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1 下列事件中,属于随机事件的是(
A.凸多边形的内角和为 $500°$
B.凸多边形的外角和为 $360°$
C.四边形绕它的对角线交点旋转 $180°$ 能与它本身重合
D.任何一个三角形的1条中位线都平行于这个三角形的某条边
C
)。A.凸多边形的内角和为 $500°$
B.凸多边形的外角和为 $360°$
C.四边形绕它的对角线交点旋转 $180°$ 能与它本身重合
D.任何一个三角形的1条中位线都平行于这个三角形的某条边
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确三类事件的定义：①不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件；②必然事件：在一定条件下，一定发生的事件；③随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。接下来结合已学的几何定理，逐个分析每个选项对应的事件发生的可能性，即可选出正确答案。
【解析】
我们逐个判断选项：
A. 凸$n$边形的内角和公式为$(n-2)×180°$（$n≥3$且为整数），令$(n-2)×180°=500°$，解得$n\approx4.78$，不是整数，因此凸多边形内角和不可能为$500°$，属于不可能事件，不符合要求。
B. 任意凸多边形的外角和恒为$360°$，是确定成立的结论，属于必然事件，不符合要求。
C. 只有平行四边形（含特殊平行四边形）绕对角线交点旋转$180°$能与本身重合，普通四边形（如梯形、不规则四边形）则不能，因此该事件可能发生也可能不发生，属于随机事件，符合要求。
D. 根据三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，因此该事件一定发生，属于必然事件，不符合要求。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
随机事件判定；多边形性质；三角形中位线定理
【点评】
本题重点考查不同类型事件的区分，需要结合基础几何定理判断事件发生的确定性，核心是准确掌握随机事件的概念和相关几何结论。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确三类事件的定义：①不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件；②必然事件：在一定条件下，一定发生的事件；③随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。接下来结合已学的几何定理，逐个分析每个选项对应的事件发生的可能性，即可选出正确答案。
【解析】
我们逐个判断选项：
A. 凸$n$边形的内角和公式为$(n-2)×180°$（$n≥3$且为整数），令$(n-2)×180°=500°$，解得$n\approx4.78$，不是整数，因此凸多边形内角和不可能为$500°$，属于不可能事件，不符合要求。
B. 任意凸多边形的外角和恒为$360°$，是确定成立的结论，属于必然事件，不符合要求。
C. 只有平行四边形（含特殊平行四边形）绕对角线交点旋转$180°$能与本身重合，普通四边形（如梯形、不规则四边形）则不能，因此该事件可能发生也可能不发生，属于随机事件，符合要求。
D. 根据三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，因此该事件一定发生，属于必然事件，不符合要求。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
随机事件判定；多边形性质；三角形中位线定理
【点评】
本题重点考查不同类型事件的区分，需要结合基础几何定理判断事件发生的确定性，核心是准确掌握随机事件的概念和相关几何结论。
【难度系数】
0.8
