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24 新趋势 综合实践 (2026盐城建湖期末)根据以下素材，探索完成任务.
答案
24. 解:(1) 设甲种蔬菜种植成本 y 与其种植面积 x 的函数关系式为 y=kx+b，
将(20,880),(70,2380)代入，
得 $\begin{cases}880=20k+b,\\2380=70k+b,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=30,\\b=280,\end{cases}$
即 y=30x+280(20≤x≤80)。
(2) 因为甲种蔬菜种植面积为 x m²，计划将其中 100 m² 的土地全部种植甲、乙两种蔬菜，
所以乙种蔬菜种植面积为 (100-x) m²，
所以 W=30x+280+36(100-x)=30x+280+3600-36x=-6x+3880。
因为-6＜0，所以 W 随 x 增大而减小。
因为 20≤x≤80，
所以当 x=80 时，W 有最小值，为-6×80+3880=3400，
此时乙种蔬菜种植面积为 100-80=20(m²)，
即种植甲种蔬菜 80 m²，乙种蔬菜 20 m² 时，W 最小，W 的最小值为 3400。
(3) 因为乙每平方米成本减少 a 元，
所以乙种蔬菜的种植成本为 (36-a) 元/m²，
设总费用为 M 元，
则 M=30x+280+(36-a)(100-x)=30x+280+3600-36x-100a+ax=-6x+3880-100a+ax=(a-6)x+3880-100a。
因为 4≤a≤8，
所以当 a-6＜0，即 4≤a＜6 时，M 随 x 的增大而减小，
当 x=80 时，M 取最小值，最小值为 (a-6)×80+3880-100a=80a-480+3880-100a=-20a+3400；
当 a=6 时，总费用恒为 (6-6)x+3880-100×6=3280(元)；
当 a-6＞0，即 6＜a≤8 时，M 随 x 的增大而增大，
当 x=20 时，M 取最小值，最小值为 (a-6)×20+3880-100a=20a-120+3880-100a=-80a+3760。
综上，当 4≤a＜6，x=80 时，最少费用为(-20a+3400)元；当 a=6 时，最少费用为 3280 元；当 6＜a≤8，x=20 时，最少费用为(-80a+3760)元。
将(20,880),(70,2380)代入，
得 $\begin{cases}880=20k+b,\\2380=70k+b,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=30,\\b=280,\end{cases}$
即 y=30x+280(20≤x≤80)。
(2) 因为甲种蔬菜种植面积为 x m²，计划将其中 100 m² 的土地全部种植甲、乙两种蔬菜，
所以乙种蔬菜种植面积为 (100-x) m²，
所以 W=30x+280+36(100-x)=30x+280+3600-36x=-6x+3880。
因为-6＜0，所以 W 随 x 增大而减小。
因为 20≤x≤80，
所以当 x=80 时，W 有最小值，为-6×80+3880=3400，
此时乙种蔬菜种植面积为 100-80=20(m²)，
即种植甲种蔬菜 80 m²，乙种蔬菜 20 m² 时，W 最小，W 的最小值为 3400。
(3) 因为乙每平方米成本减少 a 元，
所以乙种蔬菜的种植成本为 (36-a) 元/m²，
设总费用为 M 元，
则 M=30x+280+(36-a)(100-x)=30x+280+3600-36x-100a+ax=-6x+3880-100a+ax=(a-6)x+3880-100a。
因为 4≤a≤8，
所以当 a-6＜0，即 4≤a＜6 时，M 随 x 的增大而减小，
当 x=80 时，M 取最小值，最小值为 (a-6)×80+3880-100a=80a-480+3880-100a=-20a+3400；
当 a=6 时，总费用恒为 (6-6)x+3880-100×6=3280(元)；
当 a-6＞0，即 6＜a≤8 时，M 随 x 的增大而增大，
