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1. 在函数①$y= ax^{2}+bx+c$,②$y= (x-1)+2$,③$y= 5x^{2}-\frac{5}{x^{2}}$,④$y= -x^{2}+2$中,$y关于x$的二次函数有
④
(填序号).答案
④
2. 若菱形两条对角线长的和为24 cm,设其中一条对角线的长为$x$ cm,则菱形的面积$S$(单位:cm^2)与$x$(单位:cm)之间的关系式是
$S = - \frac{1}{2}x^{2} + 12x$
,自变量的取值范围是$0 ＜ x ＜ 24$
.答案
【解析】：
本题主要考察二次函数的应用以及菱形面积的计算。
首先，菱形的面积公式为：$S = \frac{1}{2} × d_1 × d_2$，其中$d_1$和$d_2$是菱形的两条对角线长度。
题目中给出两条对角线的和为24cm，设其中一条对角线的长为$x$ cm，则另一条对角线的长为$24 - x$ cm。
代入面积公式，得到：
$S = \frac{1}{2} × x × (24 - x)$
化简得：
$S = - \frac{1}{2}x^{2} + 12x$
接下来求自变量的取值范围。
由于对角线的长度不能为负，且两条对角线的和为24cm，所以：
$x ＞ 0$
$24 - x ＞ 0$
解得：
$0 ＜ x ＜ 24$
【答案】：
$S = - \frac{1}{2}x^{2} + 12x$；
$0 ＜ x ＜ 24$。
本题主要考察二次函数的应用以及菱形面积的计算。
首先，菱形的面积公式为：$S = \frac{1}{2} × d_1 × d_2$，其中$d_1$和$d_2$是菱形的两条对角线长度。
题目中给出两条对角线的和为24cm，设其中一条对角线的长为$x$ cm，则另一条对角线的长为$24 - x$ cm。
代入面积公式，得到：
$S = \frac{1}{2} × x × (24 - x)$
化简得：
$S = - \frac{1}{2}x^{2} + 12x$
接下来求自变量的取值范围。
由于对角线的长度不能为负，且两条对角线的和为24cm，所以：
$x ＞ 0$
$24 - x ＞ 0$
解得：
$0 ＜ x ＜ 24$
【答案】：
$S = - \frac{1}{2}x^{2} + 12x$；
$0 ＜ x ＜ 24$。
3. 一个运算程序的示意图如图所示. 若第一次输入1,则输出的结果是
11
.答案
【解析】：
由图可知，该程序是先输入一个$x$的值，然后计算$y=x^2+2x+3$，
接着判断$y$是否大于$9$，如果$y＞9$，则输出$y$；
如果$y\leq9$，则将$x$的值加$1$后重新输入，再次进行计算和判断。
当$x = 1$时：
$y=1^2+2×1 + 3=1 + 2+3 = 6$，
因为$6＜9$，所以不满足输出条件，需要将$x$的值加$1$，此时$x=1 + 1=2$。
当$x = 2$时：
$y=2^2+2×2+3=4 + 4+3 = 11$，
因为$11＞9$，满足输出条件，所以输出的结果是$11$。
【答案】：
$11$。
由图可知，该程序是先输入一个$x$的值，然后计算$y=x^2+2x+3$，
接着判断$y$是否大于$9$，如果$y＞9$，则输出$y$；
如果$y\leq9$，则将$x$的值加$1$后重新输入，再次进行计算和判断。
当$x = 1$时：
$y=1^2+2×1 + 3=1 + 2+3 = 6$，
因为$6＜9$，所以不满足输出条件，需要将$x$的值加$1$，此时$x=1 + 1=2$。
当$x = 2$时：
$y=2^2+2×2+3=4 + 4+3 = 11$，
因为$11＞9$，满足输出条件，所以输出的结果是$11$。
【答案】：
$11$。
4. 若$y= (k-2)x^{2}-3x+1是y关于x$的二次函数,则常数$k$应满足的条件是
$k \neq 2$
;若$y= (m-1)x^{m^{2}+1}+3x是y关于x$的二次函数,则常数$m= $$-1$
.答案
【解析】：
本题主要考察二次函数的定义。
对于第一个问题，函数$y= (k-2)x^{2}-3x+1$是关于$x$的二次函数，根据二次函数的定义，二次项系数不能为0，即$k-2 \neq 0$。
解这个不等式，我们得到$k \neq 2$。
对于第二个问题，函数$y= (m-1)x^{m^{2}+1}+3x$是关于$x$的二次函数，根据二次函数的定义，我们需要满足两个条件：
一是$m-1 \neq 0$，保证二次项系数不为0；
二是$m^{2}+1=2$，保证$x$的最高次数为2。
解这个方程组，我们得到$m=-1$（$m=1$被舍去，因为此时二次项系数为0）。
【答案】：
$k \neq 2$；$-1$。
本题主要考察二次函数的定义。
对于第一个问题，函数$y= (k-2)x^{2}-3x+1$是关于$x$的二次函数，根据二次函数的定义，二次项系数不能为0，即$k-2 \neq 0$。
解这个不等式，我们得到$k \neq 2$。
对于第二个问题，函数$y= (m-1)x^{m^{2}+1}+3x$是关于$x$的二次函数，根据二次函数的定义，我们需要满足两个条件：
一是$m-1 \neq 0$，保证二次项系数不为0；
二是$m^{2}+1=2$，保证$x$的最高次数为2。
解这个方程组，我们得到$m=-1$（$m=1$被舍去，因为此时二次项系数为0）。
【答案】：
$k \neq 2$；$-1$。
5. 一块矩形草地,长为10 m,宽为8 m. 若将长和宽都增加$x$ m,设增加的面积为$y$ m^2.