2 将四张大小相同的正方形卡片拼成如图所示的正方形靶盘(其中两张卡片上是“春”字，另外两张上是“福”字)。现向该靶盘随机掷两次飞镖，则两次射中的卡片上的字不相同的概率为(
A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{1}{4}$
D.$\dfrac{3}{4}$
A
)。A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{1}{4}$
D.$\dfrac{3}{4}$
答案
A
解析
【分析】
要计算两次射中的卡片上的字不相同的概率，首先需明确所有等可能的总结果数，再找出两次字不同的符合条件的结果数，最后根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算即可。我们可以先对卡片做标记方便统计：将两张“春”字卡片记为春₁、春₂，两张“福”字卡片记为福₁、福₂。
【解析】
解：每次掷飞镖都有4种等可能的落地区域，因此掷两次飞镖的总等可能结果数为$4×4=16$种。
统计两次字不同的结果数：
1. 第一次射中“春”、第二次射中“福”：“春”有2种选择，“福”有2种选择，共$2×2=4$种结果；
2. 第一次射中“福”、第二次射中“春”：“福”有2种选择，“春”有2种选择，共$2×2=4$种结果。
因此两次字不同的结果共有$4+4=8$种。
根据概率公式，所求概率为$\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
列举法求概率，概率公式
【点评】
本题是概率基础应用题，除了用枚举法计算外，也可以简化思路：第一次无论射中哪个字，第二次只要射中另一种字即可满足条件，另一种字的卡片共2张，总共有4张卡片，直接可得概率为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，解题时灵活选择方法可以提高效率。
【难度系数】
0.8
要计算两次射中的卡片上的字不相同的概率，首先需明确所有等可能的总结果数，再找出两次字不同的符合条件的结果数，最后根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算即可。我们可以先对卡片做标记方便统计：将两张“春”字卡片记为春₁、春₂，两张“福”字卡片记为福₁、福₂。
【解析】
解：每次掷飞镖都有4种等可能的落地区域，因此掷两次飞镖的总等可能结果数为$4×4=16$种。
统计两次字不同的结果数：
1. 第一次射中“春”、第二次射中“福”：“春”有2种选择，“福”有2种选择，共$2×2=4$种结果；
2. 第一次射中“福”、第二次射中“春”：“福”有2种选择，“春”有2种选择，共$2×2=4$种结果。
因此两次字不同的结果共有$4+4=8$种。
根据概率公式，所求概率为$\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
列举法求概率，概率公式
【点评】
本题是概率基础应用题，除了用枚举法计算外，也可以简化思路：第一次无论射中哪个字，第二次只要射中另一种字即可满足条件，另一种字的卡片共2张，总共有4张卡片，直接可得概率为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，解题时灵活选择方法可以提高效率。
【难度系数】
0.8
3 如图所示,镖盘为两个半径之比是$1:2$的同心圆,其中阴影部分为小圆内部一个圆心角为$90°$的扇形,向大圆上投掷飞镖,则镖针落在阴影部分的概率为(
A.$\frac{1}{32}$
B.$\frac{1}{16}$
C.$\frac{1}{8}$
D.$\frac{1}{4}$
B
)。A.$\frac{1}{32}$
B.$\frac{1}{16}$
C.$\frac{1}{8}$
D.$\frac{1}{4}$
答案
