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13（2025泰州兴化期末）函数$y=kx$与$y=6-x$的图象如图所示，则$k=$
$2$
。答案
13.$2$
解析
【分析】
要确定k的值，首先需要求出函数$y=kx$与$y=6-x$的交点坐标。由图可知两个函数交点的横坐标为2，交点坐标同时满足两个函数的解析式，因此先将x=2代入$y=6-x$求出交点的纵坐标，再将交点坐标代入$y=kx$即可求出k的值。
【解析】
由图象可知，函数$y=kx$与$y=6-x$的交点的横坐标为2。
将$x=2$代入$y=6-x$，得：
$y=6-2=4$
因此两个函数的交点坐标为$(2,4)$。
将$(2,4)$代入$y=kx$，得：
$4=2k$
解得$k=2$。
【答案】
$2$
【知识点】
一次函数交点的性质；函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查一次函数图象交点的应用，解题的关键是理解两个函数图象的交点坐标同时满足两个函数的解析式，结合图象给出的横坐标即可求出交点坐标，进而求解未知系数。
【难度系数】
0.8
要确定k的值，首先需要求出函数$y=kx$与$y=6-x$的交点坐标。由图可知两个函数交点的横坐标为2，交点坐标同时满足两个函数的解析式，因此先将x=2代入$y=6-x$求出交点的纵坐标，再将交点坐标代入$y=kx$即可求出k的值。
【解析】
由图象可知，函数$y=kx$与$y=6-x$的交点的横坐标为2。
将$x=2$代入$y=6-x$，得：
$y=6-2=4$
因此两个函数的交点坐标为$(2,4)$。
将$(2,4)$代入$y=kx$，得：
$4=2k$
解得$k=2$。
【答案】
$2$
【知识点】
一次函数交点的性质；函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查一次函数图象交点的应用，解题的关键是理解两个函数图象的交点坐标同时满足两个函数的解析式，结合图象给出的横坐标即可求出交点坐标，进而求解未知系数。
【难度系数】
0.8
14（2025泰州靖江期中）如图，直线$y=-\dfrac{4}{3}x+8$与x轴，y轴分别交于A，B两点，把$△ AOB$绕点A按逆时针旋转$90°$后得到$△ AO_1B_1$，则点$B_1$的坐标是
$(-2,-6)$
。答案
14.$(-2,-6)$
解析
【分析】
解题时首先需要求出直线与x轴、y轴的交点A、B的坐标，得到OA、OB的长度；再根据旋转的性质，旋转前后对应线段长度相等、对应角均为90°，结合逆时针旋转90°的方向特征，依次确定旋转后点O₁、点B₁的位置，最终推导得到B₁的坐标。
【解析】
1. 求A、B两点坐标：
对于直线$y=-\dfrac{4}{3}x+8$，
令$y=0$，代入得$0=-\dfrac{4}{3}x+8$，解得$x=6$，即$A(6,0)$，$OA=6$；
令$x=0$，代入得$y=8$，即$B(0,8)$，$OB=8$。
2. 利用旋转性质分析：
由旋转可知$△ AOB ≌ △ AO_1B_1$，因此$AO_1=AO=6$，$O_1B_1=OB=8$，$∠ OAO_1=90°$，$∠ AO_1B_1=∠ AOB=90°$。
3. 推导坐标：
因为是绕点A逆时针旋转$90°$，$AO$原沿x轴向左，旋转后$AO_1$垂直于x轴向下，因此$O_1$横坐标与A相同为6，纵坐标为$0-6=-6$，即$O_1(6,-6)$；
又因为$∠ AO_1B_1=90°$，$AO_1$竖直向下，因此$O_1B_1$沿水平向左，$B_1$纵坐标与$O_1$相同为-6，横坐标为$6-8=-2$。
综上，点$B_1$的坐标为$(-2,-6)$。
【答案】
$(-2,-6)$
【知识点】
一次函数交点求法，旋转的性质，坐标变换
【点评】
