10.如图,已知直线$AB// CD$,点F为直线AB上一点,G为射线BD上一点.若$∠ HDG:∠ CDH=2:1$,$∠ GBE:∠ EBF=2:1$,HD交BE于点E,则$∠ E$的度数为 ()

A.$45°$
B.$55°$
C.$60°$
D.$75°$

10.C 点拨:
∵$AB// CD, \therefore ∠ABG = ∠CDG.$
$\because ∠ABG + ∠GBF = 180°, \therefore ∠CDG + ∠GBF = 180°. \because ∠HDG : ∠CDH = 2 : 1,$
$∠GBE : ∠EBF = 2 : 1, \therefore ∠HDC + ∠FBE=\frac{1}{3}∠CDG+\frac{1}{3}∠GBF=\frac{1}{3}(∠CDG+∠GBF)=\frac{1}{3}×180°=60°.$ 过点 E 向左作$EM// AB. \because AB// CD, \therefore EM// CD// AB.$
$\therefore ∠DEM=∠HDC, ∠BEM = ∠FBE.$
$\therefore ∠BED = ∠DEM + ∠BEM = ∠HDC + ∠FBE = 60°.$ 故选 C.

【分析】
解题时首先根据已知AB//CD，利用平行线的同位角相等性质得到∠ABG=∠CDG，再结合邻补角和为180°，推导得到∠CDG与∠GBF的和为180°；接下来根据给出的两组角的比例关系，可得出∠CDH是∠CDG的1/3，∠EBF是∠GBF的1/3，进而算出这两个角的和为60°；最后要求的∠E属于平行线间的拐点角，采用拐点问题的常用解法：过E作平行于AB的辅助线，利用平行线的传递性得到辅助线同时平行于CD，再通过内错角相等将∠E拆分为∠CDH和∠EBF的和，即可求出∠E的度数。
【解析】
∵$AB// CD$，
∴$∠ABG = ∠CDG$（两直线平行，同位角相等）。
∵$∠ABG + ∠GBF = 180°$（邻补角的定义），
∴$∠CDG + ∠GBF = 180°$。
∵$∠ HDG:∠ CDH=2:1$，
∴$∠CDH=\frac{1}{3}∠CDG$；
∵$∠ GBE:∠ EBF=2:1$，
∴$∠EBF=\frac{1}{3}∠GBF$。
∴$∠CDH + ∠EBF=\frac{1}{3}∠CDG+\frac{1}{3}∠GBF=\frac{1}{3}(∠CDG+∠GBF)=\frac{1}{3}×180°=60°$。
过点E向左作$EM// AB$，
∵$AB// CD$，
∴$EM// CD// AB$（平行于同一直线的两条直线互相平行），
∴$∠DEM=∠CDH$（两直线平行，内错角相等），$∠BEM = ∠FBE$（两直线平行，内错角相等），
∴$∠BED = ∠DEM + ∠BEM = ∠HDC + ∠FBE = 60°$。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质，邻补角的定义，角的和差计算
【点评】
本题是平行线角度计算的典型题型，核心考查平行线的性质应用，解题的关键是掌握平行线间拐点问题的辅助线构造方法，结合角的比例关系和邻补角性质完成角度推导，能很好地考查学生对平行线相关知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6

11. 不等式$-3x + 1 ＞ -8$的正整数解是

11.1,2

【分析】
要解决这个问题，首先需要按照一元一次不等式的求解步骤求出不等式的解集，再从解集中筛选出符合要求的正整数即可。解题时要特别注意，当不等式两边同时除以负数时，不等号的方向需要改变。
【解析】
解不等式$-3x + 1 ＞ -8$：
1. 移项，将常数项移到不等号右侧，得：$-3x ＞ -8 - 1$
2. 合并同类项，计算右侧结果，得：$-3x ＞ -9$
3. 系数化为1，两边同时除以$-3$，此时不等号方向改变，得：$x ＜ 3$
小于3的正整数为1、2，因此该不等式的正整数解是1和2。
【答案】
1,2
【知识点】
一元一次不等式的解法；不等式的特殊解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元一次不等式的求解步骤及特殊解的筛选，解题的易错点是系数化为1时忽略负数系数需要改变不等号方向，做题时需留心这一规则。
【难度系数】
0.8

12.某次测验后，60～70分这组人数占全班总人数的20％.若全班有45人，则该组的频数为.

