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18.如图，已知$DE⊥ AC$，$∠ AGF=∠ ABC$，$∠1+∠2=180°$，试判断BF与AC的位置关系，并说明理由。
答案
18.解：$BF ⊥ AC$. 理由如下：$\because ∠AGF = ∠ABC, \therefore GF // BC. \therefore ∠1= ∠3.$ 又 $\because ∠1+∠2=180°, \therefore ∠2+∠3=180°. \therefore DE// BF.$ 又$\because DE⊥AC, \therefore BF⊥AC.$
解析
【分析】
要判断BF与AC的位置关系，可通过已知角的关系逐步推导直线平行，再结合DE与AC的垂直关系得出结论。首先观察到∠AGF和∠ABC是同位角，二者相等可判定GF//BC，利用平行线的性质可得∠1=∠3；再结合已知∠1+∠2=180°，等量代换得到∠2+∠3=180°，可判定DE//BF；最后由DE⊥AC，根据平行线的性质就能推出BF和AC的位置关系。
【解析】
$BF ⊥ AC$，理由如下：
$\because ∠ AGF = ∠ ABC$，
$\therefore GF // BC$，
$\therefore ∠ 1= ∠ 3$。
又$\because ∠ 1+∠ 2=180°$，
$\therefore ∠ 2+∠ 3=180°$，
$\therefore DE// BF$。
又$\because DE⊥ AC$，
$\therefore BF⊥ AC$。
【答案】
$BF ⊥ AC$
【知识点】
平行线的判定、平行线的性质、垂直的判定
【点评】
本题是相交线与平行线的常规综合题，解题的关键是灵活运用平行线的判定定理和性质定理，通过角的数量关系推导直线的位置关系，有助于培养几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
要判断BF与AC的位置关系，可通过已知角的关系逐步推导直线平行，再结合DE与AC的垂直关系得出结论。首先观察到∠AGF和∠ABC是同位角，二者相等可判定GF//BC，利用平行线的性质可得∠1=∠3；再结合已知∠1+∠2=180°，等量代换得到∠2+∠3=180°，可判定DE//BF；最后由DE⊥AC，根据平行线的性质就能推出BF和AC的位置关系。
【解析】
$BF ⊥ AC$，理由如下：
$\because ∠ AGF = ∠ ABC$，
$\therefore GF // BC$，
$\therefore ∠ 1= ∠ 3$。
又$\because ∠ 1+∠ 2=180°$，
$\therefore ∠ 2+∠ 3=180°$，
$\therefore DE// BF$。
又$\because DE⊥ AC$，
$\therefore BF⊥ AC$。
【答案】
$BF ⊥ AC$
【知识点】
平行线的判定、平行线的性质、垂直的判定
【点评】
本题是相交线与平行线的常规综合题，解题的关键是灵活运用平行线的判定定理和性质定理，通过角的数量关系推导直线的位置关系，有助于培养几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
19.如图,直线AB和CD相交于点O,OE平分∠AOC,射线OF⊥CD于点O,且∠BOF=24°,求∠COE的度数.