(1)求$y与x$之间的关系式.
(2)若要使草地增加的面积为40 m^2,则长和宽都增加多少米?
(1)求$y与x$之间的关系式.
(2)若要使草地增加的面积为40 m^2,则长和宽都增加多少米?
答案
(1) 解：原矩形面积为 $10 × 8 = 80$ $m^2$，
长和宽增加后，长为$(10 + x)$ m，宽为$(8 + x)$ m，
新矩形面积为$(10 + x)(8 + x)$ $m^2$，
则增加的面积$y = (10 + x)(8 + x) - 80$，
展开得$y = x^2 + 18x + 80 - 80$，
即$y = x^2 + 18x$。
(2) 解：当$y = 40$时，$x^2 + 18x = 40$，
移项得$x^2 + 18x - 40 = 0$，
其中$a = 1$，$b = 18$，$c = -40$，
判别式$\Delta = 18^2 - 4 × 1 × (-40) = 324 + 160 = 484$，
$x = \frac{-18 \pm \sqrt{484}}{2} = \frac{-18 \pm 22}{2}$，
解得$x_1 = \frac{-18 + 22}{2} = 2$，$x_2 = \frac{-18 - 22}{2} = -20$（舍去），
所以长和宽都增加$2$米。
长和宽增加后，长为$(10 + x)$ m，宽为$(8 + x)$ m，
新矩形面积为$(10 + x)(8 + x)$ $m^2$，
则增加的面积$y = (10 + x)(8 + x) - 80$，
展开得$y = x^2 + 18x + 80 - 80$，
即$y = x^2 + 18x$。
(2) 解：当$y = 40$时，$x^2 + 18x = 40$，
移项得$x^2 + 18x - 40 = 0$，
其中$a = 1$，$b = 18$，$c = -40$，
判别式$\Delta = 18^2 - 4 × 1 × (-40) = 324 + 160 = 484$，
$x = \frac{-18 \pm \sqrt{484}}{2} = \frac{-18 \pm 22}{2}$，
解得$x_1 = \frac{-18 + 22}{2} = 2$，$x_2 = \frac{-18 - 22}{2} = -20$（舍去），
所以长和宽都增加$2$米。
6. 已知函数$y= (m^{2}-m)x^{2}+(m-1)x+2-2m$.
(1)若这个函数是二次函数,求$m$的取值范围.
(2)若这个函数是一次函数,求$m$的值.
(1)若这个函数是二次函数,求$m$的取值范围.
(2)若这个函数是一次函数,求$m$的值.
