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9. 如图,甲、乙两只蚂蚁以相同的速度沿两条不同的路径,同时从A出发爬到B,则（
A.乙比甲先到
B.甲比乙先到
C.甲和乙同时到
D.无法确定
第9题图 第10题图
C
）A.乙比甲先到
B.甲比乙先到
C.甲和乙同时到
D.无法确定
第9题图 第10题图
答案
9.C
解析
【分析】
要判断哪只蚂蚁先到达，已知两只蚂蚁速度相同，根据“时间=路程÷速度”，只需比较两只蚂蚁走过的路程大小即可。首先观察路径：乙走的是左侧竖直边加下方水平边，总路程为竖直边长与水平边长的和。再分析甲的台阶形路径，可利用平移法处理：将甲走过的所有水平线段向下平移，所有竖直线段向左平移，会发现平移后水平线段的总长度等于下方水平边的长度，竖直线段的总长度等于左侧竖直边的长度，因此甲的总路程和乙的总路程相等。速度相同、路程相等则运动时间相等，二者同时到达。
【解析】
已知甲、乙两只蚂蚁的运动速度相同，根据公式$t=\frac{s}{v}$，当路程$s$相等时，运动时间$t$相等。
对甲的路径使用平移法分析：
1. 将甲走过的所有水平向右的线段向下平移，拼接后总长度等于A点正下方端点到B点的水平总长度；
2. 将甲走过的所有竖直向下的线段向左平移，拼接后总长度等于A点到其正下方端点的竖直总长度。
因此甲的总路程=竖直总长度+水平总长度，与乙走过的路程完全相等。
二者同时出发，运动时间相同，因此会同时到达B点。
【答案】
C
【知识点】
平移的应用；路程公式
【点评】
本题重点考查平移性质在路径长度比较中的应用，核心思路是通过平移将分散的线段整合，快速得到不规则路径的总长度，再结合路程、速度、时间的关系判断结果，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
要判断哪只蚂蚁先到达，已知两只蚂蚁速度相同，根据“时间=路程÷速度”，只需比较两只蚂蚁走过的路程大小即可。首先观察路径：乙走的是左侧竖直边加下方水平边，总路程为竖直边长与水平边长的和。再分析甲的台阶形路径，可利用平移法处理：将甲走过的所有水平线段向下平移，所有竖直线段向左平移，会发现平移后水平线段的总长度等于下方水平边的长度，竖直线段的总长度等于左侧竖直边的长度，因此甲的总路程和乙的总路程相等。速度相同、路程相等则运动时间相等，二者同时到达。
【解析】
已知甲、乙两只蚂蚁的运动速度相同，根据公式$t=\frac{s}{v}$，当路程$s$相等时，运动时间$t$相等。
对甲的路径使用平移法分析：
1. 将甲走过的所有水平向右的线段向下平移，拼接后总长度等于A点正下方端点到B点的水平总长度；
2. 将甲走过的所有竖直向下的线段向左平移，拼接后总长度等于A点到其正下方端点的竖直总长度。
因此甲的总路程=竖直总长度+水平总长度，与乙走过的路程完全相等。
二者同时出发，运动时间相同，因此会同时到达B点。
【答案】
C
【知识点】
平移的应用；路程公式
【点评】
本题重点考查平移性质在路径长度比较中的应用，核心思路是通过平移将分散的线段整合，快速得到不规则路径的总长度，再结合路程、速度、时间的关系判断结果，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
10.如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在点D'，C'的位置。若∠EFB=65°，则∠AED'等于（
A.70°
B.65°
C.50°
D.25°
C
）A.70°
B.65°
C.50°
D.25°
答案
10.C
解析
【分析】
首先利用长方形对边平行的性质，得到内错角相等，求出∠DEF的度数；再结合折叠前后对应角相等的性质，得到∠D'EF的度数；最后根据平角为180°，用平角减去两个相等的角的度数，即可求出∠AED'的大小。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD//BC，根据两直线平行，内错角相等，可得∠DEF=∠EFB=65°。
∵纸片沿EF折叠，点D落在D'的位置，
