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根据以下素材,探索完成任务.
背景 “追光少年,青春飞扬”,某校组织了一场运动员选拔赛,班主任为奖励同学们在选拔赛中的优异表现,准备让优秀的你去奶茶店购买A,B两种款式的奶茶.
素材1 买2杯A款奶茶,3杯B款奶茶共需76元;买4杯A款奶茶,7杯B款奶茶共需168元. A款 B款
素材2 为了满足市场需求,奶茶店推出每杯2元的加料服务,顾客在选完款式后可以自主选择加料或者不加料.
素材3 上一个顾客用了336元购买A,B两款共四种不同的奶茶,其中A款不加料的杯数是购买奶茶总杯数的$\frac{1}{3}$.
问题解决
任务1 A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元?
任务2 在不加料的情况下,若你购买了A,B两种款式的奶茶(两种都要)刚好花了280元,问有哪几种购买方案?
任务3 结合素材3,上一个顾客购买的奶茶中B款加料的奶茶有多少杯?(直接写出答案即可)
背景 “追光少年,青春飞扬”,某校组织了一场运动员选拔赛,班主任为奖励同学们在选拔赛中的优异表现,准备让优秀的你去奶茶店购买A,B两种款式的奶茶.
素材1 买2杯A款奶茶,3杯B款奶茶共需76元;买4杯A款奶茶,7杯B款奶茶共需168元. A款 B款
素材2 为了满足市场需求,奶茶店推出每杯2元的加料服务,顾客在选完款式后可以自主选择加料或者不加料.
素材3 上一个顾客用了336元购买A,B两款共四种不同的奶茶,其中A款不加料的杯数是购买奶茶总杯数的$\frac{1}{3}$.
问题解决
任务1 A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元?
任务2 在不加料的情况下,若你购买了A,B两种款式的奶茶(两种都要)刚好花了280元,问有哪几种购买方案?
任务3 结合素材3,上一个顾客购买的奶茶中B款加料的奶茶有多少杯?(直接写出答案即可)
答案
任务1:设A款奶茶的销售单价是x元,B款奶茶的销售单价是y元,根据题意得
$\begin{cases}2x+3y=76,\\4x+7y=168,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=14,\\y=16.\end{cases}$
答:A款奶茶的销售单价是14元,B款奶茶的销售单价是16元.
任务2:设购买a杯A款奶茶,b杯B款奶茶,根据题意得14a+16b=280,
∴a=20-$\frac{8}{7}$b.又
∵a,b均为正整数,
∴$\begin{cases}a=12,\\b=7\end{cases}$或$\begin{cases}a=4,\\b=14.\end{cases}$
∴共有2种购买方案:方案一,购买12杯A款奶茶,7杯B款奶茶;方案二,购买4杯A款奶茶,14杯B款奶茶.
任务3:7杯. 点拨:设上一个顾客购买的奶茶中A款不加料的奶茶买了m杯,A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶买了n杯,则B款加料的奶茶买了(3m - m - n)杯,根据题意得14m + 16n + (16 + 2)(3m - m - n) = 336,
∴n=25m - 168.又
∵m,n,(3m - m - n)均为正整数,
∴$\begin{cases}m=7,\\n=7.\end{cases}$
∴3m - m - n = 3×7 - 7 - 7=7(杯).
∴上一个顾客购买的奶茶中B款加料的奶茶有7杯.
$\begin{cases}2x+3y=76,\\4x+7y=168,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=14,\\y=16.\end{cases}$
答:A款奶茶的销售单价是14元,B款奶茶的销售单价是16元.
任务2:设购买a杯A款奶茶,b杯B款奶茶,根据题意得14a+16b=280,
∴a=20-$\frac{8}{7}$b.又
∵a,b均为正整数,
∴$\begin{cases}a=12,\\b=7\end{cases}$或$\begin{cases}a=4,\\b=14.\end{cases}$
∴共有2种购买方案:方案一,购买12杯A款奶茶,7杯B款奶茶;方案二,购买4杯A款奶茶,14杯B款奶茶.
任务3:7杯. 点拨:设上一个顾客购买的奶茶中A款不加料的奶茶买了m杯,A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶买了n杯,则B款加料的奶茶买了(3m - m - n)杯,根据题意得14m + 16n + (16 + 2)(3m - m - n) = 336,
∴n=25m - 168.又
∵m,n,(3m - m - n)均为正整数,
∴$\begin{cases}m=7,\\n=7.\end{cases}$
∴3m - m - n = 3×7 - 7 - 7=7(杯).
∴上一个顾客购买的奶茶中B款加料的奶茶有7杯.