本题将一次函数与图形旋转结合考查，解题核心是先求出直线与坐标轴的交点坐标，再利用旋转前后对应边相等、对应角相等的性质，结合旋转方向判断线段的朝向，进而推导点的坐标，解题时需注意避免搞错旋转方向导致坐标符号出错。
【难度系数】
0.6
解题时首先需要求出直线与x轴、y轴的交点A、B的坐标，得到OA、OB的长度；再根据旋转的性质，旋转前后对应线段长度相等、对应角均为90°，结合逆时针旋转90°的方向特征，依次确定旋转后点O₁、点B₁的位置，最终推导得到B₁的坐标。
【解析】
1. 求A、B两点坐标：
对于直线$y=-\dfrac{4}{3}x+8$，
令$y=0$，代入得$0=-\dfrac{4}{3}x+8$，解得$x=6$，即$A(6,0)$，$OA=6$；
令$x=0$，代入得$y=8$，即$B(0,8)$，$OB=8$。
2. 利用旋转性质分析：
由旋转可知$△ AOB ≌ △ AO_1B_1$，因此$AO_1=AO=6$，$O_1B_1=OB=8$，$∠ OAO_1=90°$，$∠ AO_1B_1=∠ AOB=90°$。
3. 推导坐标：
因为是绕点A逆时针旋转$90°$，$AO$原沿x轴向左，旋转后$AO_1$垂直于x轴向下，因此$O_1$横坐标与A相同为6，纵坐标为$0-6=-6$，即$O_1(6,-6)$；
又因为$∠ AO_1B_1=90°$，$AO_1$竖直向下，因此$O_1B_1$沿水平向左，$B_1$纵坐标与$O_1$相同为-6，横坐标为$6-8=-2$。
综上，点$B_1$的坐标为$(-2,-6)$。
【答案】
$(-2,-6)$
【知识点】
一次函数交点求法，旋转的性质，坐标变换
【点评】
本题将一次函数与图形旋转结合考查，解题核心是先求出直线与坐标轴的交点坐标，再利用旋转前后对应边相等、对应角相等的性质，结合旋转方向判断线段的朝向，进而推导点的坐标，解题时需注意避免搞错旋转方向导致坐标符号出错。
【难度系数】
0.6
15（2025南通模拟）如图，直线$y=\frac{1}{2}x+2$与坐标轴分别交于A，B两点，在直线AB的上方有一点$C(a,a+1)$，若$S_{△ ABC}=8$，则点C的坐标为
$(10,11)$
。答案
15.$(10,11)$
解析
【分析】
首先先求出直线AB与坐标轴的交点A、B的坐标；再过点C作x轴的垂线，交直线AB于点D，得到D点坐标，进而求出C、D两点的纵坐标之差即铅垂高CD的长度；最后利用“三角形面积=水平宽×铅垂高÷2”的公式，结合已知的△ABC面积列方程求解a的值，即可得到点C的坐标。
【解析】
1. 求A、B两点坐标：
令$y=\frac{1}{2}x+2$中$y=0$，得$0=\frac{1}{2}x+2$，解得$x=-4$，故$A(-4,0)$；
令$x=0$，得$y=2$，故$B(0,2)$。
2. 求铅垂高CD的长度：
过点$C(a,a+1)$作$CD⊥ x$轴，交直线AB于点D，D点横坐标与C相同为$a$，代入直线AB解析式得D点纵坐标为$\frac{1}{2}a+2$，即$D(a,\frac{1}{2}a+2)$。
因为C在AB上方，所以$CD=(a+1)-(\frac{1}{2}a+2)=\frac{1}{2}a-1$。
3. 列方程求解a：
A、B两点的水平宽为$|0-(-4)|=4$，根据三角形面积公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×\mathrm{水平宽}×\mathrm{铅垂高}=\frac{1}{2}×4×(\frac{1}{2}a-1)=8$
化简得$a-2=8$，解得$a=10$，则$a+1=11$。
【答案】
$(10,11)$
【知识点】
一次函数图象交点，坐标系三角形面积，一元一次方程求解
【点评】
本题是一次函数与几何面积的综合题，通过构造铅垂高将斜三角形面积转化为易计算的形式，是解决坐标系中斜三角形面积问题的常用方法，解题时要注意结合点的位置判断线段长度的表达式。
【难度系数】
0.65
