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[阅读探究]如图①，已知AB//CD，E，F分别是AB，CD上的点，点M在AB，CD两平行线之间，∠AEM=45°，∠CFM=25°，求∠EMF的度数.
解:过点 M 向右作 MN//AB,
∵AB//CD,∴MN//CD.∴∠EMN=∠AEM=45°,∠FMN=∠CFM=25°.
∴∠EMF=∠EMN+∠FMN=45°+25°=70°.
从上面的推理过程中,我们发现平行线具有“等角转化”的功能,将∠AEM 和∠CFM“凑”在一起,得出角之间的关系,使问题得以解决.
[方法运用]如图②，已知直线 m//n，AB 是一个平面镜，光线从直线 m 上的点 O 射出，在平面镜 AB 上经点 P 反射后，到达直线 n 上的点 Q.我们称 OP 为入射光线，PQ 为反射光线，镜面反射有如下性质:入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即∠OPA=∠QPB.
(1)由图②写出∠AOP，∠BQP，∠OPQ 之间的数量关系，并说明理由.
(2)如图③，再放置 3 块平面镜，其中两块平面镜在直线 m 和 n 上，另一块在两直线之间，四块平面镜构成四边形 ABCD，光线从点 O 以适当的角度射出后，其传播路径为 O→P→Q→R→O→P→…直接写出∠OPQ 和∠ORQ 之间的数量关系.
[应用拓展]
问题情境:“公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与山外的世界.数学活动课上，老师把山路抽象成图④所示的样子，并提出了一个问题:在图④中，AB//CD，∠B=125°，∠PQC=65°，∠C=145°，求∠BPQ 的度数.
解:过点 M 向右作 MN//AB,
∵AB//CD,∴MN//CD.∴∠EMN=∠AEM=45°,∠FMN=∠CFM=25°.
∴∠EMF=∠EMN+∠FMN=45°+25°=70°.
从上面的推理过程中,我们发现平行线具有“等角转化”的功能,将∠AEM 和∠CFM“凑”在一起,得出角之间的关系,使问题得以解决.
[方法运用]如图②，已知直线 m//n，AB 是一个平面镜，光线从直线 m 上的点 O 射出，在平面镜 AB 上经点 P 反射后，到达直线 n 上的点 Q.我们称 OP 为入射光线，PQ 为反射光线，镜面反射有如下性质:入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即∠OPA=∠QPB.
(1)由图②写出∠AOP，∠BQP，∠OPQ 之间的数量关系，并说明理由.
(2)如图③，再放置 3 块平面镜，其中两块平面镜在直线 m 和 n 上，另一块在两直线之间，四块平面镜构成四边形 ABCD，光线从点 O 以适当的角度射出后，其传播路径为 O→P→Q→R→O→P→…直接写出∠OPQ 和∠ORQ 之间的数量关系.
[应用拓展]
问题情境:“公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与山外的世界.数学活动课上，老师把山路抽象成图④所示的样子，并提出了一个问题:在图④中，AB//CD，∠B=125°，∠PQC=65°，∠C=145°，求∠BPQ 的度数.
答案
[方法运用]（1）$∠OPQ = ∠AOP + ∠BQP.$ 理由如下：如图②
，过点 P 向左作 $PE // OA, \because OA // BQ, \therefore PE // OA // BQ. \therefore ∠AOP = ∠OPE, ∠BQP = ∠QPE.$ $\because ∠OPQ = ∠OPE+∠QPE, \therefore ∠OPQ=∠AOP+∠BQP.$(2) $∠OPQ = ∠ORQ.$ 点拨：同(1)得$∠AOP + ∠BQP = ∠OPQ$, 同理可得$∠DOR + ∠CQR = ∠ORQ.$ 由题意得$∠AOP = ∠DOR, ∠BQP = ∠CQR, \therefore ∠OPQ=∠ORQ.$
[应用拓展]如图④
，过点 P 作 $PM // AB$,过点 Q 作 $QN // AB$,则 $AB // PM // QN // CD.$$\therefore ∠ABP + ∠BPM = 180°, ∠MPQ = ∠PQN, ∠DCQ + ∠CQN = 180°.$ $\because ∠B = 125°, ∠C = 145°, \therefore ∠BPM = 180° - 125°=55°, ∠CQN = 180° - 145°= 35°.$
$\because ∠PQC= 65°, \therefore ∠PQN = ∠PQC - ∠CQN = 65° - 35°= 30°.$ $\because PM // QN, \therefore ∠QPM = ∠PQN = 30°. \therefore ∠BPQ= ∠BPM+∠QPM=55°+30°=85°.$