12.9

【分析】
要解决这道题，首先需要明确频数、频率和总数量三者的关系：频率=频数÷总数量，变形可得频数=总数量×频率。题目中已经给出全班总人数（即总数量）是45人，60～70分这组的人数占比就是该组的频率，为20%，直接代入变形后的公式计算即可得到该组的频数。
【解析】
已知全班总人数为45人，60～70分这组的频率为20%，根据频数的计算公式：
频数 = 总人数 × 对应组的频率
代入数据得：
该组频数 = 45 × 20% = 45 × 0.2 = 9
【答案】
9
【知识点】
频数与频率的关系；百分比计算
【点评】
本题属于统计类基础题目，核心考查对频数、频率概念的理解，以及三者数量关系的应用，计算量小，只要掌握对应公式，计算时细心就能得分。
【难度系数】
0.9

13.如图，三角形ABC沿BC方向平移后的图形为三角形DEF.已知BC=5，EC=2，则平移的距离是.

13.3

【分析】
首先明确平移距离的定义：平移的距离是平移前后一组对应点之间的线段长度。本题中三角形ABC沿BC方向平移得到三角形DEF，点B的对应点是点E，因此平移距离就是线段BE的长度。接下来结合已知的BC和EC的长度，利用线段的和差关系计算BE的长度即可。
【解析】
根据平移的性质可知，平移的距离为平移前后对应点连线的长度。
∵ 三角形ABC沿BC方向平移得到三角形DEF，点B的对应点为点E，
∴ 平移的距离等于线段BE的长度。
又
∵ BC=5，EC=2，
∴ BE = BC - EC = 5 - 2 = 3，
即平移的距离是3。
【答案】
3
【知识点】
平移的性质；线段的和差计算
【点评】
本题是基础类题型，重点考查对平移距离概念的理解，只要掌握平移的基本性质，结合线段的和差关系就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9

14.已知$m,n$为两个连续的整数，且$m＜\sqrt{21}＜n$，则$m+n=$.

14.9

【分析】
要计算m+n的值，首先需要确定m、n的取值。我们可以通过估算√21的大小来找到符合条件的连续整数m、n：先找到与21相邻的两个正的完全平方数，再根据算术平方根的性质比较大小，就能确定√21介于哪两个连续整数之间，从而得到m和n的值，最后求和即可。
【解析】
解：
∵16 ＜ 21 ＜ 25，
∴对三个数同时取算术平方根可得：$\sqrt{16} ＜ \sqrt{21} ＜ \sqrt{25}$，
即$4 ＜ \sqrt{21} ＜ 5$，
又
∵m、n是连续的整数，且$m ＜ \sqrt{21} ＜ n$，
∴$m=4$，$n=5$，
∴$m+n=4+5=9$。
【答案】
9
【知识点】
1. 无理数的估算
2. 算术平方根的性质
3. 有理数的加法
【点评】
本题核心考查无理数的估算能力，解题的关键是熟练掌握常见完全平方数，通过被开方数的大小关系推导对应算术平方根的范围，属于基础类题型，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8

15.如图，AB//CD，EF平分∠BED，∠DEF + ∠D = 66°，∠B - ∠D = 28°，则∠BED=°。

15. 80 点拨: 过点 E 向右作 $EM// AB$, 则$∠B=∠BEM. \because AB// CD, \therefore EM// CD.$
$\therefore ∠DEM = ∠D. \therefore ∠BED = ∠BEM + ∠DEM = ∠B + ∠D. \because EF$ 平分 $∠BED,$
$\therefore ∠DEF = \frac{1}{2}∠BED. \because ∠DEF + ∠D = 66°, \therefore \frac{1}{2}∠BED + ∠D = 66°$, 即 $\frac{1}{2}(∠B + ∠D) + ∠D = 66°. \therefore ∠B + 3∠D = 132°①.$
$\because ∠B - ∠D = 28°②, \therefore ① + ②$ 得 $2∠B + 2∠D = 160°$, 即 $∠B + ∠D = 80°. \therefore ∠BED = 80°.$