首先先求出直线AB与坐标轴的交点A、B的坐标；再过点C作x轴的垂线，交直线AB于点D，得到D点坐标，进而求出C、D两点的纵坐标之差即铅垂高CD的长度；最后利用“三角形面积=水平宽×铅垂高÷2”的公式，结合已知的△ABC面积列方程求解a的值，即可得到点C的坐标。
【解析】
1. 求A、B两点坐标：
令$y=\frac{1}{2}x+2$中$y=0$，得$0=\frac{1}{2}x+2$，解得$x=-4$，故$A(-4,0)$；
令$x=0$，得$y=2$，故$B(0,2)$。
2. 求铅垂高CD的长度：
过点$C(a,a+1)$作$CD⊥ x$轴，交直线AB于点D，D点横坐标与C相同为$a$，代入直线AB解析式得D点纵坐标为$\frac{1}{2}a+2$，即$D(a,\frac{1}{2}a+2)$。
因为C在AB上方，所以$CD=(a+1)-(\frac{1}{2}a+2)=\frac{1}{2}a-1$。
3. 列方程求解a：
A、B两点的水平宽为$|0-(-4)|=4$，根据三角形面积公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×\mathrm{水平宽}×\mathrm{铅垂高}=\frac{1}{2}×4×(\frac{1}{2}a-1)=8$
化简得$a-2=8$，解得$a=10$，则$a+1=11$。
【答案】
$(10,11)$
【知识点】
一次函数图象交点，坐标系三角形面积，一元一次方程求解
【点评】
本题是一次函数与几何面积的综合题，通过构造铅垂高将斜三角形面积转化为易计算的形式，是解决坐标系中斜三角形面积问题的常用方法，解题时要注意结合点的位置判断线段长度的表达式。
【难度系数】
0.65
16（2025常州溧阳期末）直线$y=kx+b$经过$(1,-1),(-1,3),(-3,m)$三点，则$m=$
$7$
。答案
16.$7$
解析
【分析】
要计算m的值，首先需要确定直线$y=kx+b$的解析式：已知直线经过两个坐标明确的点，这两个点的坐标满足直线解析式，因此可以将两点代入解析式得到关于k、b的二元一次方程组，解出k、b即可得到完整的直线解析式，最后将$x=-3$代入解析式，算出的y值就是m的值。
【解析】
解：
∵直线$y=kx+b$经过$(1,-1)$和$(-1,3)$两点，
∴将两点坐标代入解析式，可得方程组：
$\begin{cases} k + b = -1 \\ -k + b = 3 \end{cases}$
将两个方程相加，得$2b=2$，解得$b=1$，
把$b=1$代入$k + b = -1$，得$k+1=-1$，解得$k=-2$，
∴直线的解析式为$y=-2x+1$，
∵点$(-3,m)$在该直线上，
∴将$x=-3$代入解析式，得$m=-2×(-3)+1=6+1=7$。
【答案】
$7$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数的基础常考题，解题核心是掌握待定系数法求函数解析式的步骤，理解一次函数图象上的点的坐标都满足对应的函数解析式。
【难度系数】
0.8
要计算m的值，首先需要确定直线$y=kx+b$的解析式：已知直线经过两个坐标明确的点，这两个点的坐标满足直线解析式，因此可以将两点代入解析式得到关于k、b的二元一次方程组，解出k、b即可得到完整的直线解析式，最后将$x=-3$代入解析式，算出的y值就是m的值。
【解析】
解：
∵直线$y=kx+b$经过$(1,-1)$和$(-1,3)$两点，
∴将两点坐标代入解析式，可得方程组：
$\begin{cases} k + b = -1 \\ -k + b = 3 \end{cases}$
将两个方程相加，得$2b=2$，解得$b=1$，
把$b=1$代入$k + b = -1$，得$k+1=-1$，解得$k=-2$，
∴直线的解析式为$y=-2x+1$，
∵点$(-3,m)$在该直线上，
∴将$x=-3$代入解析式，得$m=-2×(-3)+1=6+1=7$。
【答案】
