段垂直平分线的判定
2. 两点确定一条直线
【点评】
本题是线段垂直平分线判定的基础应用题，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的判定定理，结合直线的基本事实进行推导，注意不能主观添加题目未给出的条件判断错误选项。
【难度系数】
0.8