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1. 设直角三角形的两条直角边长分别为$a和b$,斜边长为$c$,且已知$a = 5$,$c = 13$,则$b$为(
A.8
B.10
C.12
D.18
C
)。A.8
B.10
C.12
D.18
答案
C
解析
在直角三角形中，根据勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$。已知$a = 5$，$c = 13$，则$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$。
C
C
2. 如果把直角三角形的两条直角边长同时扩大到原来的2倍,那么斜边长扩大到原来的(
A.1倍
B.2倍
C.3倍
D.4倍
B
)。A.1倍
B.2倍
C.3倍
D.4倍
答案
B
解析
设原直角三角形的两条直角边长分别为$a$、$b$，斜边长为$c$，根据勾股定理可得$c = \sqrt{a^2 + b^2}$。
当两条直角边长同时扩大到原来的2倍时，新直角边长分别为$2a$、$2b$，设新斜边长为$c'$，则$c' = \sqrt{(2a)^2 + (2b)^2} = \sqrt{4a^2 + 4b^2} = \sqrt{4(a^2 + b^2)} = 2\sqrt{a^2 + b^2} = 2c$。
所以斜边长扩大到原来的2倍。
B
当两条直角边长同时扩大到原来的2倍时，新直角边长分别为$2a$、$2b$，设新斜边长为$c'$，则$c' = \sqrt{(2a)^2 + (2b)^2} = \sqrt{4a^2 + 4b^2} = \sqrt{4(a^2 + b^2)} = 2\sqrt{a^2 + b^2} = 2c$。
所以斜边长扩大到原来的2倍。
B
3. 如图,已知正方形$B$的面积为144,正方形$C$的面积为169,那么正方形$A$的面积为(
A.313
B.144
C.169
D.25
D
)。A.313
B.144
C.169
D.25
答案
D
解析
设直角三角形的两条直角边分别为$a$、$b$，斜边为$c$。
由题意得：正方形$B$的面积$=a^2=144$，正方形$C$的面积$=c^2=169$。
根据勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$，可得$b^2 = c^2 - a^2 = 169 - 144 = 25$。
因为正方形$A$的面积$=b^2$，所以正方形$A$的面积为$25$。
D
由题意得：正方形$B$的面积$=a^2=144$，正方形$C$的面积$=c^2=169$。
根据勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$，可得$b^2 = c^2 - a^2 = 169 - 144 = 25$。
因为正方形$A$的面积$=b^2$，所以正方形$A$的面积为$25$。
D
4. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,若$AC = 5$cm,$BC = 12$cm,则$Rt\triangle ABC斜边上的高CD$的长为(
A.6 cm
B.8.5 cm
C.$\frac{60}{13}$cm
D.$\frac{30}{13}$cm
C
)。A.6 cm
B.8.5 cm
C.$\frac{60}{13}$cm
D.$\frac{30}{13}$cm
答案
C
解析
解：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB=90°$，$AC=5\ cm$，$BC=12\ cm$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13\ cm$。
$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}×5×12=30\ cm^2$。
又$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot CD$，则$CD=\frac{2S_{\triangle ABC}}{AB}=\frac{2×30}{13}=\frac{60}{13}\ cm$。
答案：C
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13\ cm$。
$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}×5×12=30\ cm^2$。
又$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot CD$，则$CD=\frac{2S_{\triangle ABC}}{AB}=\frac{2×30}{13}=\frac{60}{13}\ cm$。
答案：C
5. 如果一个三角形的三边长$a$,$b$,$c满足a^{2}+b^{2}+c^{2}+338 = 10a + 24b + 26c$,那么这个三角形一定是(
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
B
)。A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
答案
B
解析
