三、解答题
9 [2025武汉]如图，四边形ABCD的对角线交于点O，AD//BC。若（填序号），则AD=CB。从①OA=OC，②∠ABC=∠CDA，③AB=CD中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由。

9. 若选择① 理由: $\because AD// BC,\therefore ∠DAO=∠BCO.$ 在$△AOD$ 和$△COB$ 中,
$\begin{cases} ∠DAO=∠BCO, \\ OA=OC, \\ ∠AOD=∠COB, \end{cases}$
$\therefore △AOD≌△COB(\mathrm{ASA}),\therefore AD=CB.$ 若选择② 理由: $\because AD// BC,\therefore ∠BCA=∠DAC.$ 在$△ABC$ 和$△CDA$ 中,
$\begin{cases} ∠ABC=∠CDA, \\ ∠BCA=∠DAC, \\ AC=CA, \end{cases}$
$\therefore △ABC≌△CDA(\mathrm{AAS}),\therefore BC=DA,$即$AD=CB.$

【分析】
要证明AD=CB，结合已知AD//BC，可先利用平行线的性质得到内错角相等，再通过证明AD、CB所在的三角形全等，利用全等三角形对应边相等得到结论。对三个条件逐一分析：
1. 若选①OA=OC：AD在△AOD中，CB在△COB中，已有平行线得到的内错角相等、对顶角相等，加上OA=OC，可通过ASA证明两三角形全等，得到对应边相等；
2. 若选②∠ABC=∠CDA：AD在△CDA中，CB在△ABC中，已有平行线得到的内错角相等、公共边AC，加上已知角相等，可通过AAS证明两三角形全等，得到对应边相等；
3. 若选③AB=CD：此时四边形可能为等腰梯形，无法证明三角形全等，不能得到AD=CB，故不可选。
【解析】
我们可选择①或②作为条件，理由如下：
选择①OA=OC时：
∵ AD//BC，
∴ ∠DAO=∠BCO（两直线平行，内错角相等）。
在△AOD和△COB中：
$\begin{cases} ∠DAO=∠BCO, \\ OA=OC, \\ ∠AOD=∠COB（对顶角相等）, \end{cases}$
∴ △AOD≌△COB（ASA），
∴ AD=CB（全等三角形对应边相等）。
选择②∠ABC=∠CDA时：
∵ AD//BC，
∴ ∠BCA=∠DAC（两直线平行，内错角相等）。
在△ABC和△CDA中：
$\begin{cases} ∠ABC=∠CDA, \\ ∠BCA=∠DAC, \\ AC=CA（公共边）, \end{cases}$
∴ △ABC≌△CDA（AAS），
∴ BC=DA，即AD=CB（全等三角形对应边相等）。
【答案】
可选择①，理由：$\because AD// BC,\therefore ∠DAO=∠BCO.$ 在$△AOD$ 和$△COB$ 中,$\begin{cases} ∠DAO=∠BCO, \\ OA=OC, \\ ∠AOD=∠COB, \end{cases}$$\therefore △AOD≌△COB(\mathrm{ASA}),\therefore AD=CB.$
或选择②，理由：$\because AD// BC,\therefore ∠BCA=∠DAC.$ 在$△ABC$ 和$△CDA$ 中,$\begin{cases} ∠ABC=∠CDA, \\ ∠BCA=∠DAC, \\ AC=CA, \end{cases}$$\therefore △ABC≌△CDA(\mathrm{AAS}),\therefore BC=DA,$即$AD=CB.$
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题为条件开放性题目，核心考查平行线性质与全等三角形判定、性质的综合应用，解题关键是结合已知条件筛选合适的判定依据证明三角形全等，需注意要结合图形特征逐一验证给出的条件，避免误选无法判定全等的条件。
【难度系数】
0.7

10 如图,点A,D,C,B在同一条直线上,$AD=BC$,$AE=BF$,$CE=DF$.求证:
(1) $AE// BF$;
(2) $DE=CF$.

10. (1) $\because AD=BC,\therefore AD+CD=BC+CD,$即$AC=BD.$ 在$△ACE$ 和$△BDF$ 中,
$\begin{cases} AC=BD, \\ AE=BF, \\ CE=DF, \end{cases}$
$\therefore △ACE≌△BDF(\mathrm{SSS}),\therefore ∠A=∠B,\therefore AE// BF$
(2) 由(1),知$∠A=∠B.$ 在$△ADE$ 和$△BCF$ 中,
$\begin{cases} AE=BF, \\ ∠A=∠B, \\ AD=BC, \end{cases}$
$\therefore △ADE≌△BCF(\mathrm{SAS}),\therefore DE=CF$

【分析】
(1) 要证$AE// BF$，需先证内错角$∠A=∠B$，可通过证明$△ ACE$和$△ BDF$全等推导；已知$AD=BC$，两边同时加公共线段$CD$可得$AC=BD$，结合已知$AE=BF$、$CE=DF$，用SSS即可判定两三角形全等，得到角相等后即可证平行。
(2) 要证$DE=CF$，需证明$△ ADE$和$△ BCF$全等，已有$AD=BC$、$AE=BF$，结合(1)得到的$∠A=∠B$，用SAS即可判定全等，根据全等三角形对应边相等即可得证。
【解析】
(1) $\because AD=BC,\therefore AD+CD=BC+CD,$即$AC=BD.$
在$△ ACE$ 和$△ BDF$ 中,
$\begin{cases} AC=BD, \\ AE=BF, \\ CE=DF, \end{cases}$
$\therefore △ ACE≌△ BDF(\mathrm{SSS}),$
$\therefore ∠A=∠B,$
$\therefore AE// BF$（内错角相等，两直线平行）。
(2) 由(1)知$∠A=∠B.$
在$△ ADE$ 和$△ BCF$ 中,
$\begin{cases} AE=BF, \\ ∠A=∠B, \\ AD=BC, \end{cases}$
$\therefore △ ADE≌△ BCF(\mathrm{SAS}),$
$\therefore DE=CF$。
【答案】
(1) $AE// BF$，证明成立；
(2) $DE=CF$，证明成立。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；平行线的判定；线段和差性质
【点评】
本题是基础几何证明题，解题关键是先通过线段和差得到全等所需的等边，再结合已知条件证明三角形全等，利用全等性质得到对应角、对应边相等，进而推导待证结论，能有效巩固全等三角形和平行线的相关知识。
【难度系数】
0.8

