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18. 在平面直角坐标系中，点$A(0,1)$，$B(2,0)$，$C(4,3)$。
(1)请在图中画出三角形$ABC$，并求三角形$ABC$的面积；
(2)若点$P$在$x$轴上，且三角形$CBP$与三角形$ABC$的面积相等，求点$P$的坐标。
(1)请在图中画出三角形$ABC$，并求三角形$ABC$的面积；
(2)若点$P$在$x$轴上，且三角形$CBP$与三角形$ABC$的面积相等，求点$P$的坐标。
答案
18.解:(1)图略.$S_{三角形ABC}=\frac{1}{2}×(1+3)×4-\frac{1}{2}×1×2-\frac{1}{2}×2×3=4.$
(2)$\because S_{三角形CBP}=\frac{1}{2}×3×BP=S_{三角形ABC}=4,$
$\therefore BP=\frac{8}{3}.$ 点P的坐标是$(-\frac{2}{3},0)$或$(\frac{14}{3},0).$
(2)$\because S_{三角形CBP}=\frac{1}{2}×3×BP=S_{三角形ABC}=4,$
$\therefore BP=\frac{8}{3}.$ 点P的坐标是$(-\frac{2}{3},0)$或$(\frac{14}{3},0).$
解析
【分析】
(1) 首先根据三个点的坐标在坐标系中描出A、B、C三点，顺次连接即可得到△ABC。由于△ABC的边不与坐标轴平行，适合用割补法求面积：将图形补为梯形，用梯形面积减去周围两个多余的直角三角形面积，即可得到△ABC的面积。
(2) 点P在x轴上，因此△CBP的底边BP在x轴上，高就是点C到x轴的距离（即C的纵坐标3）。已知两个三角形面积相等，先根据面积公式求出BP的长度，再分点P在点B左侧、右侧两种情况计算P的坐标，避免漏解。
【解析】
(1) 按照坐标描出A(0,1)、B(2,0)、C(4,3)，顺次连接得到△ABC（图略）。
过点C作CD⊥x轴于点D，
梯形AODC的面积 = $\frac{1}{2}×(1+3)×4 = 8$，
Rt△AOB的面积 = $\frac{1}{2}×1×2 = 1$，
Rt△BCD的面积 = $\frac{1}{2}×(4-2)×3 = 3$，
因此$S_{△ ABC} = 8 -1 -3 =4$。
(2) 设点P的坐标为$(x,0)$，则$BP=|x-2|$。
△CBP中，底边BP对应的高为点C的纵坐标3，
由$S_{△ CBP}=S_{△ ABC}=4$，得：
$\frac{1}{2}×3×|x-2| = 4$，
解得$|x-2|=\frac{8}{3}$，
当$x-2=\frac{8}{3}$时，$x=\frac{14}{3}$；当$x-2=-\frac{8}{3}$时，$x=-\frac{2}{3}$。
【答案】
(1) 画图略，$S_{△ ABC}=4$；
(2) 点P的坐标为$(-\frac{2}{3},0)$或$(\frac{14}{3},0)$。
【知识点】
坐标系作图，割补法求面积，动点坐标求解
【点评】
本题重点考查平面直角坐标系中图形面积的计算及动点问题，割补法是求解坐标系内不规则图形面积的常用方法，解决动点问题时需注意分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
(1) 首先根据三个点的坐标在坐标系中描出A、B、C三点，顺次连接即可得到△ABC。由于△ABC的边不与坐标轴平行，适合用割补法求面积：将图形补为梯形，用梯形面积减去周围两个多余的直角三角形面积，即可得到△ABC的面积。
(2) 点P在x轴上，因此△CBP的底边BP在x轴上，高就是点C到x轴的距离（即C的纵坐标3）。已知两个三角形面积相等，先根据面积公式求出BP的长度，再分点P在点B左侧、右侧两种情况计算P的坐标，避免漏解。
【解析】
(1) 按照坐标描出A(0,1)、B(2,0)、C(4,3)，顺次连接得到△ABC（图略）。
过点C作CD⊥x轴于点D，
梯形AODC的面积 = $\frac{1}{2}×(1+3)×4 = 8$，
Rt△AOB的面积 = $\frac{1}{2}×1×2 = 1$，
Rt△BCD的面积 = $\frac{1}{2}×(4-2)×3 = 3$，
因此$S_{△ ABC} = 8 -1 -3 =4$。
(2) 设点P的坐标为$(x,0)$，则$BP=|x-2|$。
△CBP中，底边BP对应的高为点C的纵坐标3，
由$S_{△ CBP}=S_{△ ABC}=4$，得：
$\frac{1}{2}×3×|x-2| = 4$，
解得$|x-2|=\frac{8}{3}$，
当$x-2=\frac{8}{3}$时，$x=\frac{14}{3}$；当$x-2=-\frac{8}{3}$时，$x=-\frac{2}{3}$。
【答案】
(1) 画图略，$S_{△ ABC}=4$；
(2) 点P的坐标为$(-\frac{2}{3},0)$或$(\frac{14}{3},0)$。
【知识点】
坐标系作图，割补法求面积，动点坐标求解
【点评】
本题重点考查平面直角坐标系中图形面积的计算及动点问题，割补法是求解坐标系内不规则图形面积的常用方法，解决动点问题时需注意分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
19. 方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，如图，在平面直角坐标系中，已知点$A(1,0),B(4,0),C(3,3),D(1,4)$.
