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类型一 局部最值
探究1.若(3)中添加条件“若为了促销吸引客户，规定售价最高不能超过70元”，那么当售价为多少元时，每天获利最大？
探究1.若(3)中添加条件“若为了促销吸引客户，规定售价最高不能超过70元”，那么当售价为多少元时，每天获利最大？
答案
解:$y=-2(x-15)^2+2450$,
又$60+x ≤ 70$,
$\therefore x ≤ 10$,
当$x=10,y_{\max}=2400$,
答:当售价为70元时,每天获利最大.
又$60+x ≤ 70$,
$\therefore x ≤ 10$,
当$x=10,y_{\max}=2400$,
答:当售价为70元时,每天获利最大.
探究2.要使每天的利润不低于2400元，求售价的取值范围。
答案
解:当$y=2400$时,$-2(x-15)^2+2450=2400$,
$x_1=10,x_2=20$,
答:售价范围为不小于70元不大于80元.
$x_1=10,x_2=20$,
答:售价范围为不小于70元不大于80元.
探究3.由于某种原因，该商品的进价提高了m元/件，且物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，若每天获得的最大利润是1800元，求m的值。
答案
解:$y=(20+x-m)(100-2x)=-2x^2+(2m+60)x+(2000-100m)$,
对称轴为直线$x=\frac{m}{2}+15＞5$,
又$x ≤ 5$,
$\therefore y$随$x$增大而增大,
故当$x=5$时,$y_{\max}=1800$,
$\therefore (25-m)(100-10)=1800,m=5$.
对称轴为直线$x=\frac{m}{2}+15＞5$,
又$x ≤ 5$,
$\therefore y$随$x$增大而增大,
故当$x=5$时,$y_{\max}=1800$,
$\therefore (25-m)(100-10)=1800,m=5$.
探究4.由于劳动成本增加，该商品成本提高了a元/件，销售发现：当售价不高于77元/件时，销售利润随x的增大而增大，求a的最小值.
答案
解:$y=(20+x-a)(100-2x)=-2x^2+(2a+60)x+(2000-100a)$,对称轴为直线$x=\frac{a}{2}+15$,
$\because x ≤ 17,y$随$x$增大而增大,
$\therefore \frac{a}{2}+15 ≥ 17$,
$a ≥ 4$,故$a$的最小值为4.
$\because x ≤ 17,y$随$x$增大而增大,
$\therefore \frac{a}{2}+15 ≥ 17$,
$a ≥ 4$,故$a$的最小值为4.
探究5.物价局规定，商品售价不能超过a元/件，求每天的最大利润。
答案
解:设商品售价为$m$元/件,$y=(m-40)[100-2(m-60)]=-2m^2+300m-8800=-2(m-75)^2+2450$,
当$a ≥ 75$时,$y_{\max}=2450$;
当$60＜a＜75$时,$y_{\max}=-2a^2+300a-8800$.
当$a ≥ 75$时,$y_{\max}=2450$;
当$60＜a＜75$时,$y_{\max}=-2a^2+300a-8800$.
探究6.若商场规定这批商品每天销量不低于 20m 件,且每天利润最大为 2400 元,求 m 的值.
答案
解:$y=-2(x-15)^2+2450$,销量$100-2x ≥ 20m$,$x ≤ 50-10m$,
当$50-10m ≥ 15$时,$x=15$,
$y_{\max}=2450＞2400$,不符合题意;
当$50-10m＜15$,$x=50-10m$时,
$y$最大,$-2(50-10m-15)^2+2450=2400$,
$\therefore m_1=3(舍),m_2=4$.
当$50-10m ≥ 15$时,$x=15$,
$y_{\max}=2450＞2400$,不符合题意;
当$50-10m＜15$,$x=50-10m$时,
$y$最大,$-2(50-10m-15)^2+2450=2400$,
$\therefore m_1=3(舍),m_2=4$.