B [提示:分别求出阴影部分的面积和大圆的面积,它们的比值就是所求,所以 $\dfrac{S_{阴影}}{S_{圆}}=\dfrac{\dfrac{1}{4}π r^2}{4π r^2}=\dfrac{1}{16}。$ ]
解析
【分析】
这是一道几何概率类题目，解题核心是明确飞镖落在阴影部分的概率等于阴影部分面积与大圆总面积的比值。我们可以通过设参数的方式表示大小圆的半径，再分别计算出大圆面积和阴影扇形的面积，最后求两者的比值即可得到结果。第一步：设小圆半径为r，根据大小圆半径比1:2可得大圆半径为2r；第二步：分别计算大圆面积、小圆内90°扇形的面积；第三步：用阴影面积除以大圆面积得到概率。
【解析】
解：设小圆的半径为$r$，由大小圆半径比为$1:2$可知，大圆的半径为$2r$。
1. 计算大圆的面积：
$S_{大圆}=π (2r)^2=4π r^2$
2. 计算阴影部分的面积：
阴影是小圆内圆心角为$90°$的扇形，扇形面积占所在小圆面积的$\frac{90°}{360°}=\frac{1}{4}$，
所以$S_{阴影}=\frac{1}{4}S_{小圆}=\frac{1}{4}× π r^2=\frac{1}{4}π r^2$
3. 计算飞镖落在阴影部分的概率：
$P=\frac{S_{阴影}}{S_{大圆}}=\frac{\frac{1}{4}π r^2}{4π r^2}=\frac{1}{16}$
【答案】
B
【知识点】
几何概率计算，圆的面积计算，扇形面积计算
【点评】
本题属于基础类题型，重点考查几何概率的计算逻辑，解题的关键是牢记区域占比类概率等于对应面积的比值，同时需要熟练掌握圆和扇形的面积公式，计算过程中注意不要混淆半径比和面积比的关系即可轻松解题。
【难度系数】
0.7
这是一道几何概率类题目，解题核心是明确飞镖落在阴影部分的概率等于阴影部分面积与大圆总面积的比值。我们可以通过设参数的方式表示大小圆的半径，再分别计算出大圆面积和阴影扇形的面积，最后求两者的比值即可得到结果。第一步：设小圆半径为r，根据大小圆半径比1:2可得大圆半径为2r；第二步：分别计算大圆面积、小圆内90°扇形的面积；第三步：用阴影面积除以大圆面积得到概率。
【解析】
解：设小圆的半径为$r$，由大小圆半径比为$1:2$可知，大圆的半径为$2r$。
1. 计算大圆的面积：
$S_{大圆}=π (2r)^2=4π r^2$
2. 计算阴影部分的面积：
阴影是小圆内圆心角为$90°$的扇形，扇形面积占所在小圆面积的$\frac{90°}{360°}=\frac{1}{4}$，
所以$S_{阴影}=\frac{1}{4}S_{小圆}=\frac{1}{4}× π r^2=\frac{1}{4}π r^2$
3. 计算飞镖落在阴影部分的概率：
$P=\frac{S_{阴影}}{S_{大圆}}=\frac{\frac{1}{4}π r^2}{4π r^2}=\frac{1}{16}$
【答案】
B
【知识点】
几何概率计算，圆的面积计算，扇形面积计算
【点评】
本题属于基础类题型，重点考查几何概率的计算逻辑，解题的关键是牢记区域占比类概率等于对应面积的比值，同时需要熟练掌握圆和扇形的面积公式，计算过程中注意不要混淆半径比和面积比的关系即可轻松解题。
【难度系数】
0.7
二、填空题
4 在日常生活中，我们经常使用一些词语来形容事情发生的可能性的大小。给出下列三个词语：①瓜熟蒂落；②水中捞月；③守株待兔。按可能性从大到小的顺序排列为
4 在日常生活中，我们经常使用一些词语来形容事情发生的可能性的大小。给出下列三个词语：①瓜熟蒂落；②水中捞月；③守株待兔。按可能性从大到小的顺序排列为
①③②
。（填序号）答案
①③②
解析
【分析】
解题时首先要明确不同类型事件的可能性取值范围：必然事件发生的可能性为1，不可能事件发生的可能性为0，随机事件发生的可能性介于0和1之间。接下来结合成语含义逐一判断三个词语对应的事件类型：先判断可能性最大的必然事件，再判断可能性最小的不可能事件，最后确定中间的随机事件，即可得到排列顺序。
【解析】
1. 明确不同事件的可能性范围：必然事件可能性为1，不可能事件可能性为0，随机事件可能性在0~1之间。
2. 逐一判断各事件类型：
