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19.如图,已知点$A(-4,-1),B(-5,-4),C(-1,-3)$,三角形$A'B'C'$是三角形ABC经过平移得到的,三角形ABC中任意一点$P(x_1,y_1)$平移后的对应点为$P'(x_1+6,y_1+4)$.
(1)请写出三角形ABC平移的过程；
(2)分别写出点$A',B',C'$的坐标；
(3)求三角形$A'B'C'$的面积.
(1)请写出三角形ABC平移的过程；
(2)分别写出点$A',B',C'$的坐标；
(3)求三角形$A'B'C'$的面积.
答案
19. 解: (1)先将三角形 ABC 向右平移 6 个单位长度, 再向上平移 4 个单位长度, 即得三角形 $A'B'C'$(答案不唯一).
(2) $A'(2,3),B'(1,0),C'(5,1).$
(3) $S_{\mathrm{三角形}A'B'C'}=3×4-\frac{1}{2}×1×3-\frac{1}{2}×3×2-\frac{1}{2}×1×4=\frac{11}{2}.$
(2) $A'(2,3),B'(1,0),C'(5,1).$
(3) $S_{\mathrm{三角形}A'B'C'}=3×4-\frac{1}{2}×1×3-\frac{1}{2}×3×2-\frac{1}{2}×1×4=\frac{11}{2}.$
解析
【分析】
(1) 首先观察平移前后点的坐标变化规律：横坐标加6，说明沿x轴正方向（向右）平移6个单位长度；纵坐标加4，说明沿y轴正方向（向上）平移4个单位长度，两种平移的先后顺序不影响最终结果。
(2) 求平移后点的坐标，直接将各点的横坐标加6、纵坐标加4，计算即可得到对应点$A'$、$B'$、$C'$的坐标。
(3) 平移不改变图形的形状和大小，因此$△ A'B'C'$的面积和$△ ABC$的面积相等。我们可以用割补法：先找到包围$△ ABC$的最小矩形，计算矩形的面积，再减去矩形内$△ ABC$周围三个直角三角形的面积，即可得到三角形的面积。
【解析】
(1) 平移过程：先将$△ ABC$向右平移6个单位长度，再向上平移4个单位长度得到$△ A'B'C'$（或先向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度）。
(2) 根据平移规则$P(x_1,y_1)\to P'(x_1+6,y_1+4)$：
点$A(-4,-1)$平移后：横坐标$-4+6=2$，纵坐标$-1+4=3$，即$A'(2,3)$；
点$B(-5,-4)$平移后：横坐标$-5+6=1$，纵坐标$-4+4=0$，即$B'(1,0)$；
点$C(-1,-3)$平移后：横坐标$-1+6=5$，纵坐标$-3+4=1$，即$C'(5,1)$。
(3)
∵平移不改变图形的面积，
∴$S_{△ A'B'C'}=S_{△ ABC}$。
用割补法计算：
包围$△ ABC$的矩形长为4，宽为3，矩形面积$=3×4=12$；
减去周围三个直角三角形的面积：
第一个三角形面积：$\frac{1}{2}×1×3=\frac{3}{2}$，第二个三角形面积：$\frac{1}{2}×3×2=3$，第三个三角形面积：$\frac{1}{2}×1×4=2$；
∴$S_{△ A'B'C'}=12-\frac{3}{2}-3-2=\frac{11}{2}$。
【答案】
(1) 先将三角形ABC向右平移6个单位长度，再向上平移4个单位长度得到三角形$A'B'C'$（答案不唯一）；
(2) $A'(2,3)$，$B'(1,0)$，$C'(5,1)$；
(3) $\frac{11}{2}$
【知识点】
平移的坐标变化规律，割补法求面积，平移的性质
