登录
7.甲、乙两人各自记录了自己从家到学校所用的时间(单位:min).
甲:15 12 15 13 16 14 13 14
乙:16 20 12 22 13 25 13 19
从四分位数和箱线图比较,从家到学校所用时间较稳定的是
甲:15 12 15 13 16 14 13 14
乙:16 20 12 22 13 25 13 19
从四分位数和箱线图比较,从家到学校所用时间较稳定的是
甲
.答案
7.甲
解析
【分析】要判断谁从家到学校的时间更稳定，本质是比较两组数据的离散程度，可通过四分位距判断：四分位距是上四分位数与下四分位数的差，数值越小说明中间50%的数据越集中，数据越稳定。解题步骤为：①先将两组数据分别从小到大排序；②分别计算两组数据的下四分位数Q₁、上四分位数Q₃；③计算四分位距IQR=Q₃-Q₁，比较两组IQR大小，IQR更小的一组数据更稳定。
【解析】
步骤1：将甲、乙的数据分别从小到大排序
甲排序后：12，13，13，14，14，15，15，16（共8个数据）
乙排序后：12，13，13，16，19，20，22，25（共8个数据）
步骤2：分别计算两组的上下四分位数
对于n=8的数据集，前半部分为前4个数据，后半部分为后4个数据，下四分位数是前半部分的中位数，上四分位数是后半部分的中位数：
①甲的下四分位数Q₁：前4个数的中位数为(13+13)÷2=13
甲的上四分位数Q₃：后4个数的中位数为(15+15)÷2=15
甲的四分位距：15-13=2
②乙的下四分位数Q₁：前4个数的中位数为(13+13)÷2=13
乙的上四分位数Q₃：后4个数的中位数为(20+22)÷2=21
乙的四分位距：21-13=8
步骤3：比较四分位距
因为2＜8，甲的四分位距更小，说明甲的时间数据更集中，更稳定。
【答案】甲
【知识点】四分位数计算；四分位距；数据稳定性判断
【点评】本题考查利用四分位距判断数据离散程度，需要掌握数据排序、四分位数的计算方法，明确四分位距越小，数据波动越小、越稳定的规律。
【难度系数】0.7
【解析】
步骤1：将甲、乙的数据分别从小到大排序
甲排序后：12，13，13，14，14，15，15，16（共8个数据）
乙排序后：12，13，13，16，19，20，22，25（共8个数据）
步骤2：分别计算两组的上下四分位数
对于n=8的数据集，前半部分为前4个数据，后半部分为后4个数据，下四分位数是前半部分的中位数，上四分位数是后半部分的中位数：
①甲的下四分位数Q₁：前4个数的中位数为(13+13)÷2=13
甲的上四分位数Q₃：后4个数的中位数为(15+15)÷2=15
甲的四分位距：15-13=2
②乙的下四分位数Q₁：前4个数的中位数为(13+13)÷2=13
乙的上四分位数Q₃：后4个数的中位数为(20+22)÷2=21
乙的四分位距：21-13=8
步骤3：比较四分位距
因为2＜8，甲的四分位距更小，说明甲的时间数据更集中，更稳定。
【答案】甲
【知识点】四分位数计算；四分位距；数据稳定性判断
【点评】本题考查利用四分位距判断数据离散程度，需要掌握数据排序、四分位数的计算方法，明确四分位距越小，数据波动越小、越稳定的规律。
【难度系数】0.7
8.如图3,过边长为1的正方形的对角线的交点O引两条相互垂直的射线,分别与正方形的边交于A,B两点,则线段AB长的取值范围是
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}≤ AB≤1$
。答案
8.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}≤ AB≤1$
解析
【分析】
首先结合正方形性质分析，对角线交点O是正方形的中心，到各边距离相等、到各顶点距离相等，且相邻边对应的相关角为45°。已知OA⊥OB，可通过角的等量代换证明三角形全等，得到OA=OB，即可推出△AOB为等腰直角三角形，因此AB的长度可转化为与OA相关的表达式。接下来只需确定OA的取值范围：根据垂线段最短，OA最小时为O到边的垂线段长度；OA最大时为O到正方形顶点的距离，代入即可得到AB的取值范围。
【解析】
解：
∵正方形的边长为1，
∴由勾股定理得正方形对角线长为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，则中心O到正方形顶点的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，O到正方形任意一边的垂线段长度为$\frac{1}{2}$。
∵O是正方形对角线的交点，
∴O到相邻两边的距离相等，对应角均为45°。
∵OA⊥OB，
