8. 某商场销售某女款上衣,刚上市时每件可盈利100元,销售一段时间后开始滞销,经过连续两次降价后,每件盈利为81元,平均每天可售出20件.
(1)求平均每次降价盈利减少的百分率.
(2)为扩大销售量,尽快减少库存,在大促期间该商场决定再次采取适当的降价措施.经调查发现,一件该女款上衣每降价1元,每天可多售出2件.若商场每天要盈利2940元,则每件应再降价多少元？

$(1)$求平均每次降价盈利减少的百分率
解：设平均每次降价盈利减少的百分率为$x$。
根据公式：$a(1 - x)^n=b$（$a$是降价前的盈利，$x$是降价百分率，$n$是降价次数，$b$是降价后的盈利），这里$a = 100$，$n = 2$，$b = 81$，则可列出方程$100(1 - x)^2 = 81$。
两边同时除以$100$得$(1 - x)^2=\frac{81}{100}$。
开平方得$1 - x=\pm\frac{9}{10}$。
当$1 - x=\frac{9}{10}$时，$x = 1-\frac{9}{10}=0.1 = 10\%$；
当$1 - x=-\frac{9}{10}$时，$x = 1+\frac{9}{10}=1.9$（因为降价百分率不能大于$1$，舍去）。
所以平均每次降价盈利减少的百分率为$10\%$。
$(2)$求每件应再降价多少元
解：设每件应再降价$y$元。
原来每件盈利$81$元，每天销售$20$件，每降价$1$元多销售$2$件，那么降价$y$元后，每件盈利$(81 - y)$元，每天销售$(20 + 2y)$件。
根据“总盈利$=$每件盈利$×$销售量”，可列方程$(81 - y)(20 + 2y)=2940$。
展开括号得$1620+162y-20y - 2y^2=2940$。
移项化为一元二次方程的一般形式：$2y^2-142y + 1320 = 0$，两边同时除以$2$得$y^2-71y + 660 = 0$。
分解因式得$(y - 11)(y - 60)=0$。
则$y - 11 = 0$或$y - 60 = 0$。
解得$y_1 = 11$，$y_2 = 60$。
因为要尽快减少库存，所以$y$越大越好，故取$y = 60$。
综上，$(1)$平均每次降价盈利减少的百分率为$\boldsymbol{10\%}$；$(2)$每件应再降价$\boldsymbol{60}$元。

9. 阅读材料：已知实数m,n满足$m^2 - m - 1 = 0$,$n^2 - n - 1 = 0$,且$m \neq n$,求$\frac{n}{m} + \frac{m}{n}$的值.
解：由题意,得m,n是方程$x^2 - x - 1 = 0$的两个不相等的实数根,根据材料,得$m + n = 1$,$mn = -1$,
$\therefore \frac{n}{m} + \frac{m}{n} = \frac{m^2 + n^2}{mn} = \frac{(m + n)^2 - 2mn}{mn} = \frac{1 + 2}{-1} = -3$.
根据上述材料解决问题.
(1)已知实数m,n满足$2m^2 - 2m - 1 = 0$,$2n^2 - 2n - 1 = 0$,且$m \neq n$,求$m^2n + mn^2$的值.
(2)已知实数p,q满足$p^2 = 3p + 2$,$2q^2 = 3q + 1$,且$p \neq 2q$,求$p^2 + 4q^2$的值.

【解析】：
(1)由题意，因为实数$m$，$n$满足$2m^2 - 2m - 1 = 0$，$2n^2 - 2n - 1 = 0$，且$m \ne n$，
所以我们可以推断出$m$，$n$是方程$2x^2 - 2x - 1 = 0$的两个不相等的实数根。
根据一元二次方程的根与系数的关系，对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$，其两个根的和为$-\frac{b}{a}$，两个根的积为$\frac{c}{a}$。
所以，对于方程$2x^2 - 2x - 1 = 0$，我们有$m + n = -\frac{-2}{2} = 1$，$mn = \frac{-1}{2}$。
接下来，我们需要求$m^2n + mn^2$的值。
根据提公因式法，我们可以将$m^2n + mn^2$改写为$mn(m + n)$。
将$m + n = 1$，$mn = -\frac{1}{2}$代入$mn(m + n)$，得到$-\frac{1}{2} × 1 = -\frac{1}{2}$。
(2)由题意，实数$p$，$q$满足$p^2 = 3p + 2$，$2q^2 = 3q + 1$，且$p \ne 2q$。
我们可以将$2q^2 = 3q + 1$改写为$(2q)^2 = 3 × 2q + 2$，即$(\sqrt{2}q)^2-3(\sqrt{2}q)-2=0$。
又因为$p^2 = 3p + 2$，即$p^2-3p-2=0$
所以$p$和$\sqrt{2}q$是方程$x^2 - 3x - 2 = 0$的两个不相等的实数根。
根据一元二次方程的根与系数的关系，我们有$p + \sqrt{2}q = 3$，$p × \sqrt{2}q = -2$。
接下来，我们需要求$p^2 + 4q^2$的值。
根据完全平方公式，我们可以将$p^2 + 4q^2$改写为$(p + 2q)^2 - 4pq$。
因为$2q=\sqrt{2}q×\sqrt{2}$，
所以$(p + 2q)^2 - 4pq=(p +\sqrt{2}q×\sqrt{2})^2-2× p×\sqrt{2}q×\sqrt{2}$
$=(p + \sqrt{2}q)^2 - 2×(p × \sqrt{2}q)×\sqrt{2}$
将$p + \sqrt{2}q = 3$，$p × \sqrt{2}q = -2$代入$(p + \sqrt{2}q)^2 - 2×(p × \sqrt{2}q)×\sqrt{2}$，
得到$3^2 - 2× (-2)×\sqrt{2}÷\sqrt{2}= 13$。
【答案】：
(1)$m^2n + mn^2 = -\frac{1}{2}$；
(2)$p^2 + 4q^2 = 13$。