∴∠D'EF=∠DEF=65°。
∵∠AED'+∠D'EF+∠DEF=180°（平角的定义），
∴∠AED'=180°-65°-65°=50°。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质，折叠的性质，平角的定义
【点评】
本题是角度计算的常考基础题，解题核心是准确找到折叠前后的等角，结合平行线的角的关系和平角定义计算即可，难度不大。
【难度系数】
0.7
首先利用长方形对边平行的性质，得到内错角相等，求出∠DEF的度数；再结合折叠前后对应角相等的性质，得到∠D'EF的度数；最后根据平角为180°，用平角减去两个相等的角的度数，即可求出∠AED'的大小。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD//BC，根据两直线平行，内错角相等，可得∠DEF=∠EFB=65°。
∵纸片沿EF折叠，点D落在D'的位置，
∴∠D'EF=∠DEF=65°。
∵∠AED'+∠D'EF+∠DEF=180°（平角的定义），
∴∠AED'=180°-65°-65°=50°。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质，折叠的性质，平角的定义
【点评】
本题是角度计算的常考基础题，解题核心是准确找到折叠前后的等角，结合平行线的角的关系和平角定义计算即可，难度不大。
【难度系数】
0.7
11. 如图，按角的位置关系填空：∠1与∠2是
同旁内
角，∠1与∠3是内错
角，∠2与∠3是邻补
角.答案
11.同旁内 内错 邻补
解析
【分析】
判断角的位置关系的核心思路是先找两个角的公共边（即截线），剩余两条边所在直线为被截直线，再结合对应角的定义判断：①先找∠1和∠2的截线为中间的斜线，被截线为AB、CD，观察两角位置符合同旁内角特征；②∠1和∠3同样以该斜线为截线，位置符合内错角特征；③∠2和∠3有公共顶点和公共边，另一边互为反向延长线，符合邻补角特征。
【解析】
1. 识别∠1与∠2：两角都在截线的同侧，且在被截直线AB、CD的内部，因此是同旁内角；
2. 识别∠1与∠3：两角在截线的两侧，且在被截直线AB、CD的内部，因此是内错角；
3. 识别∠2与∠3：两角有公共顶点，有一条公共边，另一边互为反向延长线，共同组成平角，因此是邻补角。
【答案】
同旁内；内错；邻补
【知识点】
同旁内角判定；内错角判定；邻补角判定
【点评】
本题属于相交线相关的基础题型，重点考查对不同位置角的定义的掌握，准确识别截线与被截线是解题的关键，熟练掌握该知识点可为后续平行线的判定与性质学习打好基础。
【难度系数】
0.8
判断角的位置关系的核心思路是先找两个角的公共边（即截线），剩余两条边所在直线为被截直线，再结合对应角的定义判断：①先找∠1和∠2的截线为中间的斜线，被截线为AB、CD，观察两角位置符合同旁内角特征；②∠1和∠3同样以该斜线为截线，位置符合内错角特征；③∠2和∠3有公共顶点和公共边，另一边互为反向延长线，符合邻补角特征。
【解析】
1. 识别∠1与∠2：两角都在截线的同侧，且在被截直线AB、CD的内部，因此是同旁内角；
2. 识别∠1与∠3：两角在截线的两侧，且在被截直线AB、CD的内部，因此是内错角；
3. 识别∠2与∠3：两角有公共顶点，有一条公共边，另一边互为反向延长线，共同组成平角，因此是邻补角。
【答案】
同旁内；内错；邻补
【知识点】
同旁内角判定；内错角判定；邻补角判定
【点评】
本题属于相交线相关的基础题型，重点考查对不同位置角的定义的掌握，准确识别截线与被截线是解题的关键，熟练掌握该知识点可为后续平行线的判定与性质学习打好基础。
【难度系数】
0.8
12. 如图，直线AB与CD相交于点O.若$∠ AOD + ∠ BOC = 280°$,则$∠ AOC$的度数为
40°
.答案
12.40°
解析
【分析】
首先观察图形，两条直线相交形成两对对顶角和四对邻补角，解题可围绕相交线的角度性质展开：第一步，已知∠AOD与∠BOC的和，这两个角是对顶角，根据对顶角相等的性质，可先求出∠AOD的度数；第二步，所求的∠AOC和∠AOD是邻补角，根据邻补角和为180°的性质，代入∠AOD的度数即可求出∠AOC的大小。