∴$∠ AOB=90°$，可得$∠ AOM + ∠ MOB = ∠ BON + ∠ MOB=90°$，即$∠ AOM=∠ BON$（M、N为O到相邻两边的垂足）。
在$△ AOM$和$△ BON$中：
$\begin{cases}∠ AMO=∠ BNO=90° \\OM=ON \\∠ AOM=∠ BON\end{cases}$
∴$△ AOM≌△ BON$（ASA），
∴$OA=OB$，
∴$△ AOB$是等腰直角三角形，由勾股定理得$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{2}OA$。
根据垂线段最短，OA的最小值为O到边的距离$\frac{1}{2}$，此时AB的最小值为$\sqrt{2}×\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
OA的最大值为O到正方形顶点的距离$\frac{\sqrt{2}}{2}$，此时AB的最大值为$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=1$。
综上，线段AB长的取值范围是$\frac{\sqrt{2}}{2}≤ AB≤1$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}≤ AB≤1$
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于中等难度的几何综合题，解题核心是通过全等证明将AB的长度转化为和OA相关的表达式，结合点到直线的距离最值确定范围，渗透了转化的数学思想。
【难度系数】
0.6
首先结合正方形性质分析，对角线交点O是正方形的中心，到各边距离相等、到各顶点距离相等，且相邻边对应的相关角为45°。已知OA⊥OB，可通过角的等量代换证明三角形全等，得到OA=OB，即可推出△AOB为等腰直角三角形，因此AB的长度可转化为与OA相关的表达式。接下来只需确定OA的取值范围：根据垂线段最短，OA最小时为O到边的垂线段长度；OA最大时为O到正方形顶点的距离，代入即可得到AB的取值范围。
【解析】
解：
∵正方形的边长为1，
∴由勾股定理得正方形对角线长为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，则中心O到正方形顶点的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，O到正方形任意一边的垂线段长度为$\frac{1}{2}$。
∵O是正方形对角线的交点，
∴O到相邻两边的距离相等，对应角均为45°。
∵OA⊥OB，
∴$∠ AOB=90°$，可得$∠ AOM + ∠ MOB = ∠ BON + ∠ MOB=90°$，即$∠ AOM=∠ BON$（M、N为O到相邻两边的垂足）。
在$△ AOM$和$△ BON$中：
$\begin{cases}∠ AMO=∠ BNO=90° \\OM=ON \\∠ AOM=∠ BON\end{cases}$
∴$△ AOM≌△ BON$（ASA），
∴$OA=OB$，
∴$△ AOB$是等腰直角三角形，由勾股定理得$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{2}OA$。
根据垂线段最短，OA的最小值为O到边的距离$\frac{1}{2}$，此时AB的最小值为$\sqrt{2}×\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
OA的最大值为O到正方形顶点的距离$\frac{\sqrt{2}}{2}$，此时AB的最大值为$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=1$。
综上，线段AB长的取值范围是$\frac{\sqrt{2}}{2}≤ AB≤1$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}≤ AB≤1$
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于中等难度的几何综合题，解题核心是通过全等证明将AB的长度转化为和OA相关的表达式，结合点到直线的距离最值确定范围，渗透了转化的数学思想。
【难度系数】
0.6
9.小高从家骑车去单位上班,先走平路到达点A,再走上坡路到达点B,最后走下坡路到达单位,所用的时间与路程的关系如图4所示.下班后,如果他沿原路返回,且走平路、上坡路、下坡路的速度分别和上班时保持一致,那么他从单位回到家需要多长时间?