当 x=20 时，M 取最小值，最小值为 (a-6)×20+3880-100a=20a-120+3880-100a=-80a+3760。
综上，当 4≤a＜6，x=80 时，最少费用为(-20a+3400)元；当 a=6 时，最少费用为 3280 元；当 6＜a≤8，x=20 时，最少费用为(-80a+3760)元。
解析
【分析】
（1）第一问求甲种蔬菜种植总成本与种植面积的函数关系式，已知函数为一次函数且给出两组对应点坐标，选用待定系数法，设一次函数一般式$y=kx+b$，将两点代入得到二元一次方程组，解出参数$k$、$b$，同时标注自变量$x$的取值范围即可。
（2）第二问求总种植成本的最小值，首先明确总费用=甲的种植成本+乙的种植成本，乙的种植面积为总面积$100\ \mathrm{m}^2$减去甲的种植面积$x$，结合乙的单位成本列出总费用$W$关于$x$的函数关系式，再根据一次函数的增减性，结合$x$的取值范围找到使$W$最小的$x$值，进而求出最小成本和对应的种植方案。
（3）第三问乙的单位成本减少$a$元，先更新乙的单位成本，重新列出总费用$M$关于$x$的函数关系式，此时函数斜率含参数$a$，结合$a$的取值范围$4≤ a≤8$，分斜率小于0、等于0、大于0三种情况讨论函数增减性，分别求出不同$a$范围下的最小费用和对应$x$的值。
【解析】
(1) 设甲种蔬菜种植成本$y$与其种植面积$x$的函数关系式为$y=kx+b$，
将$(20,880)$，$(70,2380)$代入，得
$\begin{cases}880=20k+b\\2380=70k+b\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=30\\b=280\end{cases}$
即$y=30x+280\quad(20≤ x≤80)$。
(2) 甲种蔬菜种植面积为$x\ \mathrm{m}^2$，则乙种蔬菜种植面积为$(100-x)\ \mathrm{m}^2$，
总种植成本$W=30x+280+36(100-x)=30x+280+3600-36x=-6x+3880$。
$\because -6＜0$，$\therefore W$随$x$增大而减小，
又$\because 20≤ x≤80$，
$\therefore$当$x=80$时，$W$有最小值，最小值为$-6×80+3880=3400$，
此时乙种蔬菜种植面积为$100-80=20(\mathrm{m}^2)$。
(3) 乙种蔬菜种植成本变为$(36-a)$元/$\mathrm{m}^2$，设总费用为$M$元，
则$M=30x+280+(36-a)(100-x)=30x+280+3600-36x-100a+ax=(a-6)x+3880-100a$，
$\because 4≤ a≤8$，分三类讨论：
①当$a-6＜0$，即$4≤ a＜6$时，$M$随$x$的增大而减小，
$\therefore$当$x=80$时，$M$取最小值，最小值为$(a-6)×80+3880-100a=-20a+3400$；
②当$a-6=0$，即$a=6$时，$M=3880-100×6=3280$，总费用恒为3280元；
③当$a-6＞0$，即$6＜a≤8$时，$M$随$x$的增大而增大，
$\therefore$当$x=20$时，$M$取最小值，最小值为$(a-6)×20+3880-100a=-80a+3760$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=30x+280\quad(20≤ x≤80)}$
(2) 种植甲种蔬菜$80\ \mathrm{m}^2$，乙种蔬菜$20\ \mathrm{m}^2$时总费用最小，$W$的最小值为$\boldsymbol{3400}$元
(3) 当$4≤ a＜6$时，$x=80$总费用最少，最少费用为$\boldsymbol{(-20a+3400)}$元；当$a=6$时，总费用恒为$\boldsymbol{3280}$元；当$6＜a≤8$时，$x=20$总费用最少，最少费用为$\boldsymbol{(-80a+3760)}$元
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数增减性；一次函数实际应用
【点评】