【解析】
解：
∵直线AB与CD相交于点O
∴∠AOD与∠BOC是对顶角，满足∠AOD=∠BOC
已知∠AOD+∠BOC=280°，代入得：
2∠AOD=280°，解得∠AOD=140°
又
∵∠AOC与∠AOD互为邻补角，
∴∠AOC+∠AOD=180°
代入∠AOD=140°得：
∠AOC=180°-140°=40°
【答案】
40°
【知识点】
对顶角相等；邻补角互补
【点评】
本题是相交线角度计算的基础题型，核心是准确识别对顶角和邻补角，对应运用其性质计算即可，解题思路清晰直观。
【难度系数】
0.9
首先观察图形，两条直线相交形成两对对顶角和四对邻补角，解题可围绕相交线的角度性质展开：第一步，已知∠AOD与∠BOC的和，这两个角是对顶角，根据对顶角相等的性质，可先求出∠AOD的度数；第二步，所求的∠AOC和∠AOD是邻补角，根据邻补角和为180°的性质，代入∠AOD的度数即可求出∠AOC的大小。
【解析】
解：
∵直线AB与CD相交于点O
∴∠AOD与∠BOC是对顶角，满足∠AOD=∠BOC
已知∠AOD+∠BOC=280°，代入得：
2∠AOD=280°，解得∠AOD=140°
又
∵∠AOC与∠AOD互为邻补角，
∴∠AOC+∠AOD=180°
代入∠AOD=140°得：
∠AOC=180°-140°=40°
【答案】
40°
【知识点】
对顶角相等；邻补角互补
【点评】
本题是相交线角度计算的基础题型，核心是准确识别对顶角和邻补角，对应运用其性质计算即可，解题思路清晰直观。
【难度系数】
0.9
13. 若∠1的对顶角是∠2，∠2的邻补角是∠3，∠3的余角是∠4，若∠4=55°，则∠1=
145
°。答案
13.145
解析
【分析】
解题时可从已知的∠4的度数出发，先利用余角的定义求出∠3的度数；再根据邻补角的和为180°，由∠3的度数求出∠2的度数；最后利用对顶角相等的性质，即可推导出∠1的度数，整体按照从已知到未知的顺序逐步推导即可。
【解析】
解：
∵∠4是∠3的余角，∠4=55°
∴∠3 = 90° - ∠4 = 90° - 55° = 35°
∵∠2的邻补角是∠3
∴∠2 + ∠3 = 180°
∴∠2 = 180° - ∠3 = 180° - 35° = 145°
∵∠1的对顶角是∠2，对顶角相等
∴∠1 = ∠2 = 145°
【答案】
145
【知识点】
对顶角的性质；邻补角的性质；余角的定义
【点评】
本题属于基础题，主要考查相交线相关的角的基本性质与定义，熟练掌握各类角的数量关系是解题的关键，解题时注意理清各个角之间的关联，按顺序推导即可。
【难度系数】
0.8
解题时可从已知的∠4的度数出发，先利用余角的定义求出∠3的度数；再根据邻补角的和为180°，由∠3的度数求出∠2的度数；最后利用对顶角相等的性质，即可推导出∠1的度数，整体按照从已知到未知的顺序逐步推导即可。
【解析】
解：
∵∠4是∠3的余角，∠4=55°
∴∠3 = 90° - ∠4 = 90° - 55° = 35°
∵∠2的邻补角是∠3
∴∠2 + ∠3 = 180°
∴∠2 = 180° - ∠3 = 180° - 35° = 145°
∵∠1的对顶角是∠2，对顶角相等
∴∠1 = ∠2 = 145°
【答案】
145
【知识点】
对顶角的性质；邻补角的性质；余角的定义
【点评】
本题属于基础题，主要考查相交线相关的角的基本性质与定义，熟练掌握各类角的数量关系是解题的关键，解题时注意理清各个角之间的关联，按顺序推导即可。
【难度系数】
0.8
14.如图,在三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=8 cm,BC=6 cm,AB=10 cm.点D为线段AB上一动点,则点C到点D的最短距离为
4.8
cm.答案
14.4.8
解析
【分析】
要找定点C到线段AB上动点D的最短距离，首先根据“垂线段最短”的性质，可知当CD垂直于AB时，CD的长度就是C到D的最短距离，也就是点C到直线AB的垂线段长度。接下来我们可以用直角三角形面积的两种计算方法来求这条垂线段的长度：直角三角形的面积既可以用两条直角边乘积的一半计算，也可以用斜边乘斜边上的高的一半计算，联立两个面积表达式就能求出CD的长度。
