【典例1】生产某种产品需要1000元的固定花费，在此基础上，每生产1件商品花费20元，预定单价为60元，实际单价随产量增加而下调，下调幅度为产量的百分之十。当产量为何值时，利润最大？最大利润是多少？

解:设产品件数为x件,利润为y元.
$y = x(60-20-\dfrac{1}{10}x)-1000$
$= -\dfrac{1}{10}x^{2}+40x-1000$
当$x = -\dfrac{b}{2a}=200$(件)时,
y有最大值,$y_{最大}=3000$(元).
答:当产量为200件时,利润最大,最大利润是3000元.

【典例2】(2025·武汉)问题背景:某科研机构计划种植一种药材,收集信息如下:
单位面积产量$y$(单位:kg/亩)与种植面积$x$(单位:亩)的关系为:$y=1200-50x$；
种植成本$z$(单位:万元)与种植面积$x$(单位:亩)的关系为:$z=84+8x$；
销售价格:0.08万元/kg.
问题解决:
(1)求总产量为7200 kg时的种植面积(总产量=单位面积产量×种植面积)；
(2)求该科研机构种植这种药材能获得的最大利润(利润=销售额−种植成本)；
(3)该科研机构计划种植这种药材的成本不超过180万元,所获利润不低于300万元,直接写出种植面积$x$的范围.

(1)由题意得$x(1200-50x)=7200$,
$50x^{2}-1200x+7200=0$,
解得$x_{1}=x_{2}=12$.
答:总产量为7200 kg时的种植面积是12亩.
(2)设该科研机构种植这种药材的利润为w万元,依题意得
$w = 0.08x(1200-50x)-(84+8x)$
$= -4x^{2}+88x-84$
$= -4(x-11)^{2}+400$
$\because -4＜0,\therefore$当$x=11$时,w有最大值400.
答:该科研机构种植这种药材的最大利润为400万元.
(3)当$w=300$时,$-4(x-11)^{2}+400=300$,
$x_{1}=6,x_{2}=16$.
当$w≥300$时,$6≤ x≤16$,
又$\because z≤180$,即$84+8x≤180$,
$x≤12,\therefore 6≤ x≤12$.