答案
9.15分钟
解析
【分析】
解题时首先从路程-时间图像中提取小高上班时各段路程对应的时间，分别计算出平路、上坡路、下坡路的行驶速度。返程时沿原路返回，原来的上坡路变为下坡路，原来的下坡路变为上坡路，平路路程不变，再分别计算返程各路段所需时间，求和即可得到总时间。
【解析】
首先计算上班时各路段的速度：
1. 平路（OA段）：路程1千米，用时3分钟，平路速度 $ v_{\mathrm{平}} = \frac{1}{3} $ 千米/分钟。
2. 上坡路（AB段）：路程为 $ 2-1=1 $ 千米，用时 $ 8-3=5 $ 分钟，上坡速度 $ v_{\mathrm{上}} = \frac{1}{5} $ 千米/分钟。
3. 下坡路（B到单位段）：路程为 $ 4-2=2 $ 千米，用时 $ 12-8=4 $ 分钟，下坡速度 $ v_{\mathrm{下}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $ 千米/分钟。
返程时各路段时间计算：
1. 原下坡路段变为上坡路段，路程2千米，用时 $ t_1 = 2 ÷ \frac{1}{5} = 10 $ 分钟。
2. 原上坡路段变为下坡路段，路程1千米，用时 $ t_2 = 1 ÷ \frac{1}{2} = 2 $ 分钟。
3. 平路路程不变，用时 $ t_3 = 1 ÷ \frac{1}{3} = 3 $ 分钟。
总时间为 $ t = 10 + 2 + 3 = 15 $ 分钟。
【答案】
15分钟
【知识点】
1. 路程-时间图像应用
2. 行程问题计算
【点评】
本题解题的易错点是忽略返程时上下坡路段的互换，只要先准确计算出不同路段的行驶速度，再分段计算返程时间相加即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
解题时首先从路程-时间图像中提取小高上班时各段路程对应的时间，分别计算出平路、上坡路、下坡路的行驶速度。返程时沿原路返回，原来的上坡路变为下坡路，原来的下坡路变为上坡路，平路路程不变，再分别计算返程各路段所需时间，求和即可得到总时间。
【解析】
首先计算上班时各路段的速度：
1. 平路（OA段）：路程1千米，用时3分钟，平路速度 $ v_{\mathrm{平}} = \frac{1}{3} $ 千米/分钟。
2. 上坡路（AB段）：路程为 $ 2-1=1 $ 千米，用时 $ 8-3=5 $ 分钟，上坡速度 $ v_{\mathrm{上}} = \frac{1}{5} $ 千米/分钟。
3. 下坡路（B到单位段）：路程为 $ 4-2=2 $ 千米，用时 $ 12-8=4 $ 分钟，下坡速度 $ v_{\mathrm{下}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $ 千米/分钟。
返程时各路段时间计算：
1. 原下坡路段变为上坡路段，路程2千米，用时 $ t_1 = 2 ÷ \frac{1}{5} = 10 $ 分钟。
2. 原上坡路段变为下坡路段，路程1千米，用时 $ t_2 = 1 ÷ \frac{1}{2} = 2 $ 分钟。
3. 平路路程不变，用时 $ t_3 = 1 ÷ \frac{1}{3} = 3 $ 分钟。
总时间为 $ t = 10 + 2 + 3 = 15 $ 分钟。
【答案】
15分钟
【知识点】
1. 路程-时间图像应用
2. 行程问题计算
【点评】
本题解题的易错点是忽略返程时上下坡路段的互换，只要先准确计算出不同路段的行驶速度，再分段计算返程时间相加即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
10.某活动小组为使全小组成员的成绩都达到优秀，打算实施“以优帮困”计划，为此统计了上次测试各成员的成绩(单位：分):90,95,87,92,63,55,82,76,100,80.计算这组数据的方差.
答案
10.181.2
解析
【分析】
要计算一组数据的方差，需按照固定步骤推导：第一步先计算这组数据的平均数，明确数据的平均水平；第二步分别计算每个数据与平均数的差的平方，体现单个数据和平均水平的偏离程度；第三步计算这些平方值的平均数，最终结果就是这组数据的方差。解题时需注意每一步的运算准确性，避免加减法或乘方计算出错。
【解析】
解：已知该组数据共10个。
1. 计算平均数$\overline{x}$：
$\overline{x}=\frac{1}{10}×(90+95+87+92+63+55+82+76+100+80)=\frac{1}{10}×820=82$
2. 根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$计算方差：
$s^2=\frac{1}{10}×[(90-82)^2+(95-82)^2+(87-82)^2+(92-82)^2+(63-82)^2+(55-82)^2+(82-82)^2+(76-82)^2+(100-82)^2+(80-82)^2]$
$=\frac{1}{10}×(64+169+25+100+361+729+0+36+324+4)$
$=\frac{1}{10}×1812$
$=181.2$
【答案】
181.2
【知识点】
平均数计算、方差计算
【点评】
本题属于方差计算的基础题型，核心考查方差的计算逻辑，解题时只要严格按照“求平均数→算离均差平方→求平方的平均数”的流程运算，保证每一步计算准确，即可顺利得出结果。
【难度系数】
0.8
要计算一组数据的方差，需按照固定步骤推导：第一步先计算这组数据的平均数，明确数据的平均水平；第二步分别计算每个数据与平均数的差的平方，体现单个数据和平均水平的偏离程度；第三步计算这些平方值的平均数，最终结果就是这组数据的方差。解题时需注意每一步的运算准确性，避免加减法或乘方计算出错。
【解析】
解：已知该组数据共10个。
1. 计算平均数$\overline{x}$：
$\overline{x}=\frac{1}{10}×(90+95+87+92+63+55+82+76+100+80)=\frac{1}{10}×820=82$
2. 根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$计算方差：
$s^2=\frac{1}{10}×[(90-82)^2+(95-82)^2+(87-82)^2+(92-82)^2+(63-82)^2+(55-82)^2+(82-82)^2+(76-82)^2+(100-82)^2+(80-82)^2]$
$=\frac{1}{10}×(64+169+25+100+361+729+0+36+324+4)$
$=\frac{1}{10}×1812$
$=181.2$
【答案】
181.2
【知识点】
平均数计算、方差计算
【点评】
本题属于方差计算的基础题型，核心考查方差的计算逻辑，解题时只要严格按照“求平均数→算离均差平方→求平方的平均数”的流程运算，保证每一步计算准确，即可顺利得出结果。
【难度系数】
0.8
11.如图5,在菱形ABCD中,∠ABC=40°,E为对角线BD上一点,F为AD边上一点,连接AE,CE,FE.若AE=FE,∠BEC=58°,求∠AFE的度数.