【解析】
根据垂线段最短的性质，当CD⊥AB时，CD的长度为点C到点D的最短距离。
首先计算△ABC的面积：
∵∠ACB=90°，AC=8cm，BC=6cm
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AC × BC = \frac{1}{2} × 8 × 6 = 24 \mathrm{ cm}^2$
又
∵AB为斜边，长度为10cm，斜边上的高为CD
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × CD$
将面积和AB的长度代入得：
$24 = \frac{1}{2} × 10 × CD$
解得：$CD = \frac{24 × 2}{10} = 4.8 \mathrm{ cm}$
【答案】
4.8
【知识点】
垂线段最短、三角形面积计算、点到直线的距离
【点评】
本题属于几何基础应用题，核心是利用垂线段最短确定最短距离的位置，再通过面积法求解对应线段长度，这种面积法求高的思路在几何计算中十分常用，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
要找定点C到线段AB上动点D的最短距离，首先根据“垂线段最短”的性质，可知当CD垂直于AB时，CD的长度就是C到D的最短距离，也就是点C到直线AB的垂线段长度。接下来我们可以用直角三角形面积的两种计算方法来求这条垂线段的长度：直角三角形的面积既可以用两条直角边乘积的一半计算，也可以用斜边乘斜边上的高的一半计算，联立两个面积表达式就能求出CD的长度。
【解析】
根据垂线段最短的性质，当CD⊥AB时，CD的长度为点C到点D的最短距离。
首先计算△ABC的面积：
∵∠ACB=90°，AC=8cm，BC=6cm
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AC × BC = \frac{1}{2} × 8 × 6 = 24 \mathrm{ cm}^2$
又
∵AB为斜边，长度为10cm，斜边上的高为CD
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × CD$
将面积和AB的长度代入得：
$24 = \frac{1}{2} × 10 × CD$
解得：$CD = \frac{24 × 2}{10} = 4.8 \mathrm{ cm}$
【答案】
4.8
【知识点】
垂线段最短、三角形面积计算、点到直线的距离
【点评】
本题属于几何基础应用题，核心是利用垂线段最短确定最短距离的位置，再通过面积法求解对应线段长度，这种面积法求高的思路在几何计算中十分常用，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
15. 如图,将三角形ABC沿直线AB向右平移到三角形BDE的位置.若∠CAB=55°,∠ABC=100°,则∠CBE的度数为
25°
.答案
15.25°
解析
【分析】
解题时首先根据平移的性质，平移前后图形的对应角相等，可得到∠EBD与∠CAB相等；再结合点A、B、D共线，三个角∠ABC、∠CBE、∠EBD组成平角，和为180°，代入已知角度即可计算出∠CBE的度数。
【解析】
解：
∵三角形ABC沿直线AB向右平移到三角形BDE的位置
∴根据平移的性质，对应角相等，可得∠EBD=∠CAB=55°
又
∵点A、B、D在同一直线上，∠ABD为平角
∴∠ABC + ∠CBE + ∠EBD = 180°
将∠ABC=100°，∠EBD=55°代入得：
100° + ∠CBE + 55° = 180°
解得∠CBE=180°-100°-55°=25°
【答案】
25°
【知识点】
平移的性质、平角的定义
【点评】