$7$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数的基础常考题，解题核心是掌握待定系数法求函数解析式的步骤，理解一次函数图象上的点的坐标都满足对应的函数解析式。
【难度系数】
0.8
17 新趋势 学科融合 (2025镇江丹徒期末)如图,在平面直角坐标系中,一束光经过点A(-3,1)照射在平面镜(x轴)上的点B(-1,0)处,其反射光线BC交y轴于点C(0,$\frac{1}{2}$),再被平面镜(y轴)反射得光线CD,则直线CD的函数表达式为
$y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}$
。答案
17.$y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}$
解析
【分析】
本题是跨学科的一次函数应用题，解题核心是利用光的反射的轴对称性质：光线经镜面反射时，入射光线的光源关于镜面的对称点在反射光线的反向延长线上。我们先找到点B关于y轴的对称点，即可得到直线CD经过的两个点：该对称点和点C，再用待定系数法就能求出CD的函数表达式。
【解析】
根据光的反射规律，光线经y轴反射时，入射光线BC的发光点B关于y轴的对称点在反射光线CD的反向延长线上：
1. 求点B(-1,0)关于y轴的对称点坐标：关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数，因此对称点$B'$的坐标为$(1,0)$；
2. 由反射性质可知，直线CD经过点$C(0,\frac{1}{2})$和点$B'(1,0)$；
3. 设直线CD的函数表达式为$y=kx+b$（$k\ne0$），将两点坐标代入求解：
把$C(0,\frac{1}{2})$代入表达式，得$b=\frac{1}{2}$；
把$B'(1,0)$和$b=\frac{1}{2}$代入表达式，得$k+\frac{1}{2}=0$，解得$k=-\frac{1}{2}$；
4. 因此直线CD的函数表达式为$y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$。
【答案】
$y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}$
【知识点】
待定系数法求一次函数，轴对称的性质，光的反射规律
【点评】
本题属于跨学科融合题型，将物理光的反射知识与数学一次函数、轴对称知识结合考查，难度不大，解题的关键是抓住反射的轴对称性质，确定直线经过的点，再用待定系数法求解即可。
【难度系数】
0.7
本题是跨学科的一次函数应用题，解题核心是利用光的反射的轴对称性质：光线经镜面反射时，入射光线的光源关于镜面的对称点在反射光线的反向延长线上。我们先找到点B关于y轴的对称点，即可得到直线CD经过的两个点：该对称点和点C，再用待定系数法就能求出CD的函数表达式。
【解析】
根据光的反射规律，光线经y轴反射时，入射光线BC的发光点B关于y轴的对称点在反射光线CD的反向延长线上：
1. 求点B(-1,0)关于y轴的对称点坐标：关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数，因此对称点$B'$的坐标为$(1,0)$；
2. 由反射性质可知，直线CD经过点$C(0,\frac{1}{2})$和点$B'(1,0)$；
3. 设直线CD的函数表达式为$y=kx+b$（$k\ne0$），将两点坐标代入求解：
把$C(0,\frac{1}{2})$代入表达式，得$b=\frac{1}{2}$；
把$B'(1,0)$和$b=\frac{1}{2}$代入表达式，得$k+\frac{1}{2}=0$，解得$k=-\frac{1}{2}$；
4. 因此直线CD的函数表达式为$y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$。
【答案】
$y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}$