【分析】
遇到平行线间存在拐点的几何题，首先考虑过拐点作已知平行线的辅助线，利用平行线的性质转化角的关系。本题首先过点E作平行于AB的辅助线，可证得∠BED=∠B+∠D；再结合EF平分∠BED的条件，将∠DEF转化为$\frac{1}{2}$∠BED，代入∠DEF+∠D=66°的条件，就能得到关于∠B和∠D的第一个方程，再结合已知的∠B-∠D=28°，联立两个方程即可求出∠B+∠D的值，也就是∠BED的度数。
【解析】
解：过点E向右作$EM// AB$，
$\because AB// CD$，$\therefore EM// CD$，
根据两直线平行，内错角相等，可得$∠ B=∠ BEM$，$∠ DEM=∠ D$，
$\therefore ∠ BED = ∠ BEM + ∠ DEM = ∠ B + ∠ D$。
$\because EF$平分$∠ BED$，$\therefore ∠ DEF = \frac{1}{2}∠ BED$，
已知$∠ DEF + ∠ D = 66°$，代入得：
$\frac{1}{2}∠ BED + ∠ D = 66°$，
把$∠ BED$替换为$∠ B+∠ D$，可得：
$\frac{1}{2}(∠ B + ∠ D) + ∠ D = 66°$，
整理得：$∠ B + 3∠ D = 132°$ ①，
又已知$∠ B - ∠ D = 28°$ ②，
①+②得：$2∠ B + 2∠ D = 160°$，
两边同除以2得：$∠ B + ∠ D = 80°$，
$\therefore ∠ BED=∠ B + ∠ D = 80°$。
【答案】
80
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，角度和差计算
【点评】
本题是平行线与角平分线结合的常见题型，解题的核心是掌握平行线间拐点问题的辅助线作法，通过作平行线实现角的转化，再结合方程思想联立已知条件求解，对几何逻辑推导能力有一定考查。
【难度系数】
0.6

16.当实数$m,n$满足$m+3n=1$时,称点$P(m,n)$为“创新点”,若以关于$x,y$的方程组$\begin{cases}2x+3y=4,\\2x-3y=4a\end{cases}$的解为坐标的点$Q(x,y)$为“创新点”,则$a$的值为 ______ .

16. 2 点拨: $\begin{cases}2x+3y=4①,\\2x-3y=4a②,\end{cases}$ ① + ②, 可得$4x=4+4a$, 解得 $x=a+1$, 把 $x=a+1$ 代入①, 可得 $2(a+1)+3y=4$, 解得 $y=\frac{2}{3}-\frac{2}{3}a$,$\therefore$ 原方程组的解是 $\begin{cases}x=a+1,\\y=\frac{2}{3}-\frac{2}{3}a.\end{cases}$ $\because$ 关于 $x,y$ 的方程组 $\begin{cases}2x+3y=4,\\2x-3y=4a\end{cases}$ 的解为坐标的点 $Q(x,y)$ 为“创新点”, $\therefore x+3y=1.$
$\therefore a+1+3(\frac{2}{3}-\frac{2}{3}a)=1. \therefore a+1+2-2a=1$, 解得 $a=2.$

【分析】
解题首先要明确“创新点”的定义：若点是创新点，则点的横坐标加3倍纵坐标等于1。本题第一步需要用加减消元法求解给出的二元一次方程组，用含a的代数式表示出点Q的横、纵坐标；第二步根据“创新点”满足的等量关系，列出关于a的一元一次方程；最后解一元一次方程即可求出a的值。
【解析】
解方程组$\begin{cases}2x+3y=4①\\2x-3y=4a②\end{cases}$，
①+②，得$4x=4+4a$，解得$x=a+1$，
把$x=a+1$代入①，得$2(a+1)+3y=4$，
解得$y=\frac{2}{3}-\frac{2}{3}a$，
所以方程组的解为$\begin{cases}x=a+1\\y=\frac{2}{3}-\frac{2}{3}a\end{cases}$，
因为点$Q(x,y)$是“创新点”，所以满足$x+3y=1$，
将x、y代入等式得：$a+1+3×(\frac{2}{3}-\frac{2}{3}a)=1$，
化简得$a+1+2-2a=1$，
解得$a=2$。
【答案】
2
【知识点】
二元一次方程组求解；新定义问题；一元一次方程求解
【点评】
本题结合新定义考查方程的求解能力，解题关键是正确理解新定义的规则，将陌生的新定义问题转化为熟悉的方程求解问题，计算时要注意消元法的正确使用和代入计算时的符号问题。
【难度系数】
0.7

17.已知点$A(2+a,-3a-4)$，解答下列各题：
(1)若点A在y轴上，求出点A的坐标；
(2)若点B的坐标为$(8,5)$，且$AB// x$轴，求出点A的坐标。

17. 解: (1) $\because$ 点 A 在 y 轴上, $\therefore 2+a=0.$
$\therefore a=-2. \therefore -3a-4=2. \therefore$ 点 A 的坐标为 $(0,2).$
(2) $\because$ 点 B 的坐标为 $(8,5)$, 且 $AB// x$ 轴,
$\therefore -3a-4=5. \therefore a=-3. \therefore 2+a=-1.$
$\therefore$ 点 A 的坐标为 $(-1,5).$

