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1.有下列式子:①$\sqrt{(-3)^2}$；②$\sqrt{3\dfrac{1}{10}-π}$；③$\sqrt{-3^2}$；④$\sqrt{\dfrac{1}{2}×(-\dfrac{2}{3})×\dfrac{3}{4}}$；⑤$\sqrt{\dfrac{1}{x}}\ (x＜0)$。其中二次根式有（
A.①⑤
B.②③⑤
C.①③④
D.①
D
）A.①⑤
B.②③⑤
C.①③④
D.①
答案
1.D
解析
【分析】
要判断一个式子是不是二次根式，需同时满足两个条件：1.含有二次根号“√”；2.被开方数（根号下的数或代数式）是非负数（即≥0）。解题时我们只需逐个计算每个式子的被开方数，判断其是否满足非负条件即可得出答案。
【解析】
我们逐一分析每个式子：
①$\sqrt{(-3)^2}$：被开方数$(-3)^2=9$，$9≥0$，满足二次根式的条件，是二次根式；
②$\sqrt{3\dfrac{1}{10}-π}$：$3\dfrac{1}{10}=3.1$，$π\approx3.14$，因此$3.1-π＜0$，被开方数为负数，无意义，不是二次根式；
③$\sqrt{-3^2}$：被开方数$-3^2=-9＜0$，无意义，不是二次根式；
④$\sqrt{\dfrac{1}{2}×(-\dfrac{2}{3})×\dfrac{3}{4}}$：计算被开方数的乘积得$\dfrac{1}{2}×(-\dfrac{2}{3})×\dfrac{3}{4}=-\dfrac{1}{4}＜0$，无意义，不是二次根式；
⑤$\sqrt{\dfrac{1}{x}}\ (x＜0)$：$x＜0$时$\dfrac{1}{x}＜0$，被开方数为负数，无意义，不是二次根式。
综上，只有①是二次根式，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的定义、乘方运算、实数符号判断
【点评】
本题是二次根式判定的基础题，核心考查二次根式的被开方数需为非负数的要求，易错点是计算被开方数时混淆$-3^2$和$(-3)^2$的运算结果，以及忽略已知条件中$x＜0$的限制，做题时只要严格按照判定条件逐一排查即可得分。
【难度系数】
0.7
要判断一个式子是不是二次根式，需同时满足两个条件：1.含有二次根号“√”；2.被开方数（根号下的数或代数式）是非负数（即≥0）。解题时我们只需逐个计算每个式子的被开方数，判断其是否满足非负条件即可得出答案。
【解析】
我们逐一分析每个式子：
①$\sqrt{(-3)^2}$：被开方数$(-3)^2=9$，$9≥0$，满足二次根式的条件，是二次根式；
②$\sqrt{3\dfrac{1}{10}-π}$：$3\dfrac{1}{10}=3.1$，$π\approx3.14$，因此$3.1-π＜0$，被开方数为负数，无意义，不是二次根式；
③$\sqrt{-3^2}$：被开方数$-3^2=-9＜0$，无意义，不是二次根式；
④$\sqrt{\dfrac{1}{2}×(-\dfrac{2}{3})×\dfrac{3}{4}}$：计算被开方数的乘积得$\dfrac{1}{2}×(-\dfrac{2}{3})×\dfrac{3}{4}=-\dfrac{1}{4}＜0$，无意义，不是二次根式；
⑤$\sqrt{\dfrac{1}{x}}\ (x＜0)$：$x＜0$时$\dfrac{1}{x}＜0$，被开方数为负数，无意义，不是二次根式。
综上，只有①是二次根式，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的定义、乘方运算、实数符号判断
【点评】
本题是二次根式判定的基础题，核心考查二次根式的被开方数需为非负数的要求，易错点是计算被开方数时混淆$-3^2$和$(-3)^2$的运算结果，以及忽略已知条件中$x＜0$的限制，做题时只要严格按照判定条件逐一排查即可得分。
【难度系数】
0.7
2.要在数轴上表示$\sqrt{41}$，可以用长为整数的两条线段为直角三角形的直角边长，使其斜边等于$\sqrt{41}$，则可选做两条直角边长的整数是（
A.3和5
B.4和5
C.5和6
D.2和6
B
）A.3和5
B.4和5
C.5和6