答案
19.解：$\because OF ⊥ CD, \therefore ∠DOF = 90°.$ 又$\because ∠BOF = 24°, \therefore ∠BOD = ∠DOF - ∠BOF = 90° - 24° = 66°. \therefore ∠AOC = ∠BOD = 66°.$ $\because OE$ 平分 $∠AOC, \therefore ∠COE = \frac{1}{2}∠AOC=33°.$
解析
【分析】
解题时先从已知的垂直条件入手，根据垂直的定义得到90°的角，再结合给出的∠BOF的度数，利用角的和差关系求出∠BOD的度数；接着根据对顶角相等的性质，得到与∠BOD相等的∠AOC的度数；最后利用角平分线的定义，求出∠COE的度数即可。
【解析】
解：$\because OF ⊥ CD, \therefore ∠DOF = 90°.$
又$\because ∠BOF = 24°, \therefore ∠BOD = ∠DOF - ∠BOF = 90° - 24° = 66°.$
$\therefore ∠AOC = ∠BOD = 66°.$
$\because OE$ 平分 $∠AOC, \therefore ∠COE = \frac{1}{2}∠AOC=33°.$
【答案】
$33°$
【知识点】
对顶角相等，垂直的定义，角平分线的定义
【点评】
本题是相交线相关的基础题型，核心是梳理清楚图中各角的数量和位置关系，结合已知条件逐步推导即可求解，是相交线章节的常见考查题型。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的垂直条件入手，根据垂直的定义得到90°的角，再结合给出的∠BOF的度数，利用角的和差关系求出∠BOD的度数；接着根据对顶角相等的性质，得到与∠BOD相等的∠AOC的度数；最后利用角平分线的定义，求出∠COE的度数即可。
【解析】
解：$\because OF ⊥ CD, \therefore ∠DOF = 90°.$
又$\because ∠BOF = 24°, \therefore ∠BOD = ∠DOF - ∠BOF = 90° - 24° = 66°.$
$\therefore ∠AOC = ∠BOD = 66°.$
$\because OE$ 平分 $∠AOC, \therefore ∠COE = \frac{1}{2}∠AOC=33°.$
【答案】
$33°$
【知识点】
对顶角相等，垂直的定义，角平分线的定义
【点评】
本题是相交线相关的基础题型，核心是梳理清楚图中各角的数量和位置关系，结合已知条件逐步推导即可求解，是相交线章节的常见考查题型。
【难度系数】
0.8
20. 如图，$∠ BAP + ∠ APD = 180°$，$∠ 1 = ∠ 2$，求证：$∠ E = ∠ F$.
答案
20. 证明：$\because ∠BAP + ∠APD = 180°, \therefore AB // CD. \therefore ∠BAP = ∠APC.$ 又 $\because ∠1 = ∠2, \therefore ∠EAP = ∠FPA. \therefore AE // PF. \therefore ∠E = ∠F.$
解析
【分析】
解题时先从已知的角的数量关系入手：首先由∠BAP与∠APD互补，根据同旁内角互补可判定AB//CD，再利用平行线的性质得到∠BAP=∠APC；接着结合已知∠1=∠2，通过角的和差运算推出∠EAP=∠FPA，由内错角相等可判定AE//PF；最后利用平行线的性质即可得证∠E=∠F。
【解析】
证明：
$\because ∠BAP + ∠APD = 180°$（已知），
$\therefore AB // CD$（同旁内角互补，两直线平行），
$\therefore ∠BAP = ∠APC$（两直线平行，内错角相等）。
又$\because ∠1 = ∠2$（已知），
$\therefore ∠BAP - ∠1 = ∠APC - ∠2$（等式的性质），即$∠EAP = ∠FPA$，
$\therefore AE // PF$（内错角相等，两直线平行），
$\therefore ∠E = ∠F$（两直线平行，内错角相等）。
【答案】
证明：$\because ∠BAP + ∠APD = 180°, \therefore AB // CD. \therefore ∠BAP = ∠APC.$ 又 $\because ∠1 = ∠2, \therefore ∠EAP = ∠FPA. \therefore AE // PF. \therefore ∠E = ∠F.$
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；等式的性质
【点评】
本题是平行线相关的基础题型，核心考查平行线判定与性质的综合应用，需要熟练掌握“角的关系判定平行、平行推导角的关系”的转化逻辑，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的角的数量关系入手：首先由∠BAP与∠APD互补，根据同旁内角互补可判定AB//CD，再利用平行线的性质得到∠BAP=∠APC；接着结合已知∠1=∠2，通过角的和差运算推出∠EAP=∠FPA，由内错角相等可判定AE//PF；最后利用平行线的性质即可得证∠E=∠F。
【解析】
证明：
$\because ∠BAP + ∠APD = 180°$（已知），
$\therefore AB // CD$（同旁内角互补，两直线平行），
$\therefore ∠BAP = ∠APC$（两直线平行，内错角相等）。
又$\because ∠1 = ∠2$（已知），
$\therefore ∠BAP - ∠1 = ∠APC - ∠2$（等式的性质），即$∠EAP = ∠FPA$，
$\therefore AE // PF$（内错角相等，两直线平行），
$\therefore ∠E = ∠F$（两直线平行，内错角相等）。
【答案】
证明：$\because ∠BAP + ∠APD = 180°, \therefore AB // CD. \therefore ∠BAP = ∠APC.$ 又 $\because ∠1 = ∠2, \therefore ∠EAP = ∠FPA. \therefore AE // PF. \therefore ∠E = ∠F.$
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；等式的性质
【点评】
本题是平行线相关的基础题型，核心考查平行线判定与性质的综合应用，需要熟练掌握“角的关系判定平行、平行推导角的关系”的转化逻辑，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7
21.如图,将直角三角形$ABC(∠B=90°)$沿着点B到点C的方向平移到三角形DEF的位置,DE与AC交于点G,$AB=4,BF=10,EC=6$.