【分析】
(1) 求解点A在y轴上的坐标时，首先回忆y轴上点的坐标特征：y轴上所有点的横坐标都为0，因此先令点A的横坐标等于0求出a的值，再将a代入纵坐标的表达式计算，即可得到点A的坐标。
(2) 求解AB平行x轴时点A的坐标时，回忆平行于x轴的直线的坐标特征：平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相等，因此令点A的纵坐标等于点B的纵坐标求出a的值，再代入横坐标表达式计算，即可得到点A的坐标。
【解析】
(1) $\because$ 点A在y轴上，y轴上点的横坐标为0，
$\therefore 2+a=0$，
解得$a=-2$，
将$a=-2$代入纵坐标表达式得：$-3a-4=-3×(-2)-4=2$，
$\therefore$ 点A的坐标为$(0,2)$。
(2) $\because AB// x$轴，平行于x轴的直线上所有点纵坐标相等，点B坐标为$(8,5)$，
$\therefore -3a-4=5$，
解得$a=-3$，
将$a=-3$代入横坐标表达式得：$2+a=2+(-3)=-1$，
$\therefore$ 点A的坐标为$(-1,5)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(0,2)}$；(2) $\boldsymbol{(-1,5)}$
【知识点】
y轴上点的坐标特征、平行于x轴的点的坐标特征、一元一次方程的解法
【点评】
本题属于平面直角坐标系的基础题型，核心考查特殊位置点的坐标规律的应用，牢记不同特殊位置下点的横、纵坐标的特征，注意计算时的符号问题即可快速解题。
【难度系数】
0.8

18.下面是小明解不等式$\frac{x+5}{2}-1＜\frac{3x+2}{2}$的过程：
解：去分母，得$x+5-1＜3x+2$. ……
…………………………第一步
移项、合并同类项，得$-2x＜-2$. ……
…………………………第二步
系数化为1，得$x＞1$. …………第三步
(1)小明是从第步开始出错的，错误的原因是；
(2)第三步“系数化为1”的依据是；
(3)请你给出正确的解答过程，并把此不等式的解集在数轴上表示出来.

18. 解: (1)一 -1 漏乘了 2
(2)不等式的性质 3
(3) 正确的解答过程如下: $\frac{x+5}{2}-1 ＜ \frac{3x+2}{2}$,$\therefore x+5-2＜3x+2. \therefore x-3x＜2+2-5. \therefore -2x＜-1. \therefore x＞\frac{1}{2}.$ 该不等式的解集在数轴上表示如图所示.

【分析】
本题围绕一元一次不等式的求解展开，解题思路如下：①判断错误步骤：回忆去分母的运算规则，给不等式所有项同乘分母最小公倍数时，不能漏乘不含分母的项，据此排查小明的解题步骤即可找到出错处；②回忆不等式的性质，明确系数化为1时，除以负数不等号方向改变对应的性质；③按照解一元一次不等式的规范步骤求解，再根据“大于向右、小于向左，空心不含等号、实心含等号”的规则在数轴上表示解集即可。
【解析】
(1) 去分母时，需要给不等式左右两边的每一项都乘公分母2，小明解题时左边的常数项-1没有乘2，因此是从第一步开始出错的，错误原因是-1漏乘了2。
(2) 第三步中，不等式两边同时除以负数-2，不等号方向发生改变，对应的依据是不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
(3) 按规范步骤解不等式：
第一步去分母，给所有项同乘2得$x+5-2＜3x+2$；
第二步移项，将含x的项移到左边，常数项移到右边得$x-3x＜2+2-5$；
第三步合并同类项得$-2x＜-1$；
第四步系数化为1，两边同除以-2，不等号方向改变，得$x＞\frac{1}{2}$。
解集在数轴上表示为在$\frac{1}{2}$位置画空心圆圈，向右画延伸的射线，和题图一致。
【答案】
(1) 一；-1漏乘了2
(2) 不等式的性质3
(3) 正确解答过程：$\frac{x+5}{2}-1 ＜ \frac{3x+2}{2}$,$\therefore x+5-2＜3x+2. \therefore x-3x＜2+2-5. \therefore -2x＜-1. \therefore x＞\frac{1}{2}.$ 该不等式的解集在数轴上表示如图所示.
【知识点】
一元一次不等式的解法；不等式的性质；不等式解集的数轴表示
【点评】
本题是不等式部分的基础常考题，重点考查解一元一次不等式的易错点：去分母时不要漏乘不含分母的常数项，系数化为1时要注意不等号方向是否需要改变，掌握运算规则和不等式的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7