D.2和6
答案
2.B
解析
【分析】
本题需要找到斜边长为$\sqrt{41}$的直角三角形的整数直角边长，核心依据是勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。因此我们可以先算出斜边的平方为$(\sqrt{41})^2=41$，只需逐一计算各选项中两个整数的平方和，结果等于41的即为正确答案。
【解析】
设两条直角边长分别为$a$、$b$，根据勾股定理可得：
$a^2+b^2=(\sqrt{41})^2=41$
逐一验证选项：
A选项：$3^2+5^2=9+25=34≠41$，不符合要求；
B选项：$4^2+5^2=16+25=41$，符合要求；
C选项：$5^2+6^2=25+36=61≠41$，不符合要求；
D选项：$2^2+6^2=4+36=40≠41$，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，无理数的几何表示
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，解题逻辑清晰，只要熟练掌握勾股定理的公式，通过代入验证法就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
本题需要找到斜边长为$\sqrt{41}$的直角三角形的整数直角边长，核心依据是勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。因此我们可以先算出斜边的平方为$(\sqrt{41})^2=41$，只需逐一计算各选项中两个整数的平方和，结果等于41的即为正确答案。
【解析】
设两条直角边长分别为$a$、$b$，根据勾股定理可得：
$a^2+b^2=(\sqrt{41})^2=41$
逐一验证选项：
A选项：$3^2+5^2=9+25=34≠41$，不符合要求；
B选项：$4^2+5^2=16+25=41$，符合要求；
C选项：$5^2+6^2=25+36=61≠41$，不符合要求；
D选项：$2^2+6^2=4+36=40≠41$，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，无理数的几何表示
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，解题逻辑清晰，只要熟练掌握勾股定理的公式，通过代入验证法就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
3.如图1,两个正方形的面积分别为16和9,两阴影部分的面积分别为a,b(a＞b),则a−b等于（
A.7
B.6
C.5
D.4
A
）A.7
B.6
C.5
D.4
答案
3.A
解析
【分析】
要求$a-b$的值，若直接计算$a$、$b$的面积需要知道重叠空白部分的面积，观察发现$a$是大正方形面积减去重叠空白面积，$b$是小正方形面积减去重叠空白面积，我们可以先设重叠空白部分的面积为$s$，把$a$、$b$用含$s$的代数式表示，再作差计算，此时$s$会被抵消，不需要求出$s$的具体值即可得到结果。
【解析】
设两个正方形重叠的空白部分面积为$s$。
根据题意可得：
大正方形面积为16，因此阴影面积$a = 16 - s$；
小正方形面积为9，因此阴影面积$b = 9 - s$；
则$a - b = (16 - s) - (9 - s) = 16 - s - 9 + s = 7$。
【答案】
A
【知识点】
面积和差计算；整式的加减运算
【点评】
本题解题的核心是引入公共重叠空白面积作为中间量，通过作差抵消公共部分，将未知的空白面积消去，直接利用已知的正方形面积计算结果，避免了无需求出未知量的繁琐计算，是处理重叠面积类差值问题的常用技巧。
【难度系数】
0.7
要求$a-b$的值，若直接计算$a$、$b$的面积需要知道重叠空白部分的面积，观察发现$a$是大正方形面积减去重叠空白面积，$b$是小正方形面积减去重叠空白面积，我们可以先设重叠空白部分的面积为$s$，把$a$、$b$用含$s$的代数式表示，再作差计算，此时$s$会被抵消，不需要求出$s$的具体值即可得到结果。
【解析】
设两个正方形重叠的空白部分面积为$s$。
根据题意可得：
