7 新考向 探究题 如图，M，N为4×4的方格纸中格点上的两点，若以MN为边，在方格纸中取一点P(点P在格点上)，使得△MNP为等腰三角形，则点P的个数为 ()

A.3
B.4
C.5
D.6

7. C

8 [2024广州]如图，在$△ ABC$中，$∠ A=90°$，$AB=AC=6$，$D$为边$BC$的中点，点$E$，$F$分别在边$AB$，$AC$上，$AE=CF$，则四边形$AEDF$的面积为。

8. 9

9 如图，在$△ ABC$中，$AC$的垂直平分线交$BC$于点$D$，交$AC$于点$E$，$∠ B = ∠ ADB$。若$AB=4$，则$DC$的长为________。

9. 4

10 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC=5$，D是BC上的点，$DE// AB$交AC于点E，$DF// AC$交AB于点F，那么四边形AEDF的周长为。

10. 10

11 如图,在四边形ABCD中,AD=AB,∠ADC=∠ABC.求证:CD=CB.

11. 连接BD. $\because AD=AB,\therefore ∠ ADB=∠ ABD. \because ∠ ADC=∠ ABC,\therefore ∠ ADC-∠ ADB=∠ ABC-∠ ABD$,即$∠ BDC=$$∠ DBC,\therefore CD=CB$

12 如图,在锐角三角形ABC中,E是AB边上一点,BE=CE,AD⊥BC于点D,AD与EC交于点G.求证:
(1) ∠BEC=2∠AGE；
(2) 一题多解 △AEG是等腰三角形.

12. (1) 如图,过点 E 作 $EF⊥ BC$ 于点 F. $\because BE=CE,EF⊥$$BC,\therefore ∠ CEF=∠ BEF=\frac{1}{2}∠ BEC. \because EF⊥ BC,AD⊥ BC$,$\therefore EF// AD,\therefore ∠ CEF=∠ AGE,\therefore ∠ AGE=\frac{1}{2}∠ BEC$,即$∠ BEC=2∠ AGE$
(2) 解法一:由(1),得 $EF// AD,\therefore ∠ BEF=∠ BAD,∠ CEF=$$∠ AGE. \because ∠ CEF=∠ BEF,\therefore ∠ AGE=∠ BAD,\therefore EA=$$EG,\therefore △ AEG$ 是等腰三角形
解法二:$\because ∠ BEC$ 是$△ AEG$ 的外角,$\therefore ∠ BEC=∠ EAG+$$∠ AGE$. 由(1),得$∠ BEC=2∠ AGE. \therefore ∠ EAG+∠ AGE=$$2∠ AGE$,即$∠ EAG=∠ AGE,\therefore EA=EG,\therefore △ AEG$ 是等腰三角形