【知识点】
待定系数法求一次函数，轴对称的性质，光的反射规律
【点评】
本题属于跨学科融合题型，将物理光的反射知识与数学一次函数、轴对称知识结合考查，难度不大，解题的关键是抓住反射的轴对称性质，确定直线经过的点，再用待定系数法求解即可。
【难度系数】
0.7
18（2026宿迁泗洪期末）已知$y$与$x+3$成正比例，当$x=-2$时，$y=4$。
（1）求出$y$与$x$的函数关系式；
（2）设点$(a,-2)$在这个函数的图象上，求$a$的值。
（1）求出$y$与$x$的函数关系式；
（2）设点$(a,-2)$在这个函数的图象上，求$a$的值。
答案
18. 解:(1) 因为 y 与 x+3 成正比例，
所以设 y=k(x+3)，
因为当 x=-2 时，y=4，
所以 k(-2+3)=4，
解得 k=4，
所以 y=4(x+3)=4x+12，即 y=4x+12。
(2) 因为点(a,-2)在这个函数的图象上，
所以 4a+12=-2，
解得 $a=-\dfrac{7}{2}$。
所以设 y=k(x+3)，
因为当 x=-2 时，y=4，
所以 k(-2+3)=4，
解得 k=4，
所以 y=4(x+3)=4x+12，即 y=4x+12。
(2) 因为点(a,-2)在这个函数的图象上，
所以 4a+12=-2，
解得 $a=-\dfrac{7}{2}$。
解析
【分析】
（1）第一问解题思路：若两个量成正比例，可设两者满足y=k(相关量)（k≠0，k为常数）的形式，本题中y与x+3成正比例，因此将x+3看作整体设解析式为y=k(x+3)，再代入已知的x、y值求出k，整理后即可得到y与x的函数关系式。（2）第二问解题思路：函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式，因此将点(a,-2)的横纵坐标代入第一问求出的解析式，得到关于a的一元一次方程，解方程即可求出a的值。
【解析】
（1）解：
∵ y与x+3成正比例，
∴ 设y = k(x+3)（k≠0，k为常数），
∵ 当x=-2时，y=4，
∴ 代入得：k×(-2+3)=4，
解得k=4，
∴ y=4(x+3)=4x+12，即y与x的函数关系式为y=4x+12。
（2）解：
∵ 点(a,-2)在这个函数的图象上，
∴ 将x=a，y=-2代入y=4x+12得：
4a + 12 = -2，
解得a = $-\dfrac{7}{2}$。
【答案】
（1）$y=4x+12$；（2）$a=-\dfrac{7}{2}$
【知识点】
正比例的定义；待定系数法求解析式；一次函数图象上点的特征
【点评】
本题属于一次函数基础题，核心考查正比例关系的应用、待定系数法的解题步骤，以及函数图象与点坐标的对应关系，掌握基础概念和常规解题方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
（1）第一问解题思路：若两个量成正比例，可设两者满足y=k(相关量)（k≠0，k为常数）的形式，本题中y与x+3成正比例，因此将x+3看作整体设解析式为y=k(x+3)，再代入已知的x、y值求出k，整理后即可得到y与x的函数关系式。（2）第二问解题思路：函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式，因此将点(a,-2)的横纵坐标代入第一问求出的解析式，得到关于a的一元一次方程，解方程即可求出a的值。
【解析】
（1）解：
∵ y与x+3成正比例，
∴ 设y = k(x+3)（k≠0，k为常数），
∵ 当x=-2时，y=4，
∴ 代入得：k×(-2+3)=4，
解得k=4，
∴ y=4(x+3)=4x+12，即y与x的函数关系式为y=4x+12。
（2）解：
∵ 点(a,-2)在这个函数的图象上，
∴ 将x=a，y=-2代入y=4x+12得：
4a + 12 = -2，
解得a = $-\dfrac{7}{2}$。
【答案】
（1）$y=4x+12$；（2）$a=-\dfrac{7}{2}$
