2.(2024·鼓楼区模拟)根据素材解决问题.
设计货船通过圆形拱桥的方案
素材1 图①中有一座圆拱石桥,图②是其示意图,测得水面宽$AB=16\ \mathrm{m}$,拱顶离水面的距离$CD=4\ \mathrm{m}$.
素材2 如图③,一艘货船露出水面部分的横截面为矩形$EFGH$,测得$EH=12\ \mathrm{m}$,$EF=2.1\ \mathrm{m}$.因水深足够,货船可以根据需要运载货物.据调查,货船的载重量每增加1吨,则船身下降$0.01\ \mathrm{m}$.
问题解决
任务1 确定拱桥半径 (1)求圆形拱桥的半径;
任务2 拟定设计方案 (2)根据图③的状态,货船能否通过圆形拱桥?若能,最多还能卸载多少吨货物?若不能,至少要增加多少吨货物才能通过?

解：​$(1)$​设圆心为点​$O，$​则点​$O$​在​$CD$​延长线上，延长​$CD，$​则​$CD$​经过点​$O，$​连接​$AO，$​如答图①。​$ $​设拱桥的半径为​$rm，$​则​$OD=(r - 4)m。$​ ∵​$OC\perp AB，$​∴​$AD = BD=\frac {1}{2}AB = 8m。$​ ∵​$OD^2+AD^2=OA^2，$​∴​$(r - 4)^2+8^2=r^2，$​​$ $​展开得​$r^2-8r + 16+64=r^2，$​​$ $​移项得​$r^2-r^2-8r=-16 - 64，$​​$ $​合并同类项得​$-8r=-80，$​​$ $​解得​$r = 10，$​ ∴圆形拱桥的半径为​$10m。$​​$ (2)$​当​$EH$​是​$\odot O$​的弦时，设​$EH$​与​$OC$​的交点为​$M，$​连接​$OE，$​​$OH，$​如答图②。 ∵四边形​$EFGH$​为矩形，∴​$EH// FG。$​ ∵​$OC\perp AB，$​∴​$OM\perp EH，$​∴​$EM=\frac {1}{2}EH = 6m。$​ ∴​$OM=\sqrt {OE^2-EM^2}=\sqrt {10^2-6^2}=\sqrt {100 - 36}=\sqrt {64}=8m。$​ ∵​$OD = OC - CD = 10 - 4 = 6m，$​∴​$DM = 2m＜2.1m，$​ ∴此时货船不能通过圆形拱桥。 ∵货船的载重量每增加​$1$​吨，则船身下降​$0.01m，$​ ∴​$(2.1 - 2)\div 0.01 = 10($​吨​$)，$​ ∴至少要增加​$10$​吨的货物才能通过。 ;