大正方形面积为16，因此阴影面积$a = 16 - s$；
小正方形面积为9，因此阴影面积$b = 9 - s$；
则$a - b = (16 - s) - (9 - s) = 16 - s - 9 + s = 7$。
【答案】
A
【知识点】
面积和差计算；整式的加减运算
【点评】
本题解题的核心是引入公共重叠空白面积作为中间量，通过作差抵消公共部分，将未知的空白面积消去，直接利用已知的正方形面积计算结果，避免了无需求出未知量的繁琐计算，是处理重叠面积类差值问题的常用技巧。
【难度系数】
0.7
4. 在$□ ABCD$中，$∠ B=60°$，那么下列各式中，不成立的是（
A.$∠ D=60°$
B.$∠ A=120°$
C.$∠ C+∠ D=180°$
D.$∠ C+∠ A=180°$
D
）A.$∠ D=60°$
B.$∠ A=120°$
C.$∠ C+∠ D=180°$
D.$∠ C+∠ A=180°$
答案
4.D
解析
【分析】
解题时首先回忆平行四边形的角的相关性质：①平行四边形的对角相等；②平行四边形的邻角互补（即相邻两个内角的和为180°）。本题要求选出不成立的选项，我们可以结合已知∠B=60°，利用上述性质逐一验证每个选项是否正确即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴平行四边形对角相等：∠B=∠D，∠A=∠C
平行四边形邻角互补：相邻两个内角和为180°
已知∠B=60°：
A选项：∠D=∠B=60°，成立，不符合题意；
B选项：∠A和∠B是邻角，∠A=180°-∠B=180°-60°=120°，成立，不符合题意；
C选项：∠C和∠D是邻角，故∠C+∠D=180°，成立，不符合题意；
D选项：∠C和∠A是对角，故∠C=∠A=120°，∠C+∠A=240°≠180°，不成立，符合题意。
综上选D。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形对角相等；平行四边形邻角互补
【点评】
本题属于平行四边形性质的基础考查题，解题核心是熟练掌握平行四边形对角、邻角的数量关系，做题时注意看清题干要求，避免因误选“成立”的选项而失分。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆平行四边形的角的相关性质：①平行四边形的对角相等；②平行四边形的邻角互补（即相邻两个内角的和为180°）。本题要求选出不成立的选项，我们可以结合已知∠B=60°，利用上述性质逐一验证每个选项是否正确即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴平行四边形对角相等：∠B=∠D，∠A=∠C
平行四边形邻角互补：相邻两个内角和为180°
已知∠B=60°：
A选项：∠D=∠B=60°，成立，不符合题意；
B选项：∠A和∠B是邻角，∠A=180°-∠B=180°-60°=120°，成立，不符合题意；
C选项：∠C和∠D是邻角，故∠C+∠D=180°，成立，不符合题意；
D选项：∠C和∠A是对角，故∠C=∠A=120°，∠C+∠A=240°≠180°，不成立，符合题意。
综上选D。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形对角相等；平行四边形邻角互补
【点评】
本题属于平行四边形性质的基础考查题，解题核心是熟练掌握平行四边形对角、邻角的数量关系，做题时注意看清题干要求，避免因误选“成立”的选项而失分。
【难度系数】
0.8
5.计算:
(1)$\sqrt{8} × \sqrt{3} - 2\sqrt{75} + 6\sqrt{\dfrac{1}{12}} + \sqrt{54}$;
(2)$(\dfrac{1}{2})^{-1} - |1 - \sqrt{2}| - \dfrac{1}{\sqrt{2}} + \sqrt{(-6)^2}$.
(1)$\sqrt{8} × \sqrt{3} - 2\sqrt{75} + 6\sqrt{\dfrac{1}{12}} + \sqrt{54}$;
(2)$(\dfrac{1}{2})^{-1} - |1 - \sqrt{2}| - \dfrac{1}{\sqrt{2}} + \sqrt{(-6)^2}$.