【知识点】
正比例的定义；待定系数法求解析式；一次函数图象上点的特征
【点评】
本题属于一次函数基础题，核心考查正比例关系的应用、待定系数法的解题步骤，以及函数图象与点坐标的对应关系，掌握基础概念和常规解题方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
19（2025无锡宜兴期末）如图，直线$l_1$是一次函数$y=x+2$的图象，它与$x$轴交于点$A$。直线$l_2$经过点$B(2,0)$，且与直线$l_1$交于点$C(\dfrac{2}{3},m)$。
（1）求直线$l_2$对应的函数表达式；
（2）设$P$是$y$轴负半轴上的一个动点，连接$PA$，$PC$。若$△ PAC$与$△ ABC$的面积相等，求符合条件的点$P$的坐标。
（1）求直线$l_2$对应的函数表达式；
（2）设$P$是$y$轴负半轴上的一个动点，连接$PA$，$PC$。若$△ PAC$与$△ ABC$的面积相等，求符合条件的点$P$的坐标。
答案
19. 解:(1) 将点 $C(\dfrac{2}{3},m)$ 代入 $y=x+2$，
得 $m=\dfrac{2}{3}+2=\dfrac{8}{3}$，
所以 $C(\dfrac{2}{3},\dfrac{8}{3})$。
设直线 $l_2$ 对应的函数表达式为 $y=kx+b$，
把 $C(\dfrac{2}{3},\dfrac{8}{3}),B(2,0)$ 分别代入 $y=kx+b$，
得 $\begin{cases}\dfrac{2}{3}k+b=\dfrac{8}{3},\\2k+b=0,\end{cases}$ 解得 $k=-2,b=4$。
故直线 $l_2$ 对应的函数表达式为 $y=-2x+4$。
(2) 对于一次函数 $y=x+2$，当 $y=0$ 时，$x=-2$，
所以 $A(-2,0)$。
因为 $B(2,0)$，所以 $AB=4$，
所以 $S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}AB· y_C=\dfrac{1}{2}×4×\dfrac{8}{3}=\dfrac{16}{3}$。
设点 $P$ 的坐标为 $(0,n)$。
由题意，得直线 $l_1$ 与 $y$ 轴的交点 $Q(0,2)$，
因为点 $P$ 在 $y$ 轴的负半轴上，
所以 $PQ=2-n$。
又 $S_{△ PAC}=S_{△ PAQ}+S_{△ PCQ}=\dfrac{1}{2}×2· PQ+\dfrac{1}{2}×\dfrac{2}{3}· PQ=\dfrac{1}{2}×\dfrac{8}{3}· PQ=\dfrac{4}{3}(2-n)$，且 $S_{△ PAC}=S_{△ ABC}$，
所以 $\dfrac{4}{3}(2-n)=\dfrac{16}{3}$，
解得 $n=-2$。
所以点 $P$ 的坐标为 $(0,-2)$。
得 $m=\dfrac{2}{3}+2=\dfrac{8}{3}$，
所以 $C(\dfrac{2}{3},\dfrac{8}{3})$。
设直线 $l_2$ 对应的函数表达式为 $y=kx+b$，
把 $C(\dfrac{2}{3},\dfrac{8}{3}),B(2,0)$ 分别代入 $y=kx+b$，
得 $\begin{cases}\dfrac{2}{3}k+b=\dfrac{8}{3},\\2k+b=0,\end{cases}$ 解得 $k=-2,b=4$。
故直线 $l_2$ 对应的函数表达式为 $y=-2x+4$。
(2) 对于一次函数 $y=x+2$，当 $y=0$ 时，$x=-2$，
所以 $A(-2,0)$。
因为 $B(2,0)$，所以 $AB=4$，
所以 $S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}AB· y_C=\dfrac{1}{2}×4×\dfrac{8}{3}=\dfrac{16}{3}$。