本题是角度计算类基础题，解题核心是熟练运用平移的对应角相等性质，结合平角的和为180°的特征列式计算，只要找准平移后的对应角即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据平移的性质，平移前后图形的对应角相等，可得到∠EBD与∠CAB相等；再结合点A、B、D共线，三个角∠ABC、∠CBE、∠EBD组成平角，和为180°，代入已知角度即可计算出∠CBE的度数。
【解析】
解：
∵三角形ABC沿直线AB向右平移到三角形BDE的位置
∴根据平移的性质，对应角相等，可得∠EBD=∠CAB=55°
又
∵点A、B、D在同一直线上，∠ABD为平角
∴∠ABC + ∠CBE + ∠EBD = 180°
将∠ABC=100°，∠EBD=55°代入得：
100° + ∠CBE + 55° = 180°
解得∠CBE=180°-100°-55°=25°
【答案】
25°
【知识点】
平移的性质、平角的定义
【点评】
本题是角度计算类基础题，解题核心是熟练运用平移的对应角相等性质，结合平角的和为180°的特征列式计算，只要找准平移后的对应角即可快速求解。
【难度系数】
0.8
16. 如图，已知直线$a// b$，$∠ 1 = 130°$，$∠ 2 = 90°$，则$∠ 3 = $
140
°。答案
16.140
解析
【分析】
本题是平行线背景下的角度计算问题，遇到两条平行线间存在折线的题型，通常采用过拐点作平行线的辅助线方法求解。首先过∠2的顶点作平行于直线a的辅助线，根据平行公理的推论可知这条辅助线也平行于直线b，再结合平行线“两直线平行，同旁内角互补”的性质，结合已知的∠1和∠2的度数，分步计算即可得到∠3的度数。
【解析】
过∠2的顶点作直线$c// a$。
∵ $a// b$，根据平行于同一条直线的两条直线互相平行，可得$c// b$。
∵ $c// a$，两直线平行，同旁内角互补，
∴ 与∠1相邻的同旁内角为$180° - ∠1 = 180° -130°=50°$。
∵ $∠2=90°$，
∴ 直线c下方与∠3相邻的角为$90° -50°=40°$。
又
∵ $c// b$，两直线平行，同旁内角互补，
∴ $∠3=180° -40°=140°$。
【答案】
140
【知识点】
平行线的性质，平行公理推论，直角的定义
【点评】
本题是相交线与平行线章节的典型角度计算题，核心考查辅助线的构造思路和平行线性质的应用，熟练掌握平行线相关性质、学会根据题型特征构造辅助线是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.7
本题是平行线背景下的角度计算问题，遇到两条平行线间存在折线的题型，通常采用过拐点作平行线的辅助线方法求解。首先过∠2的顶点作平行于直线a的辅助线，根据平行公理的推论可知这条辅助线也平行于直线b，再结合平行线“两直线平行，同旁内角互补”的性质，结合已知的∠1和∠2的度数，分步计算即可得到∠3的度数。
【解析】
过∠2的顶点作直线$c// a$。
∵ $a// b$，根据平行于同一条直线的两条直线互相平行，可得$c// b$。
∵ $c// a$，两直线平行，同旁内角互补，
∴ 与∠1相邻的同旁内角为$180° - ∠1 = 180° -130°=50°$。
∵ $∠2=90°$，
∴ 直线c下方与∠3相邻的角为$90° -50°=40°$。
又
∵ $c// b$，两直线平行，同旁内角互补，
∴ $∠3=180° -40°=140°$。
【答案】
140
【知识点】
平行线的性质，平行公理推论，直角的定义
【点评】
本题是相交线与平行线章节的典型角度计算题，核心考查辅助线的构造思路和平行线性质的应用，熟练掌握平行线相关性质、学会根据题型特征构造辅助线是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.7
17. 如图，直线AB，CD相交于点O，OE把∠BOC分成两部分.
(1)图中∠AOC的对顶角为
(2)若∠AOD = 84°，且∠BOE : ∠COE = 3:1，求∠AOE的度数.
(1)图中∠AOC的对顶角为
∠BOD
，∠AOC的邻补角为∠AOD 和∠BOC
；(2)若∠AOD = 84°，且∠BOE : ∠COE = 3:1，求∠AOE的度数.
