1 [2025 眉山]如图,在四边形 ABCD 中,AD//BC,AB=6,BC=10.按图中尺规作图痕迹作射线 AP 交 BC 于点 G,则 CG 的长为 ()

A.4
B.5
C.6
D.8
(第1题)

1. A

2 如图，AC，BD相交于点O，∠A=∠D，若再补充一个条件，使得△BOC为等腰三角形，则该条件不能是（）

A.$OA=OD$
B.$AB=CD$
C.$∠ABO=∠DCO$
D.$∠ABC=∠DCB$

2. C

3 新情境 生活实际 如图，一艘轮船在A处测得灯塔P位于其北偏东$60°$方向上，轮船沿正东方向前进30海里后到达B处，测得灯塔P位于其北偏东$30°$方向上，此时轮船与灯塔P的距离为海里。

3. 30

4[2024重庆B卷]如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ A=36°$,$BD$平分$∠ ABC$交$AC$于点$D$.若$BC=2$,则$AD$的长为.

4. 2

5 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，过点$A$作$BC$的平行线交$∠ ABC$的平分线于点$D$，连接$CD$.求证：$△ ACD$为等腰三角形.

5. $\because AD// BC,\therefore ∠ ADB = ∠ DBC. \because BD$ 平分 $∠ ABC$,$\therefore ∠ ABD = ∠ DBC, \therefore ∠ ABD = ∠ ADB, \therefore AB = AD.$$\because AB=AC,\therefore AD=AC,\therefore △ ACD$ 是等腰三角形

6 教材P45练习T1变式 如图,在$△ ABC$中,$∠ A=36°$,$AB=AC$,$BD$是$△ ABC$的角平分线.若在边$AB$上截取$BE=BC$,连接$DE$,则图中的等腰三角形共有 ()

A.2个
B.3个
C.4个
D.5个

6. D 【解析】$\because AB=AC,∠ A=36^{\circ },\therefore △ ABC$ 是等腰三角形,$∠ ABC=∠ C=\frac{1}{2}×(180^{\circ }-36^{\circ })=72^{\circ }. \because BD$ 是$△ ABC$ 的角平分线,$\therefore ∠ ABD = ∠ CBD = \frac{1}{2}∠ ABC = 36^{\circ },\therefore ∠ A =$$∠ ABD,\therefore AD=BD,\therefore △ ABD$ 是等腰三角形. $\because$ 在$△ BCD$中,$∠ BDC = 180^{\circ }-∠ CBD-∠ C = 180^{\circ }-36^{\circ }-72^{\circ } = 72^{\circ }$,$\therefore ∠ BDC=∠ C,\therefore BD = BC,\therefore △ BCD$ 是等腰三角形. 又$\because BE = BC, \therefore BD = BE, \therefore △ BDE$ 是等腰三角形,$\therefore ∠ BDE=∠ BED=\frac{1}{2}×(180^{\circ }-36^{\circ })=72^{\circ }. \because ∠ BED$ 是$△ AED$ 的外角,$∠ A=36^{\circ },\therefore ∠ ADE=∠ BED-∠ A=72^{\circ }-36^{\circ }=36^{\circ },\therefore ∠ A=∠ ADE,\therefore AE=DE,\therefore △ ADE$ 是等腰三角形.综上所述,等腰三角形共有 5 个.