(1)描出$A,B,C,D$四点的位置，并顺次连接$AB,BC,CD,DA$；
(2)四边形$ABCD$的面积是________；
(3)把四边形$ABCD$向左平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度得到四边形$A'B'C'D'$，在图中画出四边形$A'B'C'D'$，并写出点$A',B',C',D'$的坐标.
(1)描出$A,B,C,D$四点的位置，并顺次连接$AB,BC,CD,DA$；
(2)四边形$ABCD$的面积是________；
(3)把四边形$ABCD$向左平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度得到四边形$A'B'C'D'$，在图中画出四边形$A'B'C'D'$，并写出点$A',B',C',D'$的坐标.
答案
19.解:(1)图略. (2)$\frac{17}{2}$
(3)图略,$A'(-4,1),B'(-1,1),C'(-2,4),D'(-4,5).$
(3)图略,$A'(-4,1),B'(-1,1),C'(-2,4),D'(-4,5).$
解析
【分析】
(1) 描点时根据点的横坐标对应x轴数值、纵坐标对应y轴数值，在坐标系中找到对应位置，再按要求顺次连接四条线段即可。
(2) 四边形ABCD是不规则图形，可使用割补法求解：将四边形分割为学过的直角三角形和矩形，分别计算各部分面积后求和，即可得到四边形的总面积。
(3) 平移的坐标变化规律为：向左平移n个单位，横坐标减n；向上平移m个单位，纵坐标加m。按照该规律算出四个平移后点的坐标，再描点连线就能得到平移后的图形。
【解析】
(1) 按坐标定位点：A(1,0)在x轴上横坐标为1的位置，B(4,0)在x轴上横坐标为4的位置，C(3,3)对应x=3、y=3的网格交点，D(1,4)对应x=1、y=4的网格交点，找到四点后顺次连接AB、BC、CD、DA即可，图略。
(2) 用割补法计算面积：过C作x轴垂线，交x轴于E(3,0)，过C作直线x=1的垂线，交直线x=1于F(1,3)：
① 直角三角形DFC的面积：$DF=4-3=1$，$FC=3-1=2$，面积为$\frac{1}{2} × 1 × 2=1$；
② 矩形AFCE的面积：$AF=3-0=3$，$FC=3-1=2$，面积为$3 × 2=6$；
③ 直角三角形BCE的面积：$BE=4-3=1$，$CE=3-0=3$，面积为$\frac{1}{2} × 1 × 3=\frac{3}{2}$；
四边形ABCD总面积为$1+6+\frac{3}{2}=\frac{17}{2}$。
(3) 根据平移规则计算坐标：向左平移5个单位横坐标减5，向上平移1个单位纵坐标加1：
$A'$坐标：$1-5=-4$，$0+1=1$，即$A'(-4,1)$；
$B'$坐标：$4-5=-1$，$0+1=1$，即$B'(-1,1)$；
$C'$坐标：$3-5=-2$，$3+1=4$，即$C'(-2,4)$；
$D'$坐标：$1-5=-4$，$4+1=5$，即$D'(-4,5)$；
根据所得坐标描点顺次连接即可得到平移后的四边形，图略。
【答案】
(1) 图略；(2) $\frac{17}{2}$；(3) 图略，$A'(-4,1),B'(-1,1),C'(-2,4),D'(-4,5)$
【知识点】
坐标系描点，割补法求面积，坐标平移规律
【点评】
本题考查平面直角坐标系的基础应用，涵盖描点、图形平移、不规则图形面积计算等核心考点，解题关键是熟练掌握平移的坐标变化规则，灵活运用割补法处理不规则图形的面积问题。