①“瓜熟蒂落”是符合自然规律、必然会发生的事件，属于必然事件，可能性为1；
②“水中捞月”是违背客观事实、完全不可能发生的事件，属于不可能事件，可能性为0；
③“守株待兔”是可能发生也可能不发生的小概率事件，属于随机事件，可能性介于0和1之间。
3. 按可能性从大到小排序为①③②。
【答案】
①③②
【知识点】
必然事件；不可能事件；随机事件
【点评】
本题结合生活中常见的成语考查事件可能性大小的判断，既需要学生掌握不同类型事件的可能性特征，也需要学生理解成语的实际含义，题目贴近生活，趣味性较强。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确不同类型事件的可能性取值范围：必然事件发生的可能性为1，不可能事件发生的可能性为0，随机事件发生的可能性介于0和1之间。接下来结合成语含义逐一判断三个词语对应的事件类型：先判断可能性最大的必然事件，再判断可能性最小的不可能事件，最后确定中间的随机事件，即可得到排列顺序。
【解析】
1. 明确不同事件的可能性范围：必然事件可能性为1，不可能事件可能性为0，随机事件可能性在0~1之间。
2. 逐一判断各事件类型：
①“瓜熟蒂落”是符合自然规律、必然会发生的事件，属于必然事件，可能性为1；
②“水中捞月”是违背客观事实、完全不可能发生的事件，属于不可能事件，可能性为0；
③“守株待兔”是可能发生也可能不发生的小概率事件，属于随机事件，可能性介于0和1之间。
3. 按可能性从大到小排序为①③②。
【答案】
①③②
【知识点】
必然事件；不可能事件；随机事件
【点评】
本题结合生活中常见的成语考查事件可能性大小的判断，既需要学生掌握不同类型事件的可能性特征，也需要学生理解成语的实际含义，题目贴近生活，趣味性较强。
【难度系数】
0.9
5 如图，点D、E是直线$y=-\dfrac{3}{4}x+\dfrac{19}{4}$与矩形OABC的边AB、BC的交点，OA=4，OC=5。若动点P(x，y)在矩形OABC内随机运动，则动点P落在$△ BDE$内（包括边界）的概率为
$\dfrac{3}{10}$
。答案
$\dfrac{3}{10}$
解析
【分析】
本题属于几何概率问题，概率等于△BDE的面积与矩形OABC的面积之比，因此解题思路为：1. 先计算矩形OABC的总面积；2. 利用AB、BC边的坐标特征，代入一次函数解析式求出D、E两点的坐标，进而得到直角△BDE的两条直角边长度，计算其面积；3. 用△BDE的面积除以矩形面积即可得到所求概率。
【解析】
解：已知矩形OABC中，OA=4，OC=5，
∴矩形面积$S_{矩形OABC}=OA× OC=4×5=20$，且B点坐标为$(5,4)$，AB边上点的纵坐标均为4，BC边上点的横坐标均为5。
①求点D坐标：
将$y=4$代入直线$y=-\dfrac{3}{4}x+\dfrac{19}{4}$，得：
$4=-\dfrac{3}{4}x+\dfrac{19}{4}$，
两边同乘4得：$16=-3x+19$，解得$x=1$，
∴$D(1,4)$，则$BD=5-1=4$。
②求点E坐标：
将$x=5$代入直线$y=-\dfrac{3}{4}x+\dfrac{19}{4}$，得：
$y=-\dfrac{3}{4}×5+\dfrac{19}{4}=1$，
∴$E(5,1)$，则$BE=4-1=3$。
③计算△BDE面积：
∵∠B为直角，
∴$S_{△ BDE}=\dfrac{1}{2}× BD× BE=\dfrac{1}{2}×4×3=6$。
④计算概率：
动点P落在△BDE内的概率$P=\dfrac{S_{△ BDE}}{S_{矩形OABC}}=\dfrac{6}{20}=\dfrac{3}{10}$。
【答案】
$\dfrac{3}{10}$
【知识点】
几何概型，一次函数的图象与性质，图形面积计算
【点评】
本题综合考查了一次函数求交点坐标、几何图形面积计算和几何概率的相关知识，解题的核心是明确几何概率的计算逻辑，准确结合矩形边的坐标特征求出交点坐标，属于基础综合类题目，对学生的基础应用能力有一定考查。