11 如图,在$△ ABC$和$△ ADE$中,$AB=AC$,$AD=AE$,$∠ BAC=∠ DAE$,$CE$的延长线交$BD$于点$F$.
（1）若$∠ BAC=∠ DAE=50°$,求$∠ BFC$的度数；
（2）过点$A$作$AH⊥ BD$于点$H$,求证:$EF+DH=HF$.

11. (1) $\because ∠BAC=∠DAE,\therefore ∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE,$即$∠CAE=∠BAD.$ 在$△ACE$ 和$△ABD$ 中,
$\begin{cases} AC=AB, \\ ∠CAE=∠BAD, \\ AE=AD, \end{cases}$
$\therefore △ACE≌△ABD(\mathrm{SAS}),\therefore ∠AEC=∠ADB,\therefore ∠AEF+∠ADB=∠AEF+∠AEC=180°,\therefore ∠DAE+∠DFE=180°.$
$\because ∠BFC+∠DFE=180°,\therefore ∠BFC=∠DAE=50°$
(2) 如图,连接AF,过点A作$AJ⊥CF$于点J.
$\because △ACE≌△ABD,\therefore S_{△ACE}=S_{△ABD},CE=BD.$
$\because AJ⊥CE,AH⊥BD,\therefore \frac{1}{2}CE· AJ=\frac{1}{2}BD· AH,$
$\therefore AJ=AH.$ 在$\mathrm{Rt}△AFJ$ 和$\mathrm{Rt}△AFH$ 中,
$\begin{cases} AF=AF, \\ AJ=AH, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△AFJ≌\mathrm{Rt}△AFH(\mathrm{HL}),\therefore FJ=FH.$ 在$\mathrm{Rt}△AJE$ 和$\mathrm{Rt}△AHD$ 中,
$\begin{cases} AE=AD, \\ AJ=AH, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△AJE≌\mathrm{Rt}△AHD(\mathrm{HL}),\therefore EJ=DH,\therefore EF+DH=EF+EJ=FJ=HF$

【分析】
（1）求解∠BFC的度数时，先结合已知的两组等边和等角，通过角的和差推导得到相等的夹角，利用SAS证明△ACE和△ABD全等，再根据全等三角形对应角相等，结合邻补角、四边形内角和的角度关系，推导出∠BFC和已知角∠DAE的等量关系，代入数值计算即可。
（2）证明线段和差关系时，先由全等三角形的性质得到两三角形面积相等、对应边CE=BD，作AJ⊥CE为辅助线，通过面积法推导得AJ=AH；再两次利用HL定理分别证明两组直角三角形全等，得到线段的等量关系，最后通过线段和差代换即可完成证明。
【解析】
（1）$\because ∠BAC=∠DAE$，
$\therefore ∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE$，即$∠CAE=∠BAD$。
在$△ACE$ 和$△ABD$ 中，
$\begin{cases} AC=AB, \\ ∠CAE=∠BAD, \\ AE=AD, \end{cases}$
$\therefore △ACE≌△ABD(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠AEC=∠ADB$，
$\therefore ∠AEF+∠ADB=∠AEF+∠AEC=180°$，
根据四边形内角和为$360°$可得$∠DAE+∠DFE=180°$，
$\because ∠BFC+∠DFE=180°$，
$\therefore ∠BFC=∠DAE=50°$。
（2）证明：如图，连接$AF$，过点$A$作$AJ⊥CF$于点$J$。
$\because △ACE≌△ABD$，
$\therefore S_{△ACE}=S_{△ABD},CE=BD$，
$\because AJ⊥CE,AH⊥BD$，
$\therefore \frac{1}{2}CE· AJ=\frac{1}{2}BD· AH$，
$\therefore AJ=AH$。
在$\mathrm{Rt}△AFJ$ 和$\mathrm{Rt}△AFH$ 中，
$\begin{cases} AF=AF, \\ AJ=AH, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△AFJ≌\mathrm{Rt}△AFH(\mathrm{HL})$，
$\therefore FJ=FH$。
在$\mathrm{Rt}△AJE$ 和$\mathrm{Rt}△AHD$ 中，
$\begin{cases} AE=AD, \\ AJ=AH, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△AJE≌\mathrm{Rt}△AHD(\mathrm{HL})$，
$\therefore EJ=DH$，
$\therefore EF+DH=EF+EJ=FJ=HF$，即$EF+DH=HF$得证。
【答案】
(1) $∠ BFC=50°$
(2) 证明见解析，辅助线如图：
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. HL定理
3. 等腰三角形的性质
【点评】
本题是三角形综合类题型，第一问侧重全等三角形的角度转化应用，第二问通过面积法构造辅助线，利用两次直角三角形全等实现线段的等量代换，是线段和差问题的典型考法，熟练掌握全等三角形的各类判定定理是解题的关键。
【难度系数】
0.6