【难度系数】
0.7
(1) 描点时根据点的横坐标对应x轴数值、纵坐标对应y轴数值，在坐标系中找到对应位置，再按要求顺次连接四条线段即可。
(2) 四边形ABCD是不规则图形，可使用割补法求解：将四边形分割为学过的直角三角形和矩形，分别计算各部分面积后求和，即可得到四边形的总面积。
(3) 平移的坐标变化规律为：向左平移n个单位，横坐标减n；向上平移m个单位，纵坐标加m。按照该规律算出四个平移后点的坐标，再描点连线就能得到平移后的图形。
【解析】
(1) 按坐标定位点：A(1,0)在x轴上横坐标为1的位置，B(4,0)在x轴上横坐标为4的位置，C(3,3)对应x=3、y=3的网格交点，D(1,4)对应x=1、y=4的网格交点，找到四点后顺次连接AB、BC、CD、DA即可，图略。
(2) 用割补法计算面积：过C作x轴垂线，交x轴于E(3,0)，过C作直线x=1的垂线，交直线x=1于F(1,3)：
① 直角三角形DFC的面积：$DF=4-3=1$，$FC=3-1=2$，面积为$\frac{1}{2} × 1 × 2=1$；
② 矩形AFCE的面积：$AF=3-0=3$，$FC=3-1=2$，面积为$3 × 2=6$；
③ 直角三角形BCE的面积：$BE=4-3=1$，$CE=3-0=3$，面积为$\frac{1}{2} × 1 × 3=\frac{3}{2}$；
四边形ABCD总面积为$1+6+\frac{3}{2}=\frac{17}{2}$。
(3) 根据平移规则计算坐标：向左平移5个单位横坐标减5，向上平移1个单位纵坐标加1：
$A'$坐标：$1-5=-4$，$0+1=1$，即$A'(-4,1)$；
$B'$坐标：$4-5=-1$，$0+1=1$，即$B'(-1,1)$；
$C'$坐标：$3-5=-2$，$3+1=4$，即$C'(-2,4)$；
$D'$坐标：$1-5=-4$，$4+1=5$，即$D'(-4,5)$；
根据所得坐标描点顺次连接即可得到平移后的四边形，图略。
【答案】
(1) 图略；(2) $\frac{17}{2}$；(3) 图略，$A'(-4,1),B'(-1,1),C'(-2,4),D'(-4,5)$
【知识点】
坐标系描点，割补法求面积，坐标平移规律
【点评】
本题考查平面直角坐标系的基础应用，涵盖描点、图形平移、不规则图形面积计算等核心考点，解题关键是熟练掌握平移的坐标变化规则，灵活运用割补法处理不规则图形的面积问题。
【难度系数】
0.7
20. 如图,在平面直角坐标系中,$A(a,0)$,$B(b,0)$,$C(-1,2)$,且$\sqrt{a+2} + |b - 3| = 0$.
(1)求$a$,$b$的值;
(2)在$y$轴的正半轴上存在一点$M$,使三角形$COM$的面积为三角形$ABC$面积的一半,求点$M$的坐标.
(1)求$a$,$b$的值;
(2)在$y$轴的正半轴上存在一点$M$,使三角形$COM$的面积为三角形$ABC$面积的一半,求点$M$的坐标.
答案
20.解:(1)由题意可得$a+2=0,b-3=0.$
$\therefore a=-2,b=3.$
(2)由(1)可知,A,B两点的坐标为A(-2,0),B(3,0).$\therefore S_{三角形ABC}=\frac{1}{2}×2×5=5,$
$S_{三角形COM}=\frac{1}{2}×1×OM=\frac{1}{2}×5. \therefore OM=5.$
又点M在y轴正半轴上,
∴点M的坐标为(0,5).