解析
【分析】
本题核心考查平行线性质的应用，解题的通用方法是过折线拐点作已知直线的平行线，利用平行线的内错角相等、同旁内角互补实现角度转化：
1. 方法运用(1)：类比阅读探究的辅助线思路，过点P作平行于直线m的直线，结合m//n的条件，可将∠AOP、∠BQP分别转化为∠OPQ的两个组成部分，即可得到三个角的数量关系。
2. 方法运用(2)：沿用(1)的结论分别写出∠OPQ和∠ORQ的表达式，再结合镜面反射“入射角等于反射角”的性质，可得两组对应角相等，进而推出两个角的关系。
3. 应用拓展：图中存在P、Q两个拐点，分别过两个拐点作平行于AB的辅助线，先利用平行线同旁内角互补求出∠BPM、∠CQN的度数，再通过内错角相等求出∠MPQ的度数，相加即可得到∠BPQ的度数。
【解析】
方法运用
(1) 数量关系推导：
过点P向左作$PE // OA$，
$\because$ 直线$m // n$，即$OA // BQ$，
$\therefore PE // OA // BQ$，
由平行线内错角相等可得：$∠AOP = ∠OPE$，$∠BQP = ∠QPE$，
又$\because ∠OPQ = ∠OPE + ∠QPE$，
$\therefore ∠OPQ = ∠AOP + ∠BQP$。
(2) 数量关系推导：
同(1)的结论可得$∠OPQ = ∠AOP + ∠BQP$，同理可得$∠ORQ = ∠DOR + ∠CQR$；
根据镜面反射性质：入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，可得$∠AOP = ∠DOR$，$∠BQP = ∠CQR$，
$\therefore ∠OPQ = ∠ORQ$。
应用拓展
过点P作$PM // AB$，过点Q作$QN // AB$，
$\because AB // CD$，
$\therefore AB // PM // QN // CD$。
由平行线同旁内角互补可得：
$∠ABP + ∠BPM = 180°$，$∠DCQ + ∠CQN = 180°$，
代入$∠B = 125°$，$∠C = 145°$，得：
$∠BPM = 180° - 125° = 55°$，$∠CQN = 180° - 145° = 35°$。
已知$∠PQC = 65°$，
$\therefore ∠PQN = ∠PQC - ∠CQN = 65° - 35° = 30°$，
又$\because PM // QN$，内错角相等，
$\therefore ∠QPM = ∠PQN = 30°$，
$\therefore ∠BPQ = ∠BPM + ∠QPM = 55° + 30° = 85°$。
【答案】
[方法运用]（1）$∠OPQ = ∠AOP + ∠BQP.$ 理由如下：如图②，过点 P 向左作 $PE // OA, \because OA // BQ, \therefore PE // OA // BQ. \therefore ∠AOP = ∠OPE, ∠BQP = ∠QPE.$ $\because ∠OPQ = ∠OPE+∠QPE, \therefore ∠OPQ=∠AOP+∠BQP.$
(2) $∠OPQ = ∠ORQ.$ 点拨：同(1)得$∠AOP + ∠BQP = ∠OPQ$, 同理可得$∠DOR + ∠CQR = ∠ORQ.$ 由题意得$∠AOP = ∠DOR, ∠BQP = ∠CQR, \therefore ∠OPQ=∠ORQ.$
[应用拓展]如图④，过点 P 作 $PM // AB$,过点 Q 作 $QN // AB$,则 $AB // PM // QN // CD.$
$\therefore ∠ABP + ∠BPM = 180°, ∠MPQ = ∠PQN, ∠DCQ + ∠CQN = 180°.$ $\because ∠B = 125°, ∠C = 145°, \therefore ∠BPM = 180° - 125°=55°, ∠CQN = 180° - 145°= 35°.$
$\because ∠PQC= 65°, \therefore ∠PQN = ∠PQC - ∠CQN = 65° - 35°= 30°.$ $\because PM // QN, \therefore ∠QPM = ∠PQN = 30°. \therefore ∠BPQ= ∠BPM+∠QPM=55°+30°=85°.$
【知识点】
平行线的性质，镜面反射原理，辅助线构造
【点评】
本题是平行线章节的典型综合题型，重点考查“过折线拐点作平行线”的辅助线构造方法，通过构造平行线实现角度的转化与拼接，同时结合镜面反射性质考查知识迁移应用的能力，掌握辅助线构造方法是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.65
