登录
20（2025徐州期末）已知函数$y=kx+b$和$y=mx+n$的图象交于点$P(2,4)$，则关于$x,y$的方程组$\begin{cases}kx - y + b = 0, \\ mx - y + n = 0\end{cases}$的解是（ ）
A.$\begin{cases}x=2, \\ y=4\end{cases}$
B.$\begin{cases}x=4, \\ y=2\end{cases}$
C.$\begin{cases}x=-2, \\ y=4\end{cases}$
D.$\begin{cases}x=2, \\ y=-4\end{cases}$
A.$\begin{cases}x=2, \\ y=4\end{cases}$
B.$\begin{cases}x=4, \\ y=2\end{cases}$
C.$\begin{cases}x=-2, \\ y=4\end{cases}$
D.$\begin{cases}x=2, \\ y=-4\end{cases}$
答案
20.A
解析
【分析】
解题时首先要明确一次函数与二元一次方程组的对应关系：两个一次函数图象的交点坐标，就是这两个函数解析式联立组成的二元一次方程组的解。首先我们先把题干中给出的方程组进行变形，观察变形后的式子是否和已知的两个一次函数解析式一致，再结合已知的交点坐标，就能直接得到方程组的解。
【解析】
先将方程组$\begin{cases}kx - y + b = 0 \\ mx - y + n = 0\end{cases}$进行移项变形，可得$\begin{cases}y = kx + b \\ y = mx + n\end{cases}$。
已知函数$y=kx+b$和$y=mx+n$的图象交于点$P(2,4)$，说明点$P(2,4)$的坐标同时满足两个一次函数的解析式，即$x=2$、$y=4$同时满足方程组中的两个方程，因此该方程组的解为$\begin{cases}x=2 \\ y=4\end{cases}$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】一次函数与方程组的关系；一次函数交点意义
【点评】本题属于基础题型，核心是理解一次函数图象交点与对应二元一次方程组解的对应关系，掌握该规律即可快速得出答案，无需复杂计算。
【难度系数】0.9
解题时首先要明确一次函数与二元一次方程组的对应关系：两个一次函数图象的交点坐标，就是这两个函数解析式联立组成的二元一次方程组的解。首先我们先把题干中给出的方程组进行变形，观察变形后的式子是否和已知的两个一次函数解析式一致，再结合已知的交点坐标，就能直接得到方程组的解。
【解析】
先将方程组$\begin{cases}kx - y + b = 0 \\ mx - y + n = 0\end{cases}$进行移项变形，可得$\begin{cases}y = kx + b \\ y = mx + n\end{cases}$。
已知函数$y=kx+b$和$y=mx+n$的图象交于点$P(2,4)$，说明点$P(2,4)$的坐标同时满足两个一次函数的解析式，即$x=2$、$y=4$同时满足方程组中的两个方程，因此该方程组的解为$\begin{cases}x=2 \\ y=4\end{cases}$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】一次函数与方程组的关系；一次函数交点意义
【点评】本题属于基础题型，核心是理解一次函数图象交点与对应二元一次方程组解的对应关系，掌握该规律即可快速得出答案，无需复杂计算。
【难度系数】0.9
21（2026常州期末）已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases}ax - by = 6b, \\ mx - ny = 2n\end{cases}$的解是$\begin{cases}x=4, \\ y=2,\end{cases}$则一次函数$y=\frac{a}{b}x -4$，$y=\frac{m}{n}x$的图象交点的坐标是 ______ 。
答案
21.$(4,4)$
解析
【分析】
要解决本题，首先需明确：两个一次函数图象的交点坐标就是将两个函数解析式联立得到的二元一次方程组的解。我们可以先利用已知方程组的解，代入原方程组求出两个一次函数中未知系数的比值$\frac{a}{b}$和$\frac{m}{n}$，再联立两个一次函数解析式求解，即可得到交点坐标。