(1)求平移的距离.
(2)若$DG=1$,求阴影部分的面积.
(1)求平移的距离.
(2)若$DG=1$,求阴影部分的面积.
答案
21.解：(1) $BF = BE + EC + CF = BE + 6 + CF = 10, \therefore BE + CF = 4.$ $\because △ ABC$ 平移得到$△ DEF, \therefore$点 B 与点E,点 C 与点 F 是对应点. $\therefore$根据平移的性质得 $BE = CF.$ $\therefore BE = CF = 2.$ $\therefore$平移的距离为 2.
(2) $\because S_{\mathrm{四边形}ABEG} + S_{\mathrm{三角形}GEC} = S_{\mathrm{三角形}GEC} + S_{\mathrm{四边形}DGCF} , \therefore S_{\mathrm{四边形}ABEG} = S_{\mathrm{四边形}DGCF} = S_{\mathrm{阴影}}.$
$\because AB = DE = 4, DG = 1, \therefore EG = DE - DG = 4 - 1 = 3.$ 由(1)知 $BE = 2.$ $\because AB // DE, ∠B = 90°, \therefore$四边形 ABEG 是梯形.
$\therefore S_{\mathrm{阴影}} = S_{\mathrm{四边形}ABEG} = \frac{(EG+AB)·BE}{2} = \frac{(3+4)×2}{2}=7.$ $\therefore$阴影部分的面积为 7.
(2) $\because S_{\mathrm{四边形}ABEG} + S_{\mathrm{三角形}GEC} = S_{\mathrm{三角形}GEC} + S_{\mathrm{四边形}DGCF} , \therefore S_{\mathrm{四边形}ABEG} = S_{\mathrm{四边形}DGCF} = S_{\mathrm{阴影}}.$
$\because AB = DE = 4, DG = 1, \therefore EG = DE - DG = 4 - 1 = 3.$ 由(1)知 $BE = 2.$ $\because AB // DE, ∠B = 90°, \therefore$四边形 ABEG 是梯形.
$\therefore S_{\mathrm{阴影}} = S_{\mathrm{四边形}ABEG} = \frac{(EG+AB)·BE}{2} = \frac{(3+4)×2}{2}=7.$ $\therefore$阴影部分的面积为 7.
