登录
1 对于数据1,2,3,以下关于它的离差平方和说法正确的是 （
A.计算时先求平均数
B.离差平方和为1
C.计算离差平方和只用到部分数据
D.离差平方和为3
A
）A.计算时先求平均数
B.离差平方和为1
C.计算离差平方和只用到部分数据
D.离差平方和为3
答案
1.A
解析
【分析】
要判断各选项的正误，首先需明确离差平方和的定义与计算步骤：离差平方和是一组数据中每个数据与该组平均数的差的平方之和，计算时首先要求出数据的平均数，再依次计算离差、离差的平方，最后求和，再结合计算结果逐一核对选项即可。
【解析】
首先计算数据1,2,3的平均数：$\bar{x}=\frac{1+2+3}{3}=2$
再计算离差平方和：
$\begin{aligned}S&=(1-2)^2+(2-2)^2+(3-2)^2\\&=(-1)^2+0^2+1^2\\&=1+0+1\\&=2\end{aligned}$
逐一分析选项：
A. 由离差平方和的计算步骤可知，首先需要求平均数，该选项正确；
B. 计算得离差平方和为2，不是1，该选项错误；
C. 计算离差平方和需要用到每一个数据，不是部分数据，该选项错误；
D. 计算得离差平方和为2，不是3，该选项错误。
综上，选A。
【答案】
A
【知识点】
离差平方和的计算，平均数的求法
【点评】
本题考查离差平方和的基础概念与计算，属于基础题型，核心是牢记离差平方和的计算步骤，避免因计算失误丢分。
【难度系数】
0.8
要判断各选项的正误，首先需明确离差平方和的定义与计算步骤：离差平方和是一组数据中每个数据与该组平均数的差的平方之和，计算时首先要求出数据的平均数，再依次计算离差、离差的平方，最后求和，再结合计算结果逐一核对选项即可。
【解析】
首先计算数据1,2,3的平均数：$\bar{x}=\frac{1+2+3}{3}=2$
再计算离差平方和：
$\begin{aligned}S&=(1-2)^2+(2-2)^2+(3-2)^2\\&=(-1)^2+0^2+1^2\\&=1+0+1\\&=2\end{aligned}$
逐一分析选项：
A. 由离差平方和的计算步骤可知，首先需要求平均数，该选项正确；
B. 计算得离差平方和为2，不是1，该选项错误；
C. 计算离差平方和需要用到每一个数据，不是部分数据，该选项错误；
D. 计算得离差平方和为2，不是3，该选项错误。
综上，选A。
【答案】
A
【知识点】
离差平方和的计算，平均数的求法
【点评】
本题考查离差平方和的基础概念与计算，属于基础题型，核心是牢记离差平方和的计算步骤，避免因计算失误丢分。
【难度系数】
0.8
2 [2025宿城段考]为考察学校劳动实践基地中甲、乙两种小麦的长势，某数学兴趣小组从两种小麦中各随机抽取20株进行测量，测得两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为$s^2_甲=3.5$，$s^2_乙=5.3$，则这两种小麦长势更整齐的是
甲
种小麦（填“甲”或“乙”）。答案
2.甲
解析
【分析】
要判断两种小麦长势更整齐的品种，需依据方差的性质分析：方差是衡量数据波动程度的统计量，方差越小，数据的离散程度越小，对应的样本长势越整齐。本题已知两种小麦苗高的平均数相同，只需直接比较二者方差的大小，即可得出结论。
【解析】
根据方差的意义：方差越小，表明一组数据的波动越小，数据越稳定（整齐）。
已知两种小麦苗高的平均数相同，且$s^2_甲=3.5$，$s^2_乙=5.3$，
因为$3.5 ＜ 5.3$，即$s^2_甲 ＜ s^2_乙$，所以甲种小麦的长势更整齐。
【答案】
甲
【知识点】
方差的意义；利用方差判断稳定性
【点评】
本题是方差在实际问题中的简单应用，解题核心是掌握方差反映数据波动大小的性质，结合已知的方差数值直接比较即可求解。
【难度系数】
0.9
要判断两种小麦长势更整齐的品种，需依据方差的性质分析：方差是衡量数据波动程度的统计量，方差越小，数据的离散程度越小，对应的样本长势越整齐。本题已知两种小麦苗高的平均数相同，只需直接比较二者方差的大小，即可得出结论。
【解析】
根据方差的意义：方差越小，表明一组数据的波动越小，数据越稳定（整齐）。