将等式变形为：$a^{2}-10a + b^{2}-24b + c^{2}-26c + 338 = 0$
配方得：$(a^{2}-10a + 25)+(b^{2}-24b + 144)+(c^{2}-26c + 169)=0$
即：$(a - 5)^{2}+(b - 12)^{2}+(c - 13)^{2}=0$
因为平方数非负，所以$a - 5 = 0$，$b - 12 = 0$，$c - 13 = 0$
解得：$a = 5$，$b = 12$，$c = 13$
验证：$5^{2}+12^{2}=25 + 144 = 169 = 13^{2}$，满足勾股定理
故这个三角形是直角三角形。
B
配方得：$(a^{2}-10a + 25)+(b^{2}-24b + 144)+(c^{2}-26c + 169)=0$
即：$(a - 5)^{2}+(b - 12)^{2}+(c - 13)^{2}=0$
因为平方数非负，所以$a - 5 = 0$，$b - 12 = 0$，$c - 13 = 0$
解得：$a = 5$，$b = 12$，$c = 13$
验证：$5^{2}+12^{2}=25 + 144 = 169 = 13^{2}$，满足勾股定理
故这个三角形是直角三角形。
B
6. 在$Rt\triangle ABC$中,已知$\angle C = 90^{\circ}$,$\angle A$,$\angle B$,$\angle C所对的边分别为a$,$b$,$c$。若$a:b = 3:4$,$c = 10$,则$\triangle ABC$的面积为(
A.24
B.12
C.28
D.30
A
)。A.24
B.12
C.28
D.30
答案
A
解析
设$a = 3k$，$b = 4k$（$k＞0$）。
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，由勾股定理得$a^2 + b^2 = c^2$。
$(3k)^2 + (4k)^2 = 10^2$，即$9k^2 + 16k^2 = 100$，$25k^2 = 100$，$k^2 = 4$，解得$k = 2$（$k=-2$舍去）。
$a = 3×2 = 6$，$b = 4×2 = 8$。
面积为$\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}×6×8 = 24$。
A
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，由勾股定理得$a^2 + b^2 = c^2$。
$(3k)^2 + (4k)^2 = 10^2$，即$9k^2 + 16k^2 = 100$，$25k^2 = 100$，$k^2 = 4$，解得$k = 2$（$k=-2$舍去）。
$a = 3×2 = 6$，$b = 4×2 = 8$。
面积为$\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}×6×8 = 24$。
A
7. 现有两根木棒的长度分别是40 cm和50 cm,若再找一根木棒钉成一个三角形木架,其中有一个角为直角,则所需木棒的最短长度为
30 cm
。答案
30 cm
解析
分两种情况：
1. 当50 cm为斜边时，设所需木棒长度为$x$ cm，由勾股定理得$x^{2}+40^{2}=50^{2}$，解得$x=30$；
2. 当40 cm和50 cm为直角边时，所需木棒长度为$\sqrt{40^{2}+50^{2}}=\sqrt{4100}=10\sqrt{41}\approx64.03$ cm。
30 cm ＜ 64.03 cm，所需木棒的最短长度为30 cm。
1. 当50 cm为斜边时，设所需木棒长度为$x$ cm，由勾股定理得$x^{2}+40^{2}=50^{2}$，解得$x=30$；
2. 当40 cm和50 cm为直角边时，所需木棒长度为$\sqrt{40^{2}+50^{2}}=\sqrt{4100}=10\sqrt{41}\approx64.03$ cm。
30 cm ＜ 64.03 cm，所需木棒的最短长度为30 cm。
8. 如图是“赵爽弦图”,$\triangle ABH$,$\triangle BCG$,$\triangle CDF和\triangle DAE$是四个全等的直角三角形,四边形$ABCD和EFGH$都是正方形。如果$AB = 10$,$EF = 2$,那么$AH$等于
6
。答案
6
解析
解：设 $AH = x$，则 $BH = AH + EF = x + 2$。
在 $Rt\triangle ABH$ 中，由勾股定理得：$AH^2 + BH^2 = AB^2$，即 $x^2 + (x + 2)^2 = 10^2$。
化简得：$x^2 + x^2 + 4x + 4 = 100$，$2x^2 + 4x - 96 = 0$，$x^2 + 2x - 48 = 0$。
因式分解：$(x + 8)(x - 6) = 0$，解得 $x = 6$（$x = -8$ 舍去）。
故 $AH = 6$。
在 $Rt\triangle ABH$ 中，由勾股定理得：$AH^2 + BH^2 = AB^2$，即 $x^2 + (x + 2)^2 = 10^2$。
化简得：$x^2 + x^2 + 4x + 4 = 100$，$2x^2 + 4x - 96 = 0$，$x^2 + 2x - 48 = 0$。
因式分解：$(x + 8)(x - 6) = 0$，解得 $x = 6$（$x = -8$ 舍去）。
故 $AH = 6$。