解析
【分析】
(1) 求平移距离首先要明确：平移的距离是一组对应点之间的连线长度。本题中点B的对应点是E，点C的对应点是F，由平移性质可知$BE=CF$，二者均为平移距离。已知BF是BE、EC、CF三段的和，结合已知的BF和EC长度，即可求出BE的长度，也就是平移距离。
(2) 阴影部分是不规则图形，直接计算面积难度大，可利用平移前后图形面积相等的性质：$△ ABC$和$△ DEF$面积相同，两个三角形同时减去公共部分$△ GEC$的面积后，剩余部分面积仍然相等，即阴影面积等于梯形ABEG的面积，再代入梯形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 根据线段和的关系：$BF = BE + EC + CF$，将$BF=10$，$EC=6$代入得：
$BE + CF = 10 - 6 = 4$
因为$△ ABC$平移得到$△ DEF$，点B与E、点C与F是对应点，根据平移性质，对应点连线长度相等，所以$BE=CF$。
因此$BE=CF=4÷2=2$，即平移的距离为2。
(2) 由平移性质可知平移前后图形面积相等，故$S_{△ ABC}=S_{△ DEF}$。
又因为$S_{△ ABC}=S_{四边形ABEG}+S_{△ GEC}$，$S_{△ DEF}=S_{阴影}+S_{△ GEC}$，两个等式同时减去$S_{△ GEC}$，可得$S_{阴影}=S_{四边形ABEG}$。
由平移性质得$DE=AB=4$，已知$DG=1$，因此$EG=DE-DG=4-1=3$。
由(1)得$BE=2$，又因为$AB// DE$，$∠ B=90°$，所以四边形ABEG是直角梯形。
根据梯形面积公式$S=\frac{(上底+下底)×高}{2}$，代入数据得：
$S_{阴影}=S_{四边形ABEG}=\frac{(EG+AB)× BE}{2}=\frac{(3+4)×2}{2}=7$
【答案】
(1) 平移的距离为$\boxed{2}$；
(2) 阴影部分的面积为$\boxed{7}$。
【知识点】
平移的性质，梯形面积计算，等积变换
【点评】
本题重点考查平移性质的灵活应用，难点在于将不规则阴影面积转化为规则的梯形面积求解，掌握平移的核心特征是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
(1) 求平移距离首先要明确：平移的距离是一组对应点之间的连线长度。本题中点B的对应点是E，点C的对应点是F，由平移性质可知$BE=CF$，二者均为平移距离。已知BF是BE、EC、CF三段的和，结合已知的BF和EC长度，即可求出BE的长度，也就是平移距离。
(2) 阴影部分是不规则图形，直接计算面积难度大，可利用平移前后图形面积相等的性质：$△ ABC$和$△ DEF$面积相同，两个三角形同时减去公共部分$△ GEC$的面积后，剩余部分面积仍然相等，即阴影面积等于梯形ABEG的面积，再代入梯形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 根据线段和的关系：$BF = BE + EC + CF$，将$BF=10$，$EC=6$代入得：
$BE + CF = 10 - 6 = 4$
因为$△ ABC$平移得到$△ DEF$，点B与E、点C与F是对应点，根据平移性质，对应点连线长度相等，所以$BE=CF$。
因此$BE=CF=4÷2=2$，即平移的距离为2。
(2) 由平移性质可知平移前后图形面积相等，故$S_{△ ABC}=S_{△ DEF}$。
又因为$S_{△ ABC}=S_{四边形ABEG}+S_{△ GEC}$，$S_{△ DEF}=S_{阴影}+S_{△ GEC}$，两个等式同时减去$S_{△ GEC}$，可得$S_{阴影}=S_{四边形ABEG}$。
由平移性质得$DE=AB=4$，已知$DG=1$，因此$EG=DE-DG=4-1=3$。
由(1)得$BE=2$，又因为$AB// DE$，$∠ B=90°$，所以四边形ABEG是直角梯形。
根据梯形面积公式$S=\frac{(上底+下底)×高}{2}$，代入数据得：
$S_{阴影}=S_{四边形ABEG}=\frac{(EG+AB)× BE}{2}=\frac{(3+4)×2}{2}=7$
【答案】
(1) 平移的距离为$\boxed{2}$；
(2) 阴影部分的面积为$\boxed{7}$。
【知识点】
平移的性质，梯形面积计算，等积变换
【点评】
本题重点考查平移性质的灵活应用，难点在于将不规则阴影面积转化为规则的梯形面积求解，掌握平移的核心特征是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