本题结合劳动实践的现实情境考查一次函数的综合应用，涵盖了函数解析式求解、最值计算及含参数的分类讨论，能有效锻炼学生分析实际问题、应用函数知识解决问题的能力。
【难度系数】
0.6
（1）第一问求甲种蔬菜种植总成本与种植面积的函数关系式，已知函数为一次函数且给出两组对应点坐标，选用待定系数法，设一次函数一般式$y=kx+b$，将两点代入得到二元一次方程组，解出参数$k$、$b$，同时标注自变量$x$的取值范围即可。
（2）第二问求总种植成本的最小值，首先明确总费用=甲的种植成本+乙的种植成本，乙的种植面积为总面积$100\ \mathrm{m}^2$减去甲的种植面积$x$，结合乙的单位成本列出总费用$W$关于$x$的函数关系式，再根据一次函数的增减性，结合$x$的取值范围找到使$W$最小的$x$值，进而求出最小成本和对应的种植方案。
（3）第三问乙的单位成本减少$a$元，先更新乙的单位成本，重新列出总费用$M$关于$x$的函数关系式，此时函数斜率含参数$a$，结合$a$的取值范围$4≤ a≤8$，分斜率小于0、等于0、大于0三种情况讨论函数增减性，分别求出不同$a$范围下的最小费用和对应$x$的值。
【解析】
(1) 设甲种蔬菜种植成本$y$与其种植面积$x$的函数关系式为$y=kx+b$，
将$(20,880)$，$(70,2380)$代入，得
$\begin{cases}880=20k+b\\2380=70k+b\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=30\\b=280\end{cases}$
即$y=30x+280\quad(20≤ x≤80)$。
(2) 甲种蔬菜种植面积为$x\ \mathrm{m}^2$，则乙种蔬菜种植面积为$(100-x)\ \mathrm{m}^2$，
总种植成本$W=30x+280+36(100-x)=30x+280+3600-36x=-6x+3880$。
$\because -6＜0$，$\therefore W$随$x$增大而减小，
又$\because 20≤ x≤80$，
$\therefore$当$x=80$时，$W$有最小值，最小值为$-6×80+3880=3400$，
此时乙种蔬菜种植面积为$100-80=20(\mathrm{m}^2)$。
(3) 乙种蔬菜种植成本变为$(36-a)$元/$\mathrm{m}^2$，设总费用为$M$元，
则$M=30x+280+(36-a)(100-x)=30x+280+3600-36x-100a+ax=(a-6)x+3880-100a$，
$\because 4≤ a≤8$，分三类讨论：
①当$a-6＜0$，即$4≤ a＜6$时，$M$随$x$的增大而减小，
$\therefore$当$x=80$时，$M$取最小值，最小值为$(a-6)×80+3880-100a=-20a+3400$；
②当$a-6=0$，即$a=6$时，$M=3880-100×6=3280$，总费用恒为3280元；
③当$a-6＞0$，即$6＜a≤8$时，$M$随$x$的增大而增大，
$\therefore$当$x=20$时，$M$取最小值，最小值为$(a-6)×20+3880-100a=-80a+3760$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=30x+280\quad(20≤ x≤80)}$
(2) 种植甲种蔬菜$80\ \mathrm{m}^2$，乙种蔬菜$20\ \mathrm{m}^2$时总费用最小，$W$的最小值为$\boldsymbol{3400}$元
(3) 当$4≤ a＜6$时，$x=80$总费用最少，最少费用为$\boldsymbol{(-20a+3400)}$元；当$a=6$时，总费用恒为$\boldsymbol{3280}$元；当$6＜a≤8$时，$x=20$总费用最少，最少费用为$\boldsymbol{(-80a+3760)}$元
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数增减性；一次函数实际应用
【点评】
本题结合劳动实践的现实情境考查一次函数的综合应用，涵盖了函数解析式求解、最值计算及含参数的分类讨论，能有效锻炼学生分析实际问题、应用函数知识解决问题的能力。
【难度系数】
0.6