答案
17.解:(1)$∠BOD$ $∠AOD$ 和$∠BOC$
(2)$\because ∠BOC = ∠AOD = 84°, ∠BOE : ∠COE = 3 : 1, \therefore ∠BOE = \frac{3}{4}∠BOC = 63°.$
$\therefore ∠AOE = 180° - ∠BOE = 180° - 63° = 117°.$
(2)$\because ∠BOC = ∠AOD = 84°, ∠BOE : ∠COE = 3 : 1, \therefore ∠BOE = \frac{3}{4}∠BOC = 63°.$
$\therefore ∠AOE = 180° - ∠BOE = 180° - 63° = 117°.$
解析
【分析】
第(1)问：先明确对顶角和邻补角的定义，对顶角是有公共顶点、两边分别互为反向延长线的角；邻补角是有公共顶点和公共边，另一边互为反向延长线，两角和为180°的角，依据定义对应查找即可。
第(2)问：首先利用对顶角相等的性质，得到∠BOC和已知的∠AOD度数相等，再根据∠BOE与∠COE的比例关系算出∠BOE的度数，最后根据∠AOE和∠BOE互为邻补角、和为180°，即可求出∠AOE的度数。
【解析】
(1)根据对顶角定义，∠AOC的两边与∠BOD的两边互为反向延长线，故∠AOC的对顶角为∠BOD；
和∠AOC有公共顶点、公共边，且和为180°的角为∠AOD和∠BOC，故∠AOC的邻补角为∠AOD和∠BOC。
(2)
∵直线AB、CD相交于点O，根据对顶角相等，
∴∠BOC = ∠AOD = 84°，
∵∠BOE : ∠COE = 3:1，即∠BOC被分为3+1=4份，∠BOE占3份，
∴$∠ BOE=\frac{3}{3+1}×∠ BOC=\frac{3}{4}×84°=63°$，
∵∠AOE与∠BOE互为邻补角，
∴$∠ AOE=180°-∠ BOE=180°-63°=117°$。
【答案】
(1)$\boldsymbol{∠BOD}$；$\boldsymbol{∠AOD}$和$\boldsymbol{∠BOC}$
(2)$\boldsymbol{117°}$
【知识点】
对顶角相等；邻补角性质；角的和差计算
【点评】
本题属于相交线相关的基础题，主要考查对顶角、邻补角的定义与性质，以及按比例分配计算角度，熟练掌握基础概念就能顺利解答。
【难度系数】
0.85
第(1)问：先明确对顶角和邻补角的定义，对顶角是有公共顶点、两边分别互为反向延长线的角；邻补角是有公共顶点和公共边，另一边互为反向延长线，两角和为180°的角，依据定义对应查找即可。
第(2)问：首先利用对顶角相等的性质，得到∠BOC和已知的∠AOD度数相等，再根据∠BOE与∠COE的比例关系算出∠BOE的度数，最后根据∠AOE和∠BOE互为邻补角、和为180°，即可求出∠AOE的度数。
【解析】
(1)根据对顶角定义，∠AOC的两边与∠BOD的两边互为反向延长线，故∠AOC的对顶角为∠BOD；
和∠AOC有公共顶点、公共边，且和为180°的角为∠AOD和∠BOC，故∠AOC的邻补角为∠AOD和∠BOC。
(2)
∵直线AB、CD相交于点O，根据对顶角相等，
∴∠BOC = ∠AOD = 84°，
∵∠BOE : ∠COE = 3:1，即∠BOC被分为3+1=4份，∠BOE占3份，
∴$∠ BOE=\frac{3}{3+1}×∠ BOC=\frac{3}{4}×84°=63°$，
∵∠AOE与∠BOE互为邻补角，
∴$∠ AOE=180°-∠ BOE=180°-63°=117°$。
【答案】
(1)$\boldsymbol{∠BOD}$；$\boldsymbol{∠AOD}$和$\boldsymbol{∠BOC}$
(2)$\boldsymbol{117°}$
【知识点】
对顶角相等；邻补角性质；角的和差计算
【点评】
本题属于相交线相关的基础题，主要考查对顶角、邻补角的定义与性质，以及按比例分配计算角度，熟练掌握基础概念就能顺利解答。
【难度系数】
0.85