答案
11.$38°$
解析
【分析】
解题时先利用菱形的性质：对角线BD是菱形的对称轴，且平分内角，可得BD上的点E到A、C的距离相等，即AE=CE，结合已知AE=FE，得到边的等量关系；再通过SAS证明△ABE和△CBE全等，得到对应角相等；随后在△BEC中用三角形内角和算出∠BCE的度数，结合菱形邻角互补求出∠BAD的度数，进而求出∠EAD的度数；最后利用等腰三角形等边对等角的性质，即可求出∠AFE的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，AD//BC，BD平分∠ABC，∠BAD+∠ABC=180°，
∴$∠ ABE=∠ CBE=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×40°=20°$，$∠ BAD=180°-40°=140°$。
在$△ ABE$和$△ CBE$中：
$\begin{cases}AB=BC \\∠ ABE=∠ CBE \\BE=BE\end{cases}$
∴$△ ABE≌△ CBE(\mathrm{SAS})$，
∴$AE=CE$，$∠ BAE=∠ BCE$。
在$△ BEC$中，$∠ BEC=58°$，$∠ CBE=20°$，
∴$∠ BCE=180°-∠ CBE-∠ BEC=180°-20°-58°=102°$，
∴$∠ BAE=102°$，
∴$∠ EAD=∠ BAD-∠ BAE=140°-102°=38°$。
又
∵$AE=FE$，
∴$∠ AFE=∠ EAD=38°$。
【答案】
$38°$
【知识点】
菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是灵活运用菱形的对称性得到边、角的等量关系，结合全等三角形、等腰三角形的性质逐步推导所求角度。
【难度系数】
0.65
解题时先利用菱形的性质：对角线BD是菱形的对称轴，且平分内角，可得BD上的点E到A、C的距离相等，即AE=CE，结合已知AE=FE，得到边的等量关系；再通过SAS证明△ABE和△CBE全等，得到对应角相等；随后在△BEC中用三角形内角和算出∠BCE的度数，结合菱形邻角互补求出∠BAD的度数，进而求出∠EAD的度数；最后利用等腰三角形等边对等角的性质，即可求出∠AFE的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，AD//BC，BD平分∠ABC，∠BAD+∠ABC=180°，
∴$∠ ABE=∠ CBE=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×40°=20°$，$∠ BAD=180°-40°=140°$。
在$△ ABE$和$△ CBE$中：
$\begin{cases}AB=BC \\∠ ABE=∠ CBE \\BE=BE\end{cases}$
∴$△ ABE≌△ CBE(\mathrm{SAS})$，
∴$AE=CE$，$∠ BAE=∠ BCE$。
在$△ BEC$中，$∠ BEC=58°$，$∠ CBE=20°$，
∴$∠ BCE=180°-∠ CBE-∠ BEC=180°-20°-58°=102°$，
∴$∠ BAE=102°$，
∴$∠ EAD=∠ BAD-∠ BAE=140°-102°=38°$。
又
∵$AE=FE$，
∴$∠ AFE=∠ EAD=38°$。
【答案】
$38°$
【知识点】
菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是灵活运用菱形的对称性得到边、角的等量关系，结合全等三角形、等腰三角形的性质逐步推导所求角度。
【难度系数】
0.65