【点评】
本题属于基础综合题，考查了平移的相关性质和平面直角坐标系中图形面积的计算方法，熟练掌握平移时坐标“左减右加，上加下减”的变化规律，以及割补法求不规则图形面积的技巧是解题的关键。
【难度系数】
0.7
(1) 首先观察平移前后点的坐标变化规律：横坐标加6，说明沿x轴正方向（向右）平移6个单位长度；纵坐标加4，说明沿y轴正方向（向上）平移4个单位长度，两种平移的先后顺序不影响最终结果。
(2) 求平移后点的坐标，直接将各点的横坐标加6、纵坐标加4，计算即可得到对应点$A'$、$B'$、$C'$的坐标。
(3) 平移不改变图形的形状和大小，因此$△ A'B'C'$的面积和$△ ABC$的面积相等。我们可以用割补法：先找到包围$△ ABC$的最小矩形，计算矩形的面积，再减去矩形内$△ ABC$周围三个直角三角形的面积，即可得到三角形的面积。
【解析】
(1) 平移过程：先将$△ ABC$向右平移6个单位长度，再向上平移4个单位长度得到$△ A'B'C'$（或先向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度）。
(2) 根据平移规则$P(x_1,y_1)\to P'(x_1+6,y_1+4)$：
点$A(-4,-1)$平移后：横坐标$-4+6=2$，纵坐标$-1+4=3$，即$A'(2,3)$；
点$B(-5,-4)$平移后：横坐标$-5+6=1$，纵坐标$-4+4=0$，即$B'(1,0)$；
点$C(-1,-3)$平移后：横坐标$-1+6=5$，纵坐标$-3+4=1$，即$C'(5,1)$。
(3)
∵平移不改变图形的面积，
∴$S_{△ A'B'C'}=S_{△ ABC}$。
用割补法计算：
包围$△ ABC$的矩形长为4，宽为3，矩形面积$=3×4=12$；
减去周围三个直角三角形的面积：
第一个三角形面积：$\frac{1}{2}×1×3=\frac{3}{2}$，第二个三角形面积：$\frac{1}{2}×3×2=3$，第三个三角形面积：$\frac{1}{2}×1×4=2$；
∴$S_{△ A'B'C'}=12-\frac{3}{2}-3-2=\frac{11}{2}$。
【答案】
(1) 先将三角形ABC向右平移6个单位长度，再向上平移4个单位长度得到三角形$A'B'C'$（答案不唯一）；
(2) $A'(2,3)$，$B'(1,0)$，$C'(5,1)$；
(3) $\frac{11}{2}$
【知识点】
平移的坐标变化规律，割补法求面积，平移的性质
【点评】
本题属于基础综合题，考查了平移的相关性质和平面直角坐标系中图形面积的计算方法，熟练掌握平移时坐标“左减右加，上加下减”的变化规律，以及割补法求不规则图形面积的技巧是解题的关键。
【难度系数】
0.7
20. 如图①,已知直线 $ l_1 // l_2 $,点A,B在直线$ l_1 $上,点C,D在$ l_2 $上,线段AD交线段BC于点E,且$ ∠ BED = 60° $.
(1)求证:$ ∠ ABE + ∠ EDC = 60° $.
(2)如图②,当F,G分别在线段AE,EC上,且$ ∠ ABF = 2∠ FBE $,$ ∠ EDG = 2∠ GDC $,标记$ ∠ BFE $为$ ∠ 1 $,$ ∠ BGD $为$ ∠ 2 $.
①若$ ∠ 1 - ∠ 2 = 16° $,求$ ∠ ADC $的度数;
②当$ k = $
(1)求证:$ ∠ ABE + ∠ EDC = 60° $.
(2)如图②,当F,G分别在线段AE,EC上,且$ ∠ ABF = 2∠ FBE $,$ ∠ EDG = 2∠ GDC $,标记$ ∠ BFE $为$ ∠ 1 $,$ ∠ BGD $为$ ∠ 2 $.