答案
5.(1)$5\sqrt{6}-9\sqrt{3}$ (2)$9-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$
解析
【分析】
（1）本题是二次根式的加减乘混合运算，解题思路为：先计算二次根式的乘法，再将所有非最简二次根式化为最简二次根式，最后合并同类二次根式即可得到结果。
（2）本题包含负整数指数幂、绝对值、分母有理化、二次根式化简四类运算，解题思路为：先分别计算每一项的结果，再去括号，最后合并常数项和同类二次根式即可。计算时要注意绝对值去号的符号规则，以及负指数幂的运算规则。
【解析】
(1) 先分别化简各项：
$\sqrt{8}×\sqrt{3}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$，
$2\sqrt{75}=2×5\sqrt{3}=10\sqrt{3}$，
$6\sqrt{\dfrac{1}{12}}=6×\dfrac{\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}$，
$\sqrt{54}=3\sqrt{6}$，
代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=2\sqrt{6}-10\sqrt{3}+\sqrt{3}+3\sqrt{6}\\&=(2\sqrt{6}+3\sqrt{6})+(-10\sqrt{3}+\sqrt{3})\\&=5\sqrt{6}-9\sqrt{3}\end{aligned}$
(2) 先分别计算每一项：
$(\dfrac{1}{2})^{-1}=2$，
因为$\sqrt{2}＞1$，所以$|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$，
$\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，
$\sqrt{(-6)^2}=\sqrt{36}=6$，
代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=2-(\sqrt{2}-1)-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+6\\&=2-\sqrt{2}+1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+6\\&=(2+1+6)+(-\sqrt{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2})\\&=9-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\end{aligned}$
【答案】
(1)$5\sqrt{6}-9\sqrt{3}$；(2)$9-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
二次根式混合运算，负整数指数幂，绝对值的性质
【点评】
本题是二次根式相关运算的基础典型题，既考查了二次根式化简、同类二次根式合并的核心技能，也融合了负指数幂、绝对值等基础运算考点。计算时需注意先化简再运算，去绝对值、去括号时要留意符号变化，避免因粗心出现计算错误。
【难度系数】
0.7
（1）本题是二次根式的加减乘混合运算，解题思路为：先计算二次根式的乘法，再将所有非最简二次根式化为最简二次根式，最后合并同类二次根式即可得到结果。
（2）本题包含负整数指数幂、绝对值、分母有理化、二次根式化简四类运算，解题思路为：先分别计算每一项的结果，再去括号，最后合并常数项和同类二次根式即可。计算时要注意绝对值去号的符号规则，以及负指数幂的运算规则。
【解析】
(1) 先分别化简各项：
$\sqrt{8}×\sqrt{3}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$，
$2\sqrt{75}=2×5\sqrt{3}=10\sqrt{3}$，
$6\sqrt{\dfrac{1}{12}}=6×\dfrac{\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}$，
$\sqrt{54}=3\sqrt{6}$，
代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=2\sqrt{6}-10\sqrt{3}+\sqrt{3}+3\sqrt{6}\\&=(2\sqrt{6}+3\sqrt{6})+(-10\sqrt{3}+\sqrt{3})\\&=5\sqrt{6}-9\sqrt{3}\end{aligned}$
(2) 先分别计算每一项：
$(\dfrac{1}{2})^{-1}=2$，
因为$\sqrt{2}＞1$，所以$|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$，
$\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，
$\sqrt{(-6)^2}=\sqrt{36}=6$，
代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=2-(\sqrt{2}-1)-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+6\\&=2-\sqrt{2}+1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+6\\&=(2+1+6)+(-\sqrt{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2})\\&=9-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\end{aligned}$
【答案】
(1)$5\sqrt{6}-9\sqrt{3}$；(2)$9-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
二次根式混合运算，负整数指数幂，绝对值的性质
【点评】
本题是二次根式相关运算的基础典型题，既考查了二次根式化简、同类二次根式合并的核心技能，也融合了负指数幂、绝对值等基础运算考点。计算时需注意先化简再运算，去绝对值、去括号时要留意符号变化，避免因粗心出现计算错误。
【难度系数】
0.7
6.如图2，已知直线$y=x+3$与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线l经过点A，与线段OB交于点C，把$△ AOB$的面积分为2：1的两部分，求直线l的解析式. 