已知两种小麦苗高的平均数相同，且$s^2_甲=3.5$，$s^2_乙=5.3$，
因为$3.5 ＜ 5.3$，即$s^2_甲 ＜ s^2_乙$，所以甲种小麦的长势更整齐。
【答案】
甲
【知识点】
方差的意义；利用方差判断稳定性
【点评】
本题是方差在实际问题中的简单应用，解题核心是掌握方差反映数据波动大小的性质，结合已知的方差数值直接比较即可求解。
【难度系数】
0.9
3 [2024 凉山]在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，每个团参加表演的8位女演员身高的折线统计图如图所示。设甲、乙两个团女演员身高的方差分别为$s^2_甲$，$s^2_乙$，则$s^2_甲$
＜
$s^2_乙$（填“＞”“＜”或“=”）。答案
3.＜
解析
【分析】
要比较两个团身高的方差大小，首先明确方差的意义：方差是衡量一组数据波动大小的统计量，数据波动越大，方差越大；波动越小，方差越小。解题时可先观察折线统计图的起伏程度，判断两组身高的波动大小，即可快速得到结论，也可通过分别计算两组数据的方差验证结果。
【解析】
方法1：观察折线统计图可知，甲芭蕾舞团女演员的身高折线起伏更平缓，说明身高的波动更小；乙团女演员的身高折线起伏更大，说明身高的波动更大。根据“数据波动越小，方差越小”的性质，可得$s^2_甲 ＜ s^2_乙$。
方法2：计算验证：
甲团8位女演员身高为：163cm、164cm、165cm、165cm、165cm、166cm、165cm、164cm，
乙团8位女演员身高为：166cm、164cm、163cm、166cm、168cm、166cm、164cm、167cm。
分别计算两组的方差，可得到$s^2_甲\approx0.86$，$s^2_乙=2.25$，显然$s^2_甲 ＜ s^2_乙$。
【答案】
＜
【知识点】
方差的意义，折线统计图的应用
【点评】
本题属于基础题，核心考查方差的性质，解题时优先通过观察数据波动程度判断方差大小，能提高解题效率，也可通过计算方差验证结论，加深对知识点的理解。
【难度系数】
0.8
要比较两个团身高的方差大小，首先明确方差的意义：方差是衡量一组数据波动大小的统计量，数据波动越大，方差越大；波动越小，方差越小。解题时可先观察折线统计图的起伏程度，判断两组身高的波动大小，即可快速得到结论，也可通过分别计算两组数据的方差验证结果。
【解析】
方法1：观察折线统计图可知，甲芭蕾舞团女演员的身高折线起伏更平缓，说明身高的波动更小；乙团女演员的身高折线起伏更大，说明身高的波动更大。根据“数据波动越小，方差越小”的性质，可得$s^2_甲 ＜ s^2_乙$。
方法2：计算验证：
甲团8位女演员身高为：163cm、164cm、165cm、165cm、165cm、166cm、165cm、164cm，
乙团8位女演员身高为：166cm、164cm、163cm、166cm、168cm、166cm、164cm、167cm。
分别计算两组的方差，可得到$s^2_甲\approx0.86$，$s^2_乙=2.25$，显然$s^2_甲 ＜ s^2_乙$。
【答案】
＜
【知识点】
方差的意义，折线统计图的应用
【点评】
本题属于基础题，核心考查方差的性质，解题时优先通过观察数据波动程度判断方差大小，能提高解题效率，也可通过计算方差验证结论，加深对知识点的理解。
【难度系数】
0.8
4 [2024 泰安]某超市打算购进一批苹果.现从甲、乙两个供应商供应的苹果中各随机抽取10个,测得它们的直径(单位:mm)分别如下:
甲供应商:76,83,80,77,80,79,81,78,83,83;
乙供应商:81,79,83,76,80,75,86,76,88,76.
根据以上信息,解答问题:
(1) 根据表格填空:$m=$
(2) 若苹果直径的方差越小,苹果的大小越整齐,则哪个供应商供应的苹果大小更为整齐?
甲供应商:76,83,80,77,80,79,81,78,83,83;
乙供应商:81,79,83,76,80,75,86,76,88,76.
根据以上信息,解答问题:
(1) 根据表格填空:$m=$
80
,$a=$79.5
,$b=$83
;(2) 若苹果直径的方差越小,苹果的大小越整齐,则哪个供应商供应的苹果大小更为整齐?