①若$ ∠ 1 - ∠ 2 = 16° $,求$ ∠ ADC $的度数;
②当$ k = $
2
时,$ k∠ 1 + ∠ 2 $为定值,此时定值为140°
.答案
20. (1)证明: 过点 E 向右作 $EF// l_1$,$\because l_1// l_2$,
$\therefore l_1// l_2// EF. \therefore ∠EDC = ∠FED,$
$∠ABE = ∠BEF. \because ∠BED = ∠BEF + ∠FED,$
$∠BED = 60°, \therefore ∠ABE + ∠EDC = 60°.$
(2) 解: ① $\because ∠ABF = 2∠FBE, ∠EDG = 2∠GDC, \therefore$ 设 $∠FBE = x, ∠GDC = y$, 则$∠ABF = 2x, ∠EDG = 2y. \therefore ∠ABE = 3x,$
$∠EDC = 3y.$ 由 (1) 知 $∠ABE + ∠EDC = 60°, \therefore 3x + 3y = 60°. \therefore x + y = 20°.$ 同 (1) 中作辅助线的方法, 易得 $∠1 = ∠ABF + ∠FDC = 2x + 3y, ∠2 = ∠ABE + ∠CDG = 3x + y. \therefore ∠1 - ∠2 = 2y - x = 16°. \therefore ∠ADC = 3y = (x + y) + (2y - x) = 36°.$
② 2 140° 点拨: 由①知 $x + y = 20°, \therefore y = 20° - x. \because ∠1 = 2x + 3y = 2x + 3(20° - x) = 60° - x, ∠2 = 3x + y = 3x + (20° - x) = 20° + 2x, \therefore k∠1 + ∠2 = k(60° - x) + 20° + 2x = (2 - k)x + 60°k + 20°. \because k∠1 + ∠2$ 为定值, $\therefore 2 - k = 0, \therefore k = 2. \therefore$ 此时 $k∠1 + ∠2 = 60°×2 + 20° = 140°.$
$\therefore l_1// l_2// EF. \therefore ∠EDC = ∠FED,$
$∠ABE = ∠BEF. \because ∠BED = ∠BEF + ∠FED,$
$∠BED = 60°, \therefore ∠ABE + ∠EDC = 60°.$
(2) 解: ① $\because ∠ABF = 2∠FBE, ∠EDG = 2∠GDC, \therefore$ 设 $∠FBE = x, ∠GDC = y$, 则$∠ABF = 2x, ∠EDG = 2y. \therefore ∠ABE = 3x,$
$∠EDC = 3y.$ 由 (1) 知 $∠ABE + ∠EDC = 60°, \therefore 3x + 3y = 60°. \therefore x + y = 20°.$ 同 (1) 中作辅助线的方法, 易得 $∠1 = ∠ABF + ∠FDC = 2x + 3y, ∠2 = ∠ABE + ∠CDG = 3x + y. \therefore ∠1 - ∠2 = 2y - x = 16°. \therefore ∠ADC = 3y = (x + y) + (2y - x) = 36°.$
② 2 140° 点拨: 由①知 $x + y = 20°, \therefore y = 20° - x. \because ∠1 = 2x + 3y = 2x + 3(20° - x) = 60° - x, ∠2 = 3x + y = 3x + (20° - x) = 20° + 2x, \therefore k∠1 + ∠2 = k(60° - x) + 20° + 2x = (2 - k)x + 60°k + 20°. \because k∠1 + ∠2$ 为定值, $\therefore 2 - k = 0, \therefore k = 2. \therefore$ 此时 $k∠1 + ∠2 = 60°×2 + 20° = 140°.$
解析
【分析】
(1) 要证明∠ABE + ∠EDC = 60°，已知$l_1//l_2$、∠BED=60°，可过点E作平行于$l_1、l_2$的辅助线，利用平行线内错角相等的性质，将∠ABE和∠EDC分别转化为∠BEF和∠FED，二者的和恰好为∠BED，即可得证。
(2) ① 已知角的倍数关系，可设参数表示各角：设∠FBE=x、∠GDC=y，则∠ABF=2x、∠EDG=2y，结合(1)的结论可得$x+y=20°$。再用与(1)相同的辅助线方法，将∠1、∠2用x、y表示，结合∠1-∠2=16°的条件联立，即可求出y的值，进而得到∠ADC的度数。
② 要使$k∠1+∠2$为定值，说明式子中含参数的项系数为0。将∠1、∠2用同一参数x表示，整理$k∠1+∠2$的代数式，令x的系数为0即可求出k，代入计算得到定值。
【解析】
(1) 证明：过点E向右作$EF// l_1$，
$\because l_1// l_2$，
$\therefore l_1// l_2// EF$，
$\therefore ∠EDC = ∠FED$（两直线平行，内错角相等），$∠ABE = ∠BEF$（两直线平行，内错角相等）。
$\because ∠BED = ∠BEF + ∠FED$，且$∠BED = 60°$，
$\therefore ∠ABE + ∠EDC = 60°$。
(2) ① 解：$\because ∠ABF = 2∠FBE$，$∠EDG = 2∠GDC$，
设$∠FBE = x$，$∠GDC = y$，则$∠ABF = 2x$，$∠EDG = 2y$，
$\therefore ∠ABE = 3x$，$∠EDC = 3y$。