本题核心考查平行线性质的应用，解题的通用方法是过折线拐点作已知直线的平行线，利用平行线的内错角相等、同旁内角互补实现角度转化：
1. 方法运用(1)：类比阅读探究的辅助线思路，过点P作平行于直线m的直线，结合m//n的条件，可将∠AOP、∠BQP分别转化为∠OPQ的两个组成部分，即可得到三个角的数量关系。
2. 方法运用(2)：沿用(1)的结论分别写出∠OPQ和∠ORQ的表达式，再结合镜面反射“入射角等于反射角”的性质，可得两组对应角相等，进而推出两个角的关系。
3. 应用拓展：图中存在P、Q两个拐点，分别过两个拐点作平行于AB的辅助线，先利用平行线同旁内角互补求出∠BPM、∠CQN的度数，再通过内错角相等求出∠MPQ的度数，相加即可得到∠BPQ的度数。
【解析】
方法运用
(1) 数量关系推导：
过点P向左作$PE // OA$，
$\because$ 直线$m // n$，即$OA // BQ$，
$\therefore PE // OA // BQ$，
由平行线内错角相等可得：$∠AOP = ∠OPE$，$∠BQP = ∠QPE$，
又$\because ∠OPQ = ∠OPE + ∠QPE$，
$\therefore ∠OPQ = ∠AOP + ∠BQP$。
(2) 数量关系推导：
同(1)的结论可得$∠OPQ = ∠AOP + ∠BQP$，同理可得$∠ORQ = ∠DOR + ∠CQR$；
根据镜面反射性质：入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，可得$∠AOP = ∠DOR$，$∠BQP = ∠CQR$，
$\therefore ∠OPQ = ∠ORQ$。
应用拓展
过点P作$PM // AB$，过点Q作$QN // AB$，
$\because AB // CD$，
$\therefore AB // PM // QN // CD$。
由平行线同旁内角互补可得：
$∠ABP + ∠BPM = 180°$，$∠DCQ + ∠CQN = 180°$，
代入$∠B = 125°$，$∠C = 145°$，得：
$∠BPM = 180° - 125° = 55°$，$∠CQN = 180° - 145° = 35°$。
已知$∠PQC = 65°$，
$\therefore ∠PQN = ∠PQC - ∠CQN = 65° - 35° = 30°$，
又$\because PM // QN$，内错角相等，
$\therefore ∠QPM = ∠PQN = 30°$，
$\therefore ∠BPQ = ∠BPM + ∠QPM = 55° + 30° = 85°$。
【答案】
[方法运用]（1）$∠OPQ = ∠AOP + ∠BQP.$ 理由如下：如图②
，过点 P 向左作 $PE // OA, \because OA // BQ, \therefore PE // OA // BQ. \therefore ∠AOP = ∠OPE, ∠BQP = ∠QPE.$ $\because ∠OPQ = ∠OPE+∠QPE, \therefore ∠OPQ=∠AOP+∠BQP.$(2) $∠OPQ = ∠ORQ.$ 点拨：同(1)得$∠AOP + ∠BQP = ∠OPQ$, 同理可得$∠DOR + ∠CQR = ∠ORQ.$ 由题意得$∠AOP = ∠DOR, ∠BQP = ∠CQR, \therefore ∠OPQ=∠ORQ.$
[应用拓展]如图④
，过点 P 作 $PM // AB$,过点 Q 作 $QN // AB$,则 $AB // PM // QN // CD.$$\therefore ∠ABP + ∠BPM = 180°, ∠MPQ = ∠PQN, ∠DCQ + ∠CQN = 180°.$ $\because ∠B = 125°, ∠C = 145°, \therefore ∠BPM = 180° - 125°=55°, ∠CQN = 180° - 145°= 35°.$
$\because ∠PQC= 65°, \therefore ∠PQN = ∠PQC - ∠CQN = 65° - 35°= 30°.$ $\because PM // QN, \therefore ∠QPM = ∠PQN = 30°. \therefore ∠BPQ= ∠BPM+∠QPM=55°+30°=85°.$
【知识点】
平行线的性质，镜面反射原理，辅助线构造
【点评】
本题是平行线章节的典型综合题型，重点考查“过折线拐点作平行线”的辅助线构造方法，通过构造平行线实现角度的转化与拼接，同时结合镜面反射性质考查知识迁移应用的能力，掌握辅助线构造方法是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.65