设点 $P$ 的坐标为 $(0,n)$。
由题意，得直线 $l_1$ 与 $y$ 轴的交点 $Q(0,2)$，
因为点 $P$ 在 $y$ 轴的负半轴上，
所以 $PQ=2-n$。
又 $S_{△ PAC}=S_{△ PAQ}+S_{△ PCQ}=\dfrac{1}{2}×2· PQ+\dfrac{1}{2}×\dfrac{2}{3}· PQ=\dfrac{1}{2}×\dfrac{8}{3}· PQ=\dfrac{4}{3}(2-n)$，且 $S_{△ PAC}=S_{△ ABC}$，
所以 $\dfrac{4}{3}(2-n)=\dfrac{16}{3}$，
解得 $n=-2$。
所以点 $P$ 的坐标为 $(0,-2)$。
解析
【分析】
（1）要确定直线$l_2$的函数表达式，需要知道$l_2$上两个点的坐标，已知$l_2$过点$B(2,0)$，还需求出点$C$的坐标：由于点$C$在直线$l_1$上，将$C$的横坐标代入$l_1$的解析式即可求出纵坐标$m$，得到$C$点坐标后，用待定系数法设$l_2$的解析式为$y=kx+b$，代入$B$、$C$两点坐标，解二元一次方程组即可求出$k$、$b$的值。
（2）先计算$△ ABC$的面积：先求出直线$l_1$与$x$轴交点$A$的坐标，得到$AB$的长度，以$AB$为底，点$C$的纵坐标为高即可算出$△ ABC$的面积。再求点$P$坐标：设$P(0,n)$（$n＜0$，因为在$y$轴负半轴），用割补法将$△ PAC$拆分为以直线$l_1$和$y$轴交点$Q$为公共顶点的两个小三角形，两个小三角形的底均为$PQ$的长度，高分别为$A$、$C$到$y$轴的水平距离，根据面积和等于$△ ABC$的面积列方程，求解即可得到$n$的值，即得到$P$点坐标。
【解析】
(1) 将点 $C(\dfrac{2}{3},m)$ 代入 $y=x+2$，
得 $m=\dfrac{2}{3}+2=\dfrac{8}{3}$，即 $C(\dfrac{2}{3},\dfrac{8}{3})$。
设直线 $l_2$ 对应的函数表达式为 $y=kx+b$，
把 $C(\dfrac{2}{3},\dfrac{8}{3})$、$B(2,0)$ 分别代入 $y=kx+b$，
得 $\begin{cases}\dfrac{2}{3}k+b=\dfrac{8}{3}\\2k+b=0\end{cases}$，
解得$k=-2,b=4$。
故直线 $l_2$ 对应的函数表达式为 $y=-2x+4$。
(2) 对于一次函数 $y=x+2$，令 $y=0$，得$x+2=0$，解得$x=-2$，
所以 $A(-2,0)$。
因为 $B(2,0)$，所以 $AB=2-(-2)=4$，
所以 $S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}AB· y_C=\dfrac{1}{2}×4×\dfrac{8}{3}=\dfrac{16}{3}$。
设点 $P$ 的坐标为 $(0,n)$，且$n＜0$。
直线 $l_1$ 与 $y$ 轴的交点$Q$，令$x=0$代入$y=x+2$得$y=2$，即$Q(0,2)$，
所以 $PQ=2-n$（因为$n＜0$，所以$2-n＞0$，符合长度要求）。
$S_{△ PAC}=S_{△ PAQ}+S_{△ PCQ}=\dfrac{1}{2}×2· PQ+\dfrac{1}{2}×\dfrac{2}{3}· PQ=\dfrac{4}{3}(2-n)$，
因为$S_{△ PAC}=S_{△ ABC}=\dfrac{16}{3}$，
所以 $\dfrac{4}{3}(2-n)=\dfrac{16}{3}$，
解得 $n=-2$，符合$n＜0$的要求。
所以点 $P$ 的坐标为 $(0,-2)$。
【答案】
（1）$y=-2x+4$；（2）$(0,-2)$