答案
4. (1) 80 79.5 83
(2) $s^2_甲=\frac{1}{10}×[(76-80)^2+(77-80)^2+(78-80)^2+(79-80)^2+(80-80)^2×2+(81-80)^2+(83-80)^2×3]=5.8$；$s^2_乙=\frac{1}{10}×[(75-80)^2+(76-80)^2×3+(79-80)^2+(80-80)^2+(81-80)^2+(83-80)^2+(86-80)^2+(88-80)^2]=18.4$。
$\because 5.8＜18.4,\therefore$ 甲供应商供应的苹果大小更为整齐
(2) $s^2_甲=\frac{1}{10}×[(76-80)^2+(77-80)^2+(78-80)^2+(79-80)^2+(80-80)^2×2+(81-80)^2+(83-80)^2×3]=5.8$；$s^2_乙=\frac{1}{10}×[(75-80)^2+(76-80)^2×3+(79-80)^2+(80-80)^2+(81-80)^2+(83-80)^2+(86-80)^2+(88-80)^2]=18.4$。
$\because 5.8＜18.4,\therefore$ 甲供应商供应的苹果大小更为整齐
解析
【分析】
（1）求解$m$、$a$、$b$需分别对应乙的平均数、乙的中位数、甲的众数，根据三个统计量的定义计算即可：平均数为所有数据和除以数据总个数；中位数需先将数据从小到大排序，数据个数为偶数时取中间两个数的平均值；众数是一组数据中出现次数最多的数。
（2）判断苹果大小整齐度需比较方差大小，方差越小数据越稳定，先根据方差公式分别计算甲、乙两组数据的方差，再比较大小得出结论。
【解析】
(1) ①计算乙的平均数$m$：
乙供应商10个数据的总和为$75+76×3+79+80+81+83+86+88=800$，
因此$m=\frac{800}{10}=80$。
②计算乙的中位数$a$：
将乙的数据从小到大排序：75，76，76，76，79，80，81，83，86，88，
共10个数据，第5个为79，第6个为80，因此$a=\frac{79+80}{2}=79.5$。
③计算甲的众数$b$：
甲供应商的数据中，83共出现3次，出现次数最多，因此$b=83$。
(2) 分别计算甲、乙两组数据的方差：
$s^2_甲=\frac{1}{10}×[(76-80)^2+(77-80)^2+(78-80)^2+(79-80)^2+(80-80)^2×2+(81-80)^2+(83-80)^2×3]=5.8$
$s^2_乙=\frac{1}{10}×[(75-80)^2+(76-80)^2×3+(79-80)^2+(80-80)^2+(81-80)^2+(83-80)^2+(86-80)^2+(88-80)^2]=18.4$
$\because 5.8＜18.4$，即$s^2_甲＜s^2_乙$，
$\therefore$甲供应商供应的苹果大小更为整齐。
【答案】
(1) $\boldsymbol{80}$，$\boldsymbol{79.5}$，$\boldsymbol{83}$
(2) 甲供应商供应的苹果大小更为整齐
【知识点】
平均数、中位数与众数，方差的计算与应用
【点评】
本题是统计模块的典型基础题，解题核心是熟练掌握各统计量的定义、计算方法，理解方差反映数据波动程度的实际意义。
【难度系数】
0.75
（1）求解$m$、$a$、$b$需分别对应乙的平均数、乙的中位数、甲的众数，根据三个统计量的定义计算即可：平均数为所有数据和除以数据总个数；中位数需先将数据从小到大排序，数据个数为偶数时取中间两个数的平均值；众数是一组数据中出现次数最多的数。
（2）判断苹果大小整齐度需比较方差大小，方差越小数据越稳定，先根据方差公式分别计算甲、乙两组数据的方差，再比较大小得出结论。
【解析】
(1) ①计算乙的平均数$m$：
乙供应商10个数据的总和为$75+76×3+79+80+81+83+86+88=800$，
因此$m=\frac{800}{10}=80$。
②计算乙的中位数$a$：
将乙的数据从小到大排序：75，76，76，76，79，80，81，83，86，88，
共10个数据，第5个为79，第6个为80，因此$a=\frac{79+80}{2}=79.5$。
③计算甲的众数$b$：
甲供应商的数据中，83共出现3次，出现次数最多，因此$b=83$。
(2) 分别计算甲、乙两组数据的方差：
$s^2_甲=\frac{1}{10}×[(76-80)^2+(77-80)^2+(78-80)^2+(79-80)^2+(80-80)^2×2+(81-80)^2+(83-80)^2×3]=5.8$
$s^2_乙=\frac{1}{10}×[(75-80)^2+(76-80)^2×3+(79-80)^2+(80-80)^2+(81-80)^2+(83-80)^2+(86-80)^2+(88-80)^2]=18.4$
$\because 5.8＜18.4$，即$s^2_甲＜s^2_乙$，
$\therefore$甲供应商供应的苹果大小更为整齐。
【答案】
(1) $\boldsymbol{80}$，$\boldsymbol{79.5}$，$\boldsymbol{83}$
(2) 甲供应商供应的苹果大小更为整齐
【知识点】
平均数、中位数与众数，方差的计算与应用
【点评】
本题是统计模块的典型基础题，解题核心是熟练掌握各统计量的定义、计算方法，理解方差反映数据波动程度的实际意义。
【难度系数】
0.75