【难度系数】
0.7
本题属于几何概率问题，概率等于△BDE的面积与矩形OABC的面积之比，因此解题思路为：1. 先计算矩形OABC的总面积；2. 利用AB、BC边的坐标特征，代入一次函数解析式求出D、E两点的坐标，进而得到直角△BDE的两条直角边长度，计算其面积；3. 用△BDE的面积除以矩形面积即可得到所求概率。
【解析】
解：已知矩形OABC中，OA=4，OC=5，
∴矩形面积$S_{矩形OABC}=OA× OC=4×5=20$，且B点坐标为$(5,4)$，AB边上点的纵坐标均为4，BC边上点的横坐标均为5。
①求点D坐标：
将$y=4$代入直线$y=-\dfrac{3}{4}x+\dfrac{19}{4}$，得：
$4=-\dfrac{3}{4}x+\dfrac{19}{4}$，
两边同乘4得：$16=-3x+19$，解得$x=1$，
∴$D(1,4)$，则$BD=5-1=4$。
②求点E坐标：
将$x=5$代入直线$y=-\dfrac{3}{4}x+\dfrac{19}{4}$，得：
$y=-\dfrac{3}{4}×5+\dfrac{19}{4}=1$，
∴$E(5,1)$，则$BE=4-1=3$。
③计算△BDE面积：
∵∠B为直角，
∴$S_{△ BDE}=\dfrac{1}{2}× BD× BE=\dfrac{1}{2}×4×3=6$。
④计算概率：
动点P落在△BDE内的概率$P=\dfrac{S_{△ BDE}}{S_{矩形OABC}}=\dfrac{6}{20}=\dfrac{3}{10}$。
【答案】
$\dfrac{3}{10}$
【知识点】
几何概型，一次函数的图象与性质，图形面积计算
【点评】
本题综合考查了一次函数求交点坐标、几何图形面积计算和几何概率的相关知识，解题的核心是明确几何概率的计算逻辑，准确结合矩形边的坐标特征求出交点坐标，属于基础综合类题目，对学生的基础应用能力有一定考查。
【难度系数】
0.7
6 现有A、B两种帽子和C、D两款围巾，小明要随机抽取一种帽子和一款围巾，那么小明刚好选中他所喜欢的A种帽子和D款围巾穿戴的概率是
O C x
$\dfrac{1}{4}$
。O C x
答案
$\dfrac{1}{4}$
解析
【分析】
这是一道两步随机试验的概率求解问题，解题思路如下：第一步，先明确抽取帽子和围巾是两个互不影响的独立选择，先通过列举法或乘法原理算出所有等可能的搭配总数量；第二步，找出符合“选中A种帽子和D款围巾”的结果数；第三步，代入等可能事件的概率公式（概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果总数）计算即可得到答案。
【解析】
我们用列举法列出所有可能的搭配结果：
①A帽子配C围巾、②A帽子配D围巾、③B帽子配C围巾、④B帽子配D围巾，
一共有4种等可能的结果，其中刚好选中A种帽子和D款围巾的结果只有1种。
根据概率公式可得：$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果总数}}=\frac{1}{4}$。
【答案】
$\dfrac{1}{4}$
【知识点】
概率公式，列举法求概率，分步事件概率
【点评】
本题属于概率基础题型，主要考查两步试验的概率计算，难度较低，只要能准确梳理出所有等可能的结果，就能快速求解，是概率模块的常考基础题。
【难度系数】
0.8
这是一道两步随机试验的概率求解问题，解题思路如下：第一步，先明确抽取帽子和围巾是两个互不影响的独立选择，先通过列举法或乘法原理算出所有等可能的搭配总数量；第二步，找出符合“选中A种帽子和D款围巾”的结果数；第三步，代入等可能事件的概率公式（概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果总数）计算即可得到答案。
【解析】
我们用列举法列出所有可能的搭配结果：
①A帽子配C围巾、②A帽子配D围巾、③B帽子配C围巾、④B帽子配D围巾，
一共有4种等可能的结果，其中刚好选中A种帽子和D款围巾的结果只有1种。
