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9. 在$\triangle ABC$中,已知$AB = 13$cm,$AC = 20$cm,$BC$边上的高为12 cm,则$\triangle ABC$的面积为
126 或 66
$cm^{2}$。答案
126 或 66
解析
情况一：高在$\triangle ABC$内部
设$BC$边上的高为$AD$，则$AD=12\ cm$，$D$在$BC$上。
在$Rt\triangle ABD$中，$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5\ cm$。
在$Rt\triangle ACD$中，$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{20^2-12^2}=16\ cm$。
$\therefore BC=BD+CD=5+16=21\ cm$。
面积$S=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×21×12=126\ cm^2$。
情况二：高在$\triangle ABC$外部
设$BC$边上的高为$AD$，则$AD=12\ cm$，$D$在$BC$延长线上。
在$Rt\triangle ABD$中，$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5\ cm$。
在$Rt\triangle ACD$中，$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{20^2-12^2}=16\ cm$。
$\therefore BC=CD-BD=16-5=11\ cm$。
面积$S=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×11×12=66\ cm^2$。
126 或 66
设$BC$边上的高为$AD$，则$AD=12\ cm$，$D$在$BC$上。
在$Rt\triangle ABD$中，$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5\ cm$。
在$Rt\triangle ACD$中，$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{20^2-12^2}=16\ cm$。
$\therefore BC=BD+CD=5+16=21\ cm$。
面积$S=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×21×12=126\ cm^2$。
情况二：高在$\triangle ABC$外部
设$BC$边上的高为$AD$，则$AD=12\ cm$，$D$在$BC$延长线上。
在$Rt\triangle ABD$中，$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5\ cm$。
在$Rt\triangle ACD$中，$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{20^2-12^2}=16\ cm$。
$\therefore BC=CD-BD=16-5=11\ cm$。
面积$S=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×11×12=66\ cm^2$。
126 或 66
10. 在直线$l$上依次摆放着七个正方形(如图所示),已知斜搁置的三个正方形的面积分别是1,2,3,正搁置的四个正方形的面积依次是$S_{1}$,$S_{2}$,$S_{3}$,$S_{4}$,则$S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}= $
4
。答案
4
解析
设斜搁置的正方形1、2、3与相邻正搁置正方形形成的直角三角形直角边分别为$a,b$；$c,d$；$e,f$。
由勾股定理及正方形面积公式：
对面积为1的正方形：$a^2 + b^2 = 1$，且$S_1 = a^2$，$S_2 = b^2$，故$S_1 + S_2 = 1$。
对面积为3的正方形：$e^2 + f^2 = 3$，且$S_3 = e^2$，$S_4 = f^2$，故$S_3 + S_4 = 3$。
因此，$S_1 + S_2 + S_3 + S_4 = 1 + 3 = 4$。
4
由勾股定理及正方形面积公式：
对面积为1的正方形：$a^2 + b^2 = 1$，且$S_1 = a^2$，$S_2 = b^2$，故$S_1 + S_2 = 1$。
对面积为3的正方形：$e^2 + f^2 = 3$，且$S_3 = e^2$，$S_4 = f^2$，故$S_3 + S_4 = 3$。
因此，$S_1 + S_2 + S_3 + S_4 = 1 + 3 = 4$。
4
11. (8分)若$\triangle ABC$三边长满足下列条件,判断$\triangle ABC$是不是直角三角形。若是,请说明哪个角是直角。
(1)$BC= \frac{3}{4}$,$AB= \frac{5}{4}$,$AC = 1$；
(2)$AB= \frac{1}{3}$,$AC= \frac{1}{4}$,$BC= \frac{1}{5}$。
(1)$BC= \frac{3}{4}$,$AB= \frac{5}{4}$,$AC = 1$；
(2)$AB= \frac{1}{3}$,$AC= \frac{1}{4}$,$BC= \frac{1}{5}$。
答案
（1）因为$\left(\dfrac{5}{4}\right)^{2}=\left(\dfrac{3}{4}\right)^{2}+1^{2}$，所以$AB^{2}=BC^{2}+AC^{2}$。根据三边长满足的条件，可以判断$\triangle ABC$是直角三角形，其中$\angle C$为直角。