$\therefore a=-2,b=3.$
(2)由(1)可知,A,B两点的坐标为A(-2,0),B(3,0).$\therefore S_{三角形ABC}=\frac{1}{2}×2×5=5,$
$S_{三角形COM}=\frac{1}{2}×1×OM=\frac{1}{2}×5. \therefore OM=5.$
又点M在y轴正半轴上,
∴点M的坐标为(0,5).
解析
【分析】
(1) 算术平方根和绝对值都具有非负性，两个非负数相加和为0时，每个非负数的值都为0，据此列方程即可求出a、b的值。
(2) 先根据A、B的坐标求出AB的长度，结合点C的纵坐标计算出△ABC的面积；再根据△COM的面积是△ABC面积的一半，△COM以OM为底时，高为点C到y轴的距离（即C点横坐标的绝对值），列方程求出OM的长度，结合M在y轴正半轴即可确定M的坐标。
【解析】
(1) 已知$\sqrt{a+2} + |b - 3| = 0$，根据算术平方根和绝对值的非负性可得：
$a+2=0$，$b-3=0$
解得$a=-2$，$b=3$。
(2) 由(1)得$A(-2,0)$，$B(3,0)$，因此AB的长度为$3-(-2)=5$，点C到x轴的距离为2，即△ABC中AB边上的高为2，故：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × 5 × 2 = 5$
根据题意$S_{△ COM}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{5}{2}$，设点M的坐标为$(0,m)$（$m＞0$），则$OM=m$，点C到y轴的距离为$|-1|=1$，即△COM中OM边上的高为1，因此：
$S_{△ COM}=\frac{1}{2} × m × 1 = \frac{5}{2}$
解得$m=5$，结合点M在y轴正半轴，可得M的坐标为$(0,5)$。
【答案】
(1)$a=-2$，$b=3$；(2)$M(0,5)$
【知识点】
非负数的性质；坐标与图形；三角形面积计算
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础综合题，结合了非负性的结论和坐标系内图形面积的计算，解题核心是掌握非负数的性质，以及坐标系中三角形底和高的确定方法，是常考的基础题型。
【难度系数】
0.8
(1) 算术平方根和绝对值都具有非负性，两个非负数相加和为0时，每个非负数的值都为0，据此列方程即可求出a、b的值。
(2) 先根据A、B的坐标求出AB的长度，结合点C的纵坐标计算出△ABC的面积；再根据△COM的面积是△ABC面积的一半，△COM以OM为底时，高为点C到y轴的距离（即C点横坐标的绝对值），列方程求出OM的长度，结合M在y轴正半轴即可确定M的坐标。
【解析】
(1) 已知$\sqrt{a+2} + |b - 3| = 0$，根据算术平方根和绝对值的非负性可得：
$a+2=0$，$b-3=0$
解得$a=-2$，$b=3$。
(2) 由(1)得$A(-2,0)$，$B(3,0)$，因此AB的长度为$3-(-2)=5$，点C到x轴的距离为2，即△ABC中AB边上的高为2，故：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × 5 × 2 = 5$
根据题意$S_{△ COM}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{5}{2}$，设点M的坐标为$(0,m)$（$m＞0$），则$OM=m$，点C到y轴的距离为$|-1|=1$，即△COM中OM边上的高为1，因此：
$S_{△ COM}=\frac{1}{2} × m × 1 = \frac{5}{2}$
解得$m=5$，结合点M在y轴正半轴，可得M的坐标为$(0,5)$。
【答案】
(1)$a=-2$，$b=3$；(2)$M(0,5)$
【知识点】
非负数的性质；坐标与图形；三角形面积计算
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础综合题，结合了非负性的结论和坐标系内图形面积的计算，解题核心是掌握非负数的性质，以及坐标系中三角形底和高的确定方法，是常考的基础题型。
【难度系数】
0.8
21.在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度.其行走路线如下图所示.
(1)填写下列各点的坐标：
$A_1($$, $$),$
$A_3($$, $$),$
$A_{12}(\_\_\_\_\_\_, \_\_\_\_\_\_);$
(2)写出点$A_{4n}$的坐标($n$是正整数);
(3)指出蚂蚁从点$A_{100}$到$A_{101}$的移动方向.
(1)填写下列各点的坐标：
$A_1($$, $$),$
$A_3($$, $$),$
$A_{12}(\_\_\_\_\_\_, \_\_\_\_\_\_);$
(2)写出点$A_{4n}$的坐标($n$是正整数);
(3)指出蚂蚁从点$A_{100}$到$A_{101}$的移动方向.