根据概率公式可得：$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果总数}}=\frac{1}{4}$。
【答案】
$\dfrac{1}{4}$
【知识点】
概率公式，列举法求概率，分步事件概率
【点评】
本题属于概率基础题型，主要考查两步试验的概率计算，难度较低，只要能准确梳理出所有等可能的结果，就能快速求解，是概率模块的常考基础题。
【难度系数】
0.8
7 如图，一只圆形平盘被同心圆划成Ⅰ、Ⅱ两个区域(其中区域Ⅰ是半径为OM的圆，区域Ⅱ是圆环)。随机向平盘中撒一把豆子，计算落在Ⅰ、Ⅱ两个区域的豆子数的比，多次重复这个试验，发现落入两个区域的豆子数的比显示出一定的稳定性，总在两个区域的面积之比附近摆动。把“在图形中随机撒豆子”作为试验，若事件“豆子落在Ⅰ中”和事件“豆子落在Ⅱ中”的概率相同，小圆半径OM=2，则大圆半径ON=
$2\sqrt{2}$
。答案
$2\sqrt{2}$
解析
【分析】
本题属于几何概型的应用问题，解题思路如下：首先明确随机撒豆子时，豆子落在某区域的概率等于该区域面积与平盘总面积的比值；题目给出两个事件概率相等，可推导出区域Ⅰ和区域Ⅱ的面积相等，进一步得到大圆面积是小圆面积的2倍；最后结合圆的面积公式列方程求解大圆半径即可。
【解析】
解：根据几何概型的特点，豆子落在区域Ⅰ的概率$P_Ⅰ=\frac{S_Ⅰ}{S_{\mathrm{大圆}}}$，豆子落在区域Ⅱ的概率$P_Ⅱ=\frac{S_Ⅱ}{S_{\mathrm{大圆}}}$。
已知$P_Ⅰ=P_Ⅱ$，因此$S_Ⅰ=S_Ⅱ$。
又因为$S_{\mathrm{大圆}}=S_Ⅰ+S_Ⅱ$，所以$S_{\mathrm{大圆}}=2S_Ⅰ$。
设大圆半径$ON=R$，已知小圆半径$OM=2$，根据圆的面积公式$S=π r^2$：
小圆面积$S_Ⅰ=π × 2^2=4π$，
大圆面积$S_{\mathrm{大圆}}=π R^2$，
代入$S_{\mathrm{大圆}}=2S_Ⅰ$得：$π R^2=2×4π$，
两边同时除以$π$得$R^2=8$，
因为半径为正数，所以$R=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
几何概型，圆的面积计算
【点评】
本题将概率计算与几何面积计算相结合，解题的核心是将概率相等的条件转化为两个区域的面积相等关系，再结合圆的面积公式列方程求解，整体考查对基础概念的理解和简单计算能力。
【难度系数】
0.7
本题属于几何概型的应用问题，解题思路如下：首先明确随机撒豆子时，豆子落在某区域的概率等于该区域面积与平盘总面积的比值；题目给出两个事件概率相等，可推导出区域Ⅰ和区域Ⅱ的面积相等，进一步得到大圆面积是小圆面积的2倍；最后结合圆的面积公式列方程求解大圆半径即可。
【解析】
解：根据几何概型的特点，豆子落在区域Ⅰ的概率$P_Ⅰ=\frac{S_Ⅰ}{S_{\mathrm{大圆}}}$，豆子落在区域Ⅱ的概率$P_Ⅱ=\frac{S_Ⅱ}{S_{\mathrm{大圆}}}$。
已知$P_Ⅰ=P_Ⅱ$，因此$S_Ⅰ=S_Ⅱ$。
又因为$S_{\mathrm{大圆}}=S_Ⅰ+S_Ⅱ$，所以$S_{\mathrm{大圆}}=2S_Ⅰ$。
设大圆半径$ON=R$，已知小圆半径$OM=2$，根据圆的面积公式$S=π r^2$：
小圆面积$S_Ⅰ=π × 2^2=4π$，
大圆面积$S_{\mathrm{大圆}}=π R^2$，
代入$S_{\mathrm{大圆}}=2S_Ⅰ$得：$π R^2=2×4π$，
两边同时除以$π$得$R^2=8$，
因为半径为正数，所以$R=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
几何概型，圆的面积计算
【点评】
本题将概率计算与几何面积计算相结合，解题的核心是将概率相等的条件转化为两个区域的面积相等关系，再结合圆的面积公式列方程求解，整体考查对基础概念的理解和简单计算能力。
【难度系数】
0.7