（2）$\triangle ABC$不是直角三角形。
（2）$\triangle ABC$不是直角三角形。
12. (8分)四边形$ABCD$中,$AB = 3$,$BC = 4$,$CD = 12$,$AD = 13$,且$\angle B = 90^{\circ}$,根据下列两个图形,分别求出四边形$ABCD$的面积。
答案
连接$AC$，如图1所示。
因为$\angle B=90^{\circ}$，$AB=3$，$BC=4$，
所以$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=5$。
在$\triangle ACD$中，
$AC^{2}+CD^{2}=25+144=169=AD^{2}$，
所以$\triangle ACD$是直角三角形。
所以$S_{四边形ABCD}=\dfrac{1}{2}AB\cdot BC+\dfrac{1}{2}AC\cdot CD$
$=\dfrac{1}{2}×3×4+\dfrac{1}{2}×5×12=36$。
如图2，同理可得，$S_{四边形ABCD}=\dfrac{1}{2}AC\cdot CD-\dfrac{1}{2}AB\cdot BC=\dfrac{1}{2}×5×12-\dfrac{1}{2}×3×4=24$。
因为$\angle B=90^{\circ}$，$AB=3$，$BC=4$，
所以$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=5$。
在$\triangle ACD$中，
$AC^{2}+CD^{2}=25+144=169=AD^{2}$，
所以$\triangle ACD$是直角三角形。
所以$S_{四边形ABCD}=\dfrac{1}{2}AB\cdot BC+\dfrac{1}{2}AC\cdot CD$
$=\dfrac{1}{2}×3×4+\dfrac{1}{2}×5×12=36$。
如图2，同理可得，$S_{四边形ABCD}=\dfrac{1}{2}AC\cdot CD-\dfrac{1}{2}AB\cdot BC=\dfrac{1}{2}×5×12-\dfrac{1}{2}×3×4=24$。
13. (6分)如图,台风过后,一根电线杆在离地某处断裂,顶部落在离底部8 m处,已知电线杆原长16 m,你能求出电线杆在离底部多少米的位置断裂吗？
答案
设电线杆未折断部分的长为$x\ m$，则折断部分的长为$(16 - x)\ m$。
根据勾股定理，得$x^{2}+8^{2}=(16 - x)^{2}$，
解得$x = 6$，即电线杆在离底部$6\ m$的位置断裂。
根据勾股定理，得$x^{2}+8^{2}=(16 - x)^{2}$，
解得$x = 6$，即电线杆在离底部$6\ m$的位置断裂。
14. (8分)张老师在一次“探究性学习”课上,设计了如下数表：
| $n$ | 2 | 3 | 4 | 5 | … |
| $a$ | $2^{2}-1$ | $3^{2}-1$ | $4^{2}-1$ | $5^{2}-1$ | … |
| $b$ | 4 | 6 | 8 | 10 | … |
| $c$ | $2^{2}+1$ | $3^{2}+1$ | $4^{2}+1$ | $5^{2}+1$ | … |
(1)请你分别观察$a$,$b$,$c与n$之间的关系,并用含自然数$n(n＞1)$的代数式表示：
$a=$
(2)以$a$,$b$,$c$为边长的三角形是不是直角三角形？为什么？
（2）以$a$，$b$，$c$为边长的三角形是直角三角形。理由如下：
因为$a^{2}+b^{2}=(n^{2}-1)^{2}+4n^{2}=n^{4}-2n^{2}+1+4n^{2}=n^{4}+2n^{2}+1=(n^{2}+1)^{2}=c^{2}$，
所以以$a$，$b$，$c$为边长的三角形是直角三角形。
| $n$ | 2 | 3 | 4 | 5 | … |
| $a$ | $2^{2}-1$ | $3^{2}-1$ | $4^{2}-1$ | $5^{2}-1$ | … |
| $b$ | 4 | 6 | 8 | 10 | … |
| $c$ | $2^{2}+1$ | $3^{2}+1$ | $4^{2}+1$ | $5^{2}+1$ | … |
(1)请你分别观察$a$,$b$,$c与n$之间的关系,并用含自然数$n(n＞1)$的代数式表示：
$a=$
$n^{2}-1$
,$b=$$2n$
,$c=$$n^{2}+1$
。(2)以$a$,$b$,$c$为边长的三角形是不是直角三角形？为什么？
（2）以$a$，$b$，$c$为边长的三角形是直角三角形。理由如下：
因为$a^{2}+b^{2}=(n^{2}-1)^{2}+4n^{2}=n^{4}-2n^{2}+1+4n^{2}=n^{4}+2n^{2}+1=(n^{2}+1)^{2}=c^{2}$，
所以以$a$，$b$，$c$为边长的三角形是直角三角形。
答案
（1）$n^{2}-1$ $2n$ $n^{2}+1$
（2）以$a$，$b$，$c$为边长的三角形是直角三角形。理由如下：
因为$a^{2}+b^{2}=(n^{2}-1)^{2}+4n^{2}=n^{4}-2n^{2}+1+4n^{2}=n^{4}+2n^{2}+1=(n^{2}+1)^{2}=c^{2}$，
所以以$a$，$b$，$c$为边长的三角形是直角三角形。
（2）以$a$，$b$，$c$为边长的三角形是直角三角形。理由如下：
因为$a^{2}+b^{2}=(n^{2}-1)^{2}+4n^{2}=n^{4}-2n^{2}+1+4n^{2}=n^{4}+2n^{2}+1=(n^{2}+1)^{2}=c^{2}$，
所以以$a$，$b$，$c$为边长的三角形是直角三角形。