答案
21.解:(1)0 1 1 0 6 0
(2)$A_{4n}(2n,0).$ (3)向上.
(2)$A_{4n}(2n,0).$ (3)向上.
解析
【分析】
本题是平面直角坐标系中的规律探究题，首先明确蚂蚁的移动规律：按向上、向右、向下、向右的顺序移动，每次走1个单位，每4次移动为一个完整周期，每个周期结束后横坐标增加2，纵坐标回到0。解题时先通过数前几个点的坐标找到周期特征，再利用周期规律求解各小问：
1. 第(1)问直接按移动顺序数出对应点的坐标即可；
2. 第(2)问观察序号为4的倍数的点的坐标规律，总结出通用表达式；
3. 第(3)问先判断100是4的倍数，对应周期结束的位置，再按移动顺序判断下一步方向。
【解析】
蚂蚁从原点O(0,0)出发，移动顺序为：向上1单位→向右1单位→向下1单位→向右1单位，每4次移动为一个周期，每次移动1个单位长度。
(1) 第1次向上移动到$A_1$，坐标为$(0,1)$；第3次向下移动后到$A_3$，坐标为$(1,0)$；12次移动刚好完成$12÷4=3$个完整周期，每个周期横坐标增加2，3个周期横坐标为$3×2=6$，纵坐标为0，故$A_{12}(6,0)$。
(2) 对$A_{4n}$（$n$为正整数），刚好完成$n$个完整周期，横坐标为$n×2=2n$，纵坐标始终为0，因此坐标为$(2n,0)$。
(3) $100÷4=25$，说明$A_{100}$是完成25个周期后的点，坐标为$(2×25,0)=(50,0)$，每个周期结束后的下一次移动为周期的第一步，即向上，因此从$A_{100}$到$A_{101}$的移动方向是向上。
【答案】
(1) 0，1；1，0；6，0
(2) $A_{4n}(2n,0)$
(3) 向上
【知识点】
平面直角坐标系，坐标规律探究，周期问题
【点评】
本题需要结合图形的移动特征总结规律，核心是找到每4次移动为一个循环的周期特征，掌握坐标的变化规则即可顺利解题，能够锻炼学生的观察和归纳能力。
【难度系数】
0.7
本题是平面直角坐标系中的规律探究题，首先明确蚂蚁的移动规律：按向上、向右、向下、向右的顺序移动，每次走1个单位，每4次移动为一个完整周期，每个周期结束后横坐标增加2，纵坐标回到0。解题时先通过数前几个点的坐标找到周期特征，再利用周期规律求解各小问：
1. 第(1)问直接按移动顺序数出对应点的坐标即可；
2. 第(2)问观察序号为4的倍数的点的坐标规律，总结出通用表达式；
3. 第(3)问先判断100是4的倍数，对应周期结束的位置，再按移动顺序判断下一步方向。
【解析】
蚂蚁从原点O(0,0)出发，移动顺序为：向上1单位→向右1单位→向下1单位→向右1单位，每4次移动为一个周期，每次移动1个单位长度。
(1) 第1次向上移动到$A_1$，坐标为$(0,1)$；第3次向下移动后到$A_3$，坐标为$(1,0)$；12次移动刚好完成$12÷4=3$个完整周期，每个周期横坐标增加2，3个周期横坐标为$3×2=6$，纵坐标为0，故$A_{12}(6,0)$。
(2) 对$A_{4n}$（$n$为正整数），刚好完成$n$个完整周期，横坐标为$n×2=2n$，纵坐标始终为0，因此坐标为$(2n,0)$。
(3) $100÷4=25$，说明$A_{100}$是完成25个周期后的点，坐标为$(2×25,0)=(50,0)$，每个周期结束后的下一次移动为周期的第一步，即向上，因此从$A_{100}$到$A_{101}$的移动方向是向上。
【答案】
(1) 0，1；1，0；6，0
(2) $A_{4n}(2n,0)$
(3) 向上
【知识点】
平面直角坐标系，坐标规律探究，周期问题
【点评】
本题需要结合图形的移动特征总结规律，核心是找到每4次移动为一个循环的周期特征，掌握坐标的变化规则即可顺利解题，能够锻炼学生的观察和归纳能力。
【难度系数】
0.7
