1.(2024·广东)综合与实践
【主题】滤纸与漏斗
【素材】如图①是一张直径为10 cm的圆形滤纸和一只漏斗口直径与母线均为7 cm的圆锥形过滤漏斗.

【实践操作】步骤1:取一张滤纸；
步骤2:按如图②所示步骤折叠好滤纸；
步骤3:将其中一层撑开,围成圆锥形；
步骤4:将围成圆锥形的滤纸放入如图①所示的漏斗中.
【实践探索】(1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁(忽略漏斗管口处)? 用你所学的数学知识说明；
(2)当滤纸紧贴漏斗内壁时,求滤纸围成的圆锥形的体积.(结果保留π)

解：​$(1)$​滤纸能紧贴此漏斗内壁，理由：如答图，作出示意图，由题意知，​$AB = AC = BC = 7\ \mathrm {cm}，$​折叠后​$CD = CE=\frac {1}{2}×10 = 5(\mathrm {cm})。$​ ∵底面周长为​$\frac {1}{2}×10\pi = 5\pi (\mathrm {cm})，$​ ∴​$DE·\pi = 5\pi\mathrm {cm} ，$​ ∴​$DE = 5\ \mathrm {cm}，$
​∴​$DE = CD = CE，$​ ∴​$∠DCE = 60°=∠ACB，$​ ∴滤纸能紧贴此漏斗内壁。​$ (2)$​由​$(1)$​知​$CD = DE = CE = 5\ \mathrm {cm}，$​∴​$∠CDE = 60°，$​如图，过点​$C$​作​$CF\perp DE$​于点​$F，$​​$ $​则​$DF=\frac {1}{2}DE=\frac {5}{2}\mathrm {cm}。$​​$ $​在​$Rt\triangle CDF_{中}，$​​$CF = \sqrt {CD^2-DF^2}=\frac {5\sqrt {3}}{2}\mathrm {cm}，$​ ∴​$V=\frac {1}{3}\pi ×(\frac {5}{2})^2×\frac {5\sqrt {3}}{2}=\frac {125\sqrt {3}}{24}\pi (\mathrm {cm}^3)。$​即滤纸围成的圆锥形的体积是​$\frac {125\sqrt {3}}{24}\pi\mathrm {cm} ^3。$​ ;