【解析】
∵ 方程组$\begin{cases}ax - by = 6b \\ mx - ny = 2n\end{cases}$的解是$\begin{cases}x=4 \\ y=2\end{cases}$
∴ 将$\begin{cases}x=4 \\ y=2\end{cases}$代入$ax - by = 6b$，得：
$4a - 2b = 6b$
移项整理得$4a = 8b$，由一次函数有意义可知$b≠0$，两边同时除以$4b$得$\frac{a}{b}=2$，则一次函数$y=\frac{a}{b}x -4$可化为$y=2x -4$。
再将$\begin{cases}x=4 \\ y=2\end{cases}$代入$mx - ny = 2n$，得：
$4m - 2n = 2n$
移项整理得$4m = 4n$，由一次函数有意义可知$n≠0$，两边同时除以$4n$得$\frac{m}{n}=1$，则一次函数$y=\frac{m}{n}x$可化为$y=x$。
联立两个一次函数解析式得$\begin{cases}y=2x -4 \\ y=x\end{cases}$
将$y=x$代入$y=2x -4$，得$x=2x -4$，解得$x=4$，代入$y=x$得$y=4$。
【答案】
$(4,4)$
【知识点】
一次函数与二元一次方程组的关系，方程的解的定义，一次函数交点求解
【点评】
本题核心是考查一次函数与二元一次方程组的对应关系，解题的关键是利用已知方程组的解求出两个一次函数的系数比值，再联立求解交点，需要注意分母不为0的隐含限制，属于基础知识点的综合应用类题目。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先需明确：两个一次函数图象的交点坐标就是将两个函数解析式联立得到的二元一次方程组的解。我们可以先利用已知方程组的解，代入原方程组求出两个一次函数中未知系数的比值$\frac{a}{b}$和$\frac{m}{n}$，再联立两个一次函数解析式求解，即可得到交点坐标。
【解析】
∵ 方程组$\begin{cases}ax - by = 6b \\ mx - ny = 2n\end{cases}$的解是$\begin{cases}x=4 \\ y=2\end{cases}$
∴ 将$\begin{cases}x=4 \\ y=2\end{cases}$代入$ax - by = 6b$，得：
$4a - 2b = 6b$
移项整理得$4a = 8b$，由一次函数有意义可知$b≠0$，两边同时除以$4b$得$\frac{a}{b}=2$，则一次函数$y=\frac{a}{b}x -4$可化为$y=2x -4$。
再将$\begin{cases}x=4 \\ y=2\end{cases}$代入$mx - ny = 2n$，得：
$4m - 2n = 2n$
移项整理得$4m = 4n$，由一次函数有意义可知$n≠0$，两边同时除以$4n$得$\frac{m}{n}=1$，则一次函数$y=\frac{m}{n}x$可化为$y=x$。
联立两个一次函数解析式得$\begin{cases}y=2x -4 \\ y=x\end{cases}$
将$y=x$代入$y=2x -4$，得$x=2x -4$，解得$x=4$，代入$y=x$得$y=4$。
【答案】
$(4,4)$
【知识点】
一次函数与二元一次方程组的关系，方程的解的定义，一次函数交点求解
【点评】
本题核心是考查一次函数与二元一次方程组的对应关系，解题的关键是利用已知方程组的解求出两个一次函数的系数比值，再联立求解交点，需要注意分母不为0的隐含限制，属于基础知识点的综合应用类题目。
【难度系数】
0.7
22 (2026 南京玄武期末)已知一次函数$y_1=k_1x+b_1$与$y_2=k_2x+b_2$($k_1,b_1,k_2,b_2$均为常数)的图象交于点$(2,3)$，则关于$x,y$的方程组$\begin{cases}k_1(x-1)+b_1 - y=0 \\ k_2(x-1)+b_2 - y=0\end{cases}$的解是 ______ 。
答案
22.$\begin{cases}x=3,\\y=3\end{cases}$
解析
【分析】