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数点的坐标特征；坐标系三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数基础综合题，第一问为待定系数法的基础应用，第二问结合动点考查面积计算，用割补法简化面积运算是解题关键，是一次函数章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
（1）要确定直线$l_2$的函数表达式，需要知道$l_2$上两个点的坐标，已知$l_2$过点$B(2,0)$，还需求出点$C$的坐标：由于点$C$在直线$l_1$上，将$C$的横坐标代入$l_1$的解析式即可求出纵坐标$m$，得到$C$点坐标后，用待定系数法设$l_2$的解析式为$y=kx+b$，代入$B$、$C$两点坐标，解二元一次方程组即可求出$k$、$b$的值。
（2）先计算$△ ABC$的面积：先求出直线$l_1$与$x$轴交点$A$的坐标，得到$AB$的长度，以$AB$为底，点$C$的纵坐标为高即可算出$△ ABC$的面积。再求点$P$坐标：设$P(0,n)$（$n＜0$，因为在$y$轴负半轴），用割补法将$△ PAC$拆分为以直线$l_1$和$y$轴交点$Q$为公共顶点的两个小三角形，两个小三角形的底均为$PQ$的长度，高分别为$A$、$C$到$y$轴的水平距离，根据面积和等于$△ ABC$的面积列方程，求解即可得到$n$的值，即得到$P$点坐标。
【解析】
(1) 将点 $C(\dfrac{2}{3},m)$ 代入 $y=x+2$，
得 $m=\dfrac{2}{3}+2=\dfrac{8}{3}$，即 $C(\dfrac{2}{3},\dfrac{8}{3})$。
设直线 $l_2$ 对应的函数表达式为 $y=kx+b$，
把 $C(\dfrac{2}{3},\dfrac{8}{3})$、$B(2,0)$ 分别代入 $y=kx+b$，
得 $\begin{cases}\dfrac{2}{3}k+b=\dfrac{8}{3}\\2k+b=0\end{cases}$，
解得$k=-2,b=4$。
故直线 $l_2$ 对应的函数表达式为 $y=-2x+4$。
(2) 对于一次函数 $y=x+2$，令 $y=0$，得$x+2=0$，解得$x=-2$，
所以 $A(-2,0)$。
因为 $B(2,0)$，所以 $AB=2-(-2)=4$，
所以 $S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}AB· y_C=\dfrac{1}{2}×4×\dfrac{8}{3}=\dfrac{16}{3}$。
设点 $P$ 的坐标为 $(0,n)$，且$n＜0$。
直线 $l_1$ 与 $y$ 轴的交点$Q$，令$x=0$代入$y=x+2$得$y=2$，即$Q(0,2)$，
所以 $PQ=2-n$（因为$n＜0$，所以$2-n＞0$，符合长度要求）。
$S_{△ PAC}=S_{△ PAQ}+S_{△ PCQ}=\dfrac{1}{2}×2· PQ+\dfrac{1}{2}×\dfrac{2}{3}· PQ=\dfrac{4}{3}(2-n)$，
因为$S_{△ PAC}=S_{△ ABC}=\dfrac{16}{3}$，
所以 $\dfrac{4}{3}(2-n)=\dfrac{16}{3}$，
解得 $n=-2$，符合$n＜0$的要求。
所以点 $P$ 的坐标为 $(0,-2)$。
【答案】
（1）$y=-2x+4$；（2）$(0,-2)$
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数点的坐标特征；坐标系三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数基础综合题，第一问为待定系数法的基础应用，第二问结合动点考查面积计算，用割补法简化面积运算是解题关键，是一次函数章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