答案
【解析】：
(1) 对于二次函数，其一般形式为$y=ax^{2}+bx+c$，其中$a \neq 0$。
因此，我们需要确定$m^{2}-m \neq 0$。
解这个不等式，我们得到：
$m(m-1) \neq 0$
由此可得，$m \neq 0$ 且 $m \neq 1$。
(2) 对于一次函数，其一般形式为$y=kx+b$，其中$k \neq 0$。
因此，我们需要$m^{2}-m=0$且$m-1 \neq 0$。
解$m^{2}-m=0$，我们得到：
$m(m-1) = 0$
由此可得，$m = 0$ 或 $m = 1$。
但由于$m-1 \neq 0$，所以$m \neq 1$。
因此，$m = 0$。
【答案】：
(1) $m \neq 0$ 且 $m \neq 1$。
(2) $m = 0$。
(1) 对于二次函数，其一般形式为$y=ax^{2}+bx+c$，其中$a \neq 0$。
因此，我们需要确定$m^{2}-m \neq 0$。
解这个不等式，我们得到：
$m(m-1) \neq 0$
由此可得，$m \neq 0$ 且 $m \neq 1$。
(2) 对于一次函数，其一般形式为$y=kx+b$，其中$k \neq 0$。
因此，我们需要$m^{2}-m=0$且$m-1 \neq 0$。
解$m^{2}-m=0$，我们得到：
$m(m-1) = 0$
由此可得，$m = 0$ 或 $m = 1$。
但由于$m-1 \neq 0$，所以$m \neq 1$。
因此，$m = 0$。
【答案】：
(1) $m \neq 0$ 且 $m \neq 1$。
(2) $m = 0$。
7. 已知二次函数$y= 3(x-1)^{2}+2$.
(1)将二次函数化为一般形式,并指出相应的$a,b,c$的值.
(2)当$x= 6$时,求$y$的值.
(3)当$y= 77$时,求$x$的值.
(1)将二次函数化为一般形式,并指出相应的$a,b,c$的值.
(2)当$x= 6$时,求$y$的值.
(3)当$y= 77$时,求$x$的值.
答案
【解析】：
本题主要考查了二次函数的一般形式、二次函数的求值以及二次方程的求解。
(1)我们需要将给定的二次函数化为一般形式，并指出$a$，$b$，$c$的值。
(2)我们需要将$x=6$代入二次函数的一般形式中，求出$y$的值。
(3)我们需要将$y=77$代入二次函数的一般形式中，得到一个关于$x$的二次方程，然后解这个方程求出$x$的值。
(1)首先，我们将二次函数$y= 3(x-1)^{2}+2$化为一般形式：
$y = 3(x^{2} - 2x + 1) + 2 = 3x^{2} - 6x + 3 + 2 = 3x^{2} - 6x + 5$
所以，$a = 3$，$b = -6$，$c = 5$。
(2)当$x = 6$时，代入$y = 3x^{2} - 6x + 5$，得到：
$y = 3 × 6^{2} - 6 × 6 + 5 = 108 - 36 + 5 = 77$
(3)当$y = 77$时，代入$y = 3x^{2} - 6x + 5$，得到方程：
$3x^{2} - 6x + 5 = 77$
移项得：
$3x^{2} - 6x - 72 = 0$
除以3得：
$x^{2} - 2x - 24 = 0$
因式分解得：
$(x - 6)(x + 4) = 0$
解得：$x_{1} = 6$，$x_{2} = -4$。
【答案】：
(1)$y = 3x^{2} - 6x + 5$；$a = 3$，$b = -6$，$c = 5$。
(2)$y = 77$。
(3)$x_{1} = 6$，$x_{2} = -4$。
本题主要考查了二次函数的一般形式、二次函数的求值以及二次方程的求解。
(1)我们需要将给定的二次函数化为一般形式，并指出$a$，$b$，$c$的值。
(2)我们需要将$x=6$代入二次函数的一般形式中，求出$y$的值。
(3)我们需要将$y=77$代入二次函数的一般形式中，得到一个关于$x$的二次方程，然后解这个方程求出$x$的值。
(1)首先，我们将二次函数$y= 3(x-1)^{2}+2$化为一般形式：
$y = 3(x^{2} - 2x + 1) + 2 = 3x^{2} - 6x + 3 + 2 = 3x^{2} - 6x + 5$
所以，$a = 3$，$b = -6$，$c = 5$。
(2)当$x = 6$时，代入$y = 3x^{2} - 6x + 5$，得到：
$y = 3 × 6^{2} - 6 × 6 + 5 = 108 - 36 + 5 = 77$
(3)当$y = 77$时，代入$y = 3x^{2} - 6x + 5$，得到方程：
$3x^{2} - 6x + 5 = 77$
移项得：
$3x^{2} - 6x - 72 = 0$
除以3得：
$x^{2} - 2x - 24 = 0$
因式分解得：
$(x - 6)(x + 4) = 0$
解得：$x_{1} = 6$，$x_{2} = -4$。
【答案】：
(1)$y = 3x^{2} - 6x + 5$；$a = 3$，$b = -6$，$c = 5$。
(2)$y = 77$。
(3)$x_{1} = 6$，$x_{2} = -4$。