解题时首先要明确：两个一次函数图象的交点坐标就是这两个函数解析式组成的二元一次方程组的解。先根据已知的交点坐标得到原对应方程组的解，再将待求的方程组变形，对比原函数式可发现待求方程组的自变量是$(x-1)$，利用整体思想，令$x-1$等于原方程组的$x$的解，即可求出新方程组的解。
【解析】
∵ 一次函数$y_1=k_1x+b_1$与$y_2=k_2x+b_2$的图象交于点$(2,3)$
∴ 方程组$\begin{cases}y=k_1x+b_1\\y=k_2x+b_2\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=2\\y=3\end{cases}$
将待求方程组$\begin{cases}k_1(x-1)+b_1 - y=0 \\ k_2(x-1)+b_2 - y=0\end{cases}$变形，得：
$\begin{cases}y=k_1(x-1)+b_1\\y=k_2(x-1)+b_2\end{cases}$
令$t=x-1$，则上述方程组变为$\begin{cases}y=k_1t+b_1\\y=k_2t+b_2\end{cases}$
结合前面的结论，可得该方程组的解为$\begin{cases}t=2\\y=3\end{cases}$
即$x-1=2$，解得$x=3$
∴ 原方程组的解为$\begin{cases}x=3\\y=3\end{cases}$
【答案】
$\begin{cases}x=3\\y=3\end{cases}$
【知识点】
1. 一次函数与二元一次方程组的关系
2. 整体换元思想
【点评】
本题是一次函数与二元一次方程组结合的典型题型，核心是理解一次函数交点坐标和对应方程组解的对应关系，通过整体替换自变量的形式即可快速求解，易错点是容易忽略自变量的变形直接代入原$x$的值。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确：两个一次函数图象的交点坐标就是这两个函数解析式组成的二元一次方程组的解。先根据已知的交点坐标得到原对应方程组的解，再将待求的方程组变形，对比原函数式可发现待求方程组的自变量是$(x-1)$，利用整体思想，令$x-1$等于原方程组的$x$的解，即可求出新方程组的解。
【解析】
∵ 一次函数$y_1=k_1x+b_1$与$y_2=k_2x+b_2$的图象交于点$(2,3)$
∴ 方程组$\begin{cases}y=k_1x+b_1\\y=k_2x+b_2\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=2\\y=3\end{cases}$
将待求方程组$\begin{cases}k_1(x-1)+b_1 - y=0 \\ k_2(x-1)+b_2 - y=0\end{cases}$变形，得：
$\begin{cases}y=k_1(x-1)+b_1\\y=k_2(x-1)+b_2\end{cases}$
令$t=x-1$，则上述方程组变为$\begin{cases}y=k_1t+b_1\\y=k_2t+b_2\end{cases}$
结合前面的结论，可得该方程组的解为$\begin{cases}t=2\\y=3\end{cases}$
即$x-1=2$，解得$x=3$
∴ 原方程组的解为$\begin{cases}x=3\\y=3\end{cases}$
【答案】
$\begin{cases}x=3\\y=3\end{cases}$
【知识点】
1. 一次函数与二元一次方程组的关系
2. 整体换元思想
【点评】
本题是一次函数与二元一次方程组结合的典型题型，核心是理解一次函数交点坐标和对应方程组解的对应关系，通过整体替换自变量的形式即可快速求解，易错点是容易忽略自变量的变形直接代入原$x$的值。
【难度系数】
0.7
23（2026南京鼓楼期末）某商场销售甲、乙两种服装，其进价与售价的情况如下表，现计划购进这两种服装共100件，其中甲种服装不少于60件.设购进甲种服装x件，两种服装全部售完，商场获利y元.
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若购进100件服装的总费用不超过15 000元，求最大利润.
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若购进100件服装的总费用不超过15 000元，求最大利润.