由(1)的结论可知$∠ABE + ∠EDC = 60°$，
$\therefore 3x + 3y = 60°$，化简得$x + y = 20°$。
同(1)的辅助线方法，易得：
$∠1 = ∠ABF + ∠EDC = 2x + 3y$，
$∠2 = ∠ABE + ∠GDC = 3x + y$，
已知$∠1 - ∠2 = 16°$，代入得：
$(2x + 3y) - (3x + y) = 16°$，即$2y - x = 16°$。
联立$\begin{cases}x + y = 20° \\2y - x = 16° \end{cases}$，两式相加得$3y=36°$，
$\because ∠ADC = ∠EDC = 3y$，
$\therefore ∠ADC = 36°$。
② 解：由①知$x + y = 20°$，则$y = 20° - x$，
代入∠1和∠2的表达式：
$∠1 = 2x + 3y = 2x + 3(20° - x) = 60° - x$，
$∠2 = 3x + y = 3x + (20° - x) = 20° + 2x$，
则$k∠1 + ∠2 = k(60° - x) + 20° + 2x = (2 - k)x + 60°k + 20°$。
要使$k∠1 + ∠2$为定值，即式子的值与x无关，因此x的系数为0：
$2 - k = 0$，解得$k=2$。
将$k=2$代入得定值$= 60°×2 + 20° = 140°$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) ① $\boldsymbol{36°}$；② $\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{140°}$
【知识点】
平行线的性质；角的和差计算；代数式定值
【点评】
本题综合考查了平行线性质的应用，作辅助线构造内错角转化角度是解题的突破口，第二问通过设参数表示角度，结合方程思想和代数式定值的性质求解，有效考查了逻辑推理能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明∠ABE + ∠EDC = 60°，已知$l_1//l_2$、∠BED=60°，可过点E作平行于$l_1、l_2$的辅助线，利用平行线内错角相等的性质，将∠ABE和∠EDC分别转化为∠BEF和∠FED，二者的和恰好为∠BED，即可得证。
(2) ① 已知角的倍数关系，可设参数表示各角：设∠FBE=x、∠GDC=y，则∠ABF=2x、∠EDG=2y，结合(1)的结论可得$x+y=20°$。再用与(1)相同的辅助线方法，将∠1、∠2用x、y表示，结合∠1-∠2=16°的条件联立，即可求出y的值，进而得到∠ADC的度数。
② 要使$k∠1+∠2$为定值，说明式子中含参数的项系数为0。将∠1、∠2用同一参数x表示，整理$k∠1+∠2$的代数式，令x的系数为0即可求出k，代入计算得到定值。
【解析】
(1) 证明：过点E向右作$EF// l_1$，
$\because l_1// l_2$，
$\therefore l_1// l_2// EF$，
$\therefore ∠EDC = ∠FED$（两直线平行，内错角相等），$∠ABE = ∠BEF$（两直线平行，内错角相等）。
$\because ∠BED = ∠BEF + ∠FED$，且$∠BED = 60°$，
$\therefore ∠ABE + ∠EDC = 60°$。
(2) ① 解：$\because ∠ABF = 2∠FBE$，$∠EDG = 2∠GDC$，
设$∠FBE = x$，$∠GDC = y$，则$∠ABF = 2x$，$∠EDG = 2y$，
$\therefore ∠ABE = 3x$，$∠EDC = 3y$。
由(1)的结论可知$∠ABE + ∠EDC = 60°$，
$\therefore 3x + 3y = 60°$，化简得$x + y = 20°$。
同(1)的辅助线方法，易得：
$∠1 = ∠ABF + ∠EDC = 2x + 3y$，
$∠2 = ∠ABE + ∠GDC = 3x + y$，
已知$∠1 - ∠2 = 16°$，代入得：
$(2x + 3y) - (3x + y) = 16°$，即$2y - x = 16°$。
联立$\begin{cases}x + y = 20° \\2y - x = 16° \end{cases}$，两式相加得$3y=36°$，
$\because ∠ADC = ∠EDC = 3y$，
$\therefore ∠ADC = 36°$。
② 解：由①知$x + y = 20°$，则$y = 20° - x$，
代入∠1和∠2的表达式：
$∠1 = 2x + 3y = 2x + 3(20° - x) = 60° - x$，
$∠2 = 3x + y = 3x + (20° - x) = 20° + 2x$，
则$k∠1 + ∠2 = k(60° - x) + 20° + 2x = (2 - k)x + 60°k + 20°$。
要使$k∠1 + ∠2$为定值，即式子的值与x无关，因此x的系数为0：
$2 - k = 0$，解得$k=2$。
将$k=2$代入得定值$= 60°×2 + 20° = 140°$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) ① $\boldsymbol{36°}$；② $\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{140°}$
【知识点】
平行线的性质；角的和差计算；代数式定值
【点评】
本题综合考查了平行线性质的应用，作辅助线构造内错角转化角度是解题的突破口，第二问通过设参数表示角度，结合方程思想和代数式定值的性质求解，有效考查了逻辑推理能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.6