图2
图2答案
6.$y=\dfrac{2}{3}x+2$ 或 $y=\dfrac{1}{3}x+1$
解析
【分析】
解题思路分为三步：①先求出直线$y=x+3$与坐标轴的交点A、B的坐标，计算$△ AOB$的总面积；②由于面积比没有明确哪部分更大，因此分两种情况讨论，根据面积比例关系分别求出点C的坐标；③最后用待定系数法，代入点A和点C的坐标，即可求出直线$l$的解析式。
【解析】
1. 求A、B两点坐标及$△ AOB$的面积
对于直线$y=x+3$：
令$y=0$，解得$x=-3$，因此$A(-3,0)$，$OA=3$；
令$x=0$，解得$y=3$，因此$B(0,3)$，$OB=3$；
$△ AOB$的面积$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× OA× OB=\frac{1}{2}×3×3=\frac{9}{2}$。
2. 分情况求点C的坐标
设点C坐标为$(0,c)$（$0＜c＜3$），则$OC=c$，$△ AOC$的面积$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}× OA× OC=\frac{3c}{2}$。
情况1：$S_{△ AOC}:S_{△ ABC}=1:2$，此时$S_{△ AOC}=\frac{1}{3}S_{△ AOB}=\frac{1}{3}×\frac{9}{2}=\frac{3}{2}$
代入面积公式得：$\frac{3c}{2}=\frac{3}{2}$，解得$c=1$，即$C(0,1)$。
情况2：$S_{△ AOC}:S_{△ ABC}=2:1$，此时$S_{△ AOC}=\frac{2}{3}S_{△ AOB}=\frac{2}{3}×\frac{9}{2}=3$
代入面积公式得：$\frac{3c}{2}=3$，解得$c=2$，即$C(0,2)$。
3. 用待定系数法求直线$l$的解析式
设直线$l$的解析式为$y=kx+b(k≠0)$：
当$C(0,2)$时，代入得$b=2$，再将$A(-3,0)$代入$y=kx+2$，得$0=-3k+2$，解得$k=\frac{2}{3}$，解析式为$y=\frac{2}{3}x+2$。
当$C(0,1)$时，代入得$b=1$，再将$A(-3,0)$代入$y=kx+1$，得$0=-3k+1$，解得$k=\frac{1}{3}$，解析式为$y=\frac{1}{3}x+1$。
【答案】
$y=\dfrac{2}{3}x+2$ 或 $y=\dfrac{1}{3}x+1$
【知识点】
一次函数的图象与性质，待定系数法求解析式，三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与几何面积的综合题，解题的关键是注意分类讨论面积比的两种情况，避免漏解，掌握坐标轴上点的坐标特征是解题的基础。
【难度系数】
0.7
解题思路分为三步：①先求出直线$y=x+3$与坐标轴的交点A、B的坐标，计算$△ AOB$的总面积；②由于面积比没有明确哪部分更大，因此分两种情况讨论，根据面积比例关系分别求出点C的坐标；③最后用待定系数法，代入点A和点C的坐标，即可求出直线$l$的解析式。
【解析】
1. 求A、B两点坐标及$△ AOB$的面积
对于直线$y=x+3$：
令$y=0$，解得$x=-3$，因此$A(-3,0)$，$OA=3$；
令$x=0$，解得$y=3$，因此$B(0,3)$，$OB=3$；
$△ AOB$的面积$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× OA× OB=\frac{1}{2}×3×3=\frac{9}{2}$。
2. 分情况求点C的坐标
设点C坐标为$(0,c)$（$0＜c＜3$），则$OC=c$，$△ AOC$的面积$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}× OA× OC=\frac{3c}{2}$。
情况1：$S_{△ AOC}:S_{△ ABC}=1:2$，此时$S_{△ AOC}=\frac{1}{3}S_{△ AOB}=\frac{1}{3}×\frac{9}{2}=\frac{3}{2}$
代入面积公式得：$\frac{3c}{2}=\frac{3}{2}$，解得$c=1$，即$C(0,1)$。
情况2：$S_{△ AOC}:S_{△ ABC}=2:1$，此时$S_{△ AOC}=\frac{2}{3}S_{△ AOB}=\frac{2}{3}×\frac{9}{2}=3$
代入面积公式得：$\frac{3c}{2}=3$，解得$c=2$，即$C(0,2)$。
3. 用待定系数法求直线$l$的解析式
设直线$l$的解析式为$y=kx+b(k≠0)$：
当$C(0,2)$时，代入得$b=2$，再将$A(-3,0)$代入$y=kx+2$，得$0=-3k+2$，解得$k=\frac{2}{3}$，解析式为$y=\frac{2}{3}x+2$。
当$C(0,1)$时，代入得$b=1$，再将$A(-3,0)$代入$y=kx+1$，得$0=-3k+1$，解得$k=\frac{1}{3}$，解析式为$y=\frac{1}{3}x+1$。
【答案】
$y=\dfrac{2}{3}x+2$ 或 $y=\dfrac{1}{3}x+1$
【知识点】
一次函数的图象与性质，待定系数法求解析式，三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与几何面积的综合题，解题的关键是注意分类讨论面积比的两种情况，避免漏解，掌握坐标轴上点的坐标特征是解题的基础。
【难度系数】
0.7