答案
23. 解:(1) 由题意，得设购进甲种服装 x 件，则购进乙服装 (100-x) 件，
所以 y=(210-160)x+(150-120)×(100-x)=20x+3000，
所以 y 与 x 之间的函数关系式为 y=20x+3000，60≤x≤100。
(2) 由题意，得 $\begin{cases}x≥60,\\160x+120(100-x)≤15000,\end{cases}$
解得 60≤x≤75，且 x 为整数。
因为在 y=20x+3000 中，20＞0，
所以 y 随 x 的增大而增大，
所以当 x=75 时，y 最大，最大值为 20×75+3000=4500(元)。
故最大利润为 4500 元。
所以 y=(210-160)x+(150-120)×(100-x)=20x+3000，
所以 y 与 x 之间的函数关系式为 y=20x+3000，60≤x≤100。
(2) 由题意，得 $\begin{cases}x≥60,\\160x+120(100-x)≤15000,\end{cases}$
解得 60≤x≤75，且 x 为整数。
因为在 y=20x+3000 中，20＞0，
所以 y 随 x 的增大而增大，
所以当 x=75 时，y 最大，最大值为 20×75+3000=4500(元)。
故最大利润为 4500 元。
解析
【分析】
（1）求y与x的函数关系式时，先明确总利润=甲服装总利润+乙服装总利润。已知购进甲服装x件，总购进量为100件，因此乙服装购进量为(100-x)件，先分别计算甲、乙单件服装的利润，再乘对应销量相加即可得到函数式，同时结合“甲种服装不少于60件”的条件确定x的取值范围。
（2）先根据“总购进费用不超过15000元”列不等式，结合x≥60组成不等式组，求出x的可行范围。再根据一次函数的增减性，在x的可行范围内取对应值即可求出最大利润。
【解析】
(1) 设购进甲种服装x件，则购进乙种服装$(100-x)$件。
单件甲服装利润为$210-160=50$元，单件乙服装利润为$150-120=30$元，因此总利润：
$\begin{aligned}y&=50x+30(100-x)\\&=20x+3000\end{aligned}$
结合甲种服装不少于60件，且总件数为100，得x的取值范围为$60≤ x≤100$（x为整数）。
(2) 根据总购进费用不超过15000元，列不等式组：
$\begin{cases}x≥60\\160x+120(100-x)≤15000\end{cases}$
解第二个不等式：$160x+12000-120x≤15000$，化简得$40x≤3000$，即$x≤75$。
因此x的取值范围为$60≤ x≤75$（x为整数）。
在函数$y=20x+3000$中，$20＞0$，y随x的增大而增大，因此当$x=75$时，y取最大值：
$y=20×75+3000=4500$（元）
【答案】
(1) $y=20x+3000\quad(60≤ x≤100，x为整数)$
(2) 最大利润为4500元
【知识点】
一次函数的应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的性质
【点评】
本题为常见的销售类实际应用题，解题关键是理清成本、利润、销量之间的数量关系，正确建立函数模型和不等式组，再结合一次函数的增减性求解最值，考查学生的数学建模能力和计算能力。
【难度系数】
0.7
（1）求y与x的函数关系式时，先明确总利润=甲服装总利润+乙服装总利润。已知购进甲服装x件，总购进量为100件，因此乙服装购进量为(100-x)件，先分别计算甲、乙单件服装的利润，再乘对应销量相加即可得到函数式，同时结合“甲种服装不少于60件”的条件确定x的取值范围。
（2）先根据“总购进费用不超过15000元”列不等式，结合x≥60组成不等式组，求出x的可行范围。再根据一次函数的增减性，在x的可行范围内取对应值即可求出最大利润。
【解析】
(1) 设购进甲种服装x件，则购进乙种服装$(100-x)$件。
单件甲服装利润为$210-160=50$元，单件乙服装利润为$150-120=30$元，因此总利润：
$\begin{aligned}y&=50x+30(100-x)\\&=20x+3000\end{aligned}$
结合甲种服装不少于60件，且总件数为100，得x的取值范围为$60≤ x≤100$（x为整数）。
(2) 根据总购进费用不超过15000元，列不等式组：
$\begin{cases}x≥60\\160x+120(100-x)≤15000\end{cases}$
解第二个不等式：$160x+12000-120x≤15000$，化简得$40x≤3000$，即$x≤75$。
因此x的取值范围为$60≤ x≤75$（x为整数）。
在函数$y=20x+3000$中，$20＞0$，y随x的增大而增大，因此当$x=75$时，y取最大值：
$y=20×75+3000=4500$（元）
【答案】
(1) $y=20x+3000\quad(60≤ x≤100，x为整数)$
(2) 最大利润为4500元
【知识点】
一次函数的应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的性质
【点评】
本题为常见的销售类实际应用题，解题关键是理清成本、利润、销量之间的数量关系，正确建立函数模型和不等式组，再结合一次函数的增减性求解最值，考查学生的数学建模能力和计算能力。
【难度系数】
0.7