解析
【分析】
1. 任务1思路：要计算A、B两款奶茶的单价，已知两种购买组合的总花费，属于二元一次方程组应用问题。分别设A、B款单价为x元、y元，根据素材1的两个等量关系列方程组求解即可。
2. 任务2思路：已知不加料总花费280元，且两种奶茶都要买，设购买A款a杯、B款b杯，根据总费用列二元一次方程，整理为用一个变量表示另一个的形式，结合a、b是正整数的限制筛选出所有符合条件的解，每组解对应一种购买方案。
3. 任务3思路：共有A不加料、A加料、B不加料、B加料4种奶茶，已知A不加料杯数是总杯数的$\frac{1}{3}$，设总杯数为3m，则A不加料有m杯，剩余三类共2m杯；再设A加料和B不加料共n杯，则B加料有$(2m-n)$杯，根据总费用列方程，结合各类杯数均为正整数的限制求解即可。
【解析】
任务1
设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元，根据题意列方程组：
$\begin{cases}2x+3y=76 \\4x+7y=168 \end{cases}$
将第一个方程乘2得$4x+6y=152$，用第二个方程减该式得$y=16$，把$y=16$代入$2x+3y=76$，解得$x=14$。
任务2
设购买a杯A款奶茶，b杯B款奶茶，根据题意得：
$14a+16b=280$，整理得$a=20-\frac{8}{7}b$。
∵a、b均为正整数，
∴b是7的正整数倍，且$20-\frac{8}{7}b＞0$，解得$b＜17.5$。
当$b=7$时，$a=12$；当$b=14$时，$a=4$。
任务3
设A款不加料有m杯，总杯数为$3m$，A加料、B不加料共n杯，则B加料有$(2m-n)$杯，根据总费用列方程：
$14m +16n +18(2m-n)=336$，化简得$n=25m-168$。
结合m、n、$2m-n$均为正整数，解得$m=7$，$n=7$，因此B加料杯数为$2×7-7=7$杯。
【答案】
任务1：A款奶茶销售单价为14元，B款奶茶销售单价为16元；
任务2：共2种购买方案：方案一：购买12杯A款奶茶，7杯B款奶茶；方案二：购买4杯A款奶茶，14杯B款奶茶；
任务3：7杯
【知识点】
二元一次方程组应用、二元一次方程正整数解、方案设计
【点评】
本题以购买奶茶的生活场景为载体，题目设置层层递进，既考查了列方程（组）解决实际问题的基础能力，也考查了结合正整数限制筛选合理方案的逻辑思维能力，解题时需注意“两种奶茶都要买”“四类奶茶都存在”等隐含条件，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.65
1. 任务1思路：要计算A、B两款奶茶的单价，已知两种购买组合的总花费，属于二元一次方程组应用问题。分别设A、B款单价为x元、y元，根据素材1的两个等量关系列方程组求解即可。
2. 任务2思路：已知不加料总花费280元，且两种奶茶都要买，设购买A款a杯、B款b杯，根据总费用列二元一次方程，整理为用一个变量表示另一个的形式，结合a、b是正整数的限制筛选出所有符合条件的解，每组解对应一种购买方案。
3. 任务3思路：共有A不加料、A加料、B不加料、B加料4种奶茶，已知A不加料杯数是总杯数的$\frac{1}{3}$，设总杯数为3m，则A不加料有m杯，剩余三类共2m杯；再设A加料和B不加料共n杯，则B加料有$(2m-n)$杯，根据总费用列方程，结合各类杯数均为正整数的限制求解即可。
【解析】
任务1
设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元，根据题意列方程组：
$\begin{cases}2x+3y=76 \\4x+7y=168 \end{cases}$
将第一个方程乘2得$4x+6y=152$，用第二个方程减该式得$y=16$，把$y=16$代入$2x+3y=76$，解得$x=14$。
任务2
设购买a杯A款奶茶，b杯B款奶茶，根据题意得：
$14a+16b=280$，整理得$a=20-\frac{8}{7}b$。
∵a、b均为正整数，
∴b是7的正整数倍，且$20-\frac{8}{7}b＞0$，解得$b＜17.5$。
当$b=7$时，$a=12$；当$b=14$时，$a=4$。
任务3
设A款不加料有m杯，总杯数为$3m$，A加料、B不加料共n杯，则B加料有$(2m-n)$杯，根据总费用列方程：
$14m +16n +18(2m-n)=336$，化简得$n=25m-168$。
结合m、n、$2m-n$均为正整数，解得$m=7$，$n=7$，因此B加料杯数为$2×7-7=7$杯。
【答案】
任务1：A款奶茶销售单价为14元，B款奶茶销售单价为16元；
任务2：共2种购买方案：方案一：购买12杯A款奶茶，7杯B款奶茶；方案二：购买4杯A款奶茶，14杯B款奶茶；
任务3：7杯
【知识点】
二元一次方程组应用、二元一次方程正整数解、方案设计
【点评】
本题以购买奶茶的生活场景为载体，题目设置层层递进，既考查了列方程（组）解决实际问题的基础能力，也考查了结合正整数限制筛选合理方案的逻辑思维能力，解题时需注意“两种奶茶都要买”“四类奶茶都存在”等隐含条件，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.65
