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1. 抛物线$y= -\frac{1}{3}x^{2}$的开口向
下
,对称轴是$y$轴（或 $x = 0$）
,顶点坐标是$(0, 0)$
,当$x= 0$时,$y$有最大
值为$0$
. 若$x_{1},x_{2}$是该抛物线上的点的横坐标,且$x_{1}＜x_{2}＜0$,则$y_{1},y_{2}$的大小关系是$y_{1} ＜ y_{2}$
.答案
【解析】：
本题主要考察二次函数的图象和性质。
首先，对于二次函数$y = ax^{2} + bx + c$，其开口方向由系数$a$决定。
当$a ＞ 0$时，开口向上；当$a ＜ 0$时，开口向下。
对于给定的函数$y = -\frac{1}{3}x^{2}$，其系数$a = -\frac{1}{3} ＜ 0$，所以开口向下。
其次，二次函数的对称轴为$x = -\frac{b}{2a}$。
对于给定的函数，$b = 0$，所以对称轴为$x = 0$，即$y$轴。
再次，二次函数的顶点坐标为$(-\frac{b}{2a}, c - \frac{b^{2}}{4a})$。
对于给定的函数，$b = 0$，$c = 0$，所以顶点坐标为$(0, 0)$。
然后，由于抛物线开口向下，所以函数在其定义域内存在最大值。
当$x = 0$时，$y = 0$，所以$y$有最大值为$0$。
最后，对于$x_{1} ＜ x_{2} ＜ 0$，由于抛物线开口向下且对称轴为$y$轴，
所以在$x ＜ 0$的区间内，$y$随$x$的增大而增大。
因此，$y_{1} ＜ y_{2}$。
【答案】：
开口向下；$y$轴（或 $x = 0$）；$(0, 0)$；大；$0$；$y_{1} ＜ y_{2}$。
本题主要考察二次函数的图象和性质。
首先，对于二次函数$y = ax^{2} + bx + c$，其开口方向由系数$a$决定。
当$a ＞ 0$时，开口向上；当$a ＜ 0$时，开口向下。
对于给定的函数$y = -\frac{1}{3}x^{2}$，其系数$a = -\frac{1}{3} ＜ 0$，所以开口向下。
其次，二次函数的对称轴为$x = -\frac{b}{2a}$。
对于给定的函数，$b = 0$，所以对称轴为$x = 0$，即$y$轴。
再次，二次函数的顶点坐标为$(-\frac{b}{2a}, c - \frac{b^{2}}{4a})$。
对于给定的函数，$b = 0$，$c = 0$，所以顶点坐标为$(0, 0)$。
然后，由于抛物线开口向下，所以函数在其定义域内存在最大值。
当$x = 0$时，$y = 0$，所以$y$有最大值为$0$。
最后，对于$x_{1} ＜ x_{2} ＜ 0$，由于抛物线开口向下且对称轴为$y$轴，
所以在$x ＜ 0$的区间内，$y$随$x$的增大而增大。
因此，$y_{1} ＜ y_{2}$。
【答案】：
开口向下；$y$轴（或 $x = 0$）；$(0, 0)$；大；$0$；$y_{1} ＜ y_{2}$。
2. 若二次函数$y= -3x^{2}的图象上有两点A(-2,y_{1}),B(1,y_{2})$,则$y_{1},y_{2}$的大小关系是
$y_{1}\lt y_{2}$
.答案
1. 首先，将点$A(-2,y_{1})$代入二次函数$y = - 3x^{2}$：
当$x=-2$时，根据函数$y=-3x^{2}$，可得$y_{1}=-3×(-2)^{2}$。
根据幂运算$(-2)^{2}=(-2)×(-2)=4$，则$y_{1}=-3×4=-12$。
2. 然后，将点$B(1,y_{2})$代入二次函数$y = - 3x^{2}$：
当$x = 1$时，根据函数$y=-3x^{2}$，可得$y_{2}=-3×1^{2}$。
根据幂运算$1^{2}=1×1 = 1$，则$y_{2}=-3×1=-3$。
3. 最后，比较$y_{1}$和$y_{2}$的大小：
因为$-12\lt - 3$，所以$y_{1}\lt y_{2}$。
故答案为$y_{1}\lt y_{2}$。
当$x=-2$时，根据函数$y=-3x^{2}$，可得$y_{1}=-3×(-2)^{2}$。
根据幂运算$(-2)^{2}=(-2)×(-2)=4$，则$y_{1}=-3×4=-12$。
2. 然后，将点$B(1,y_{2})$代入二次函数$y = - 3x^{2}$：
当$x = 1$时，根据函数$y=-3x^{2}$，可得$y_{2}=-3×1^{2}$。
根据幂运算$1^{2}=1×1 = 1$，则$y_{2}=-3×1=-3$。
3. 最后，比较$y_{1}$和$y_{2}$的大小：
因为$-12\lt - 3$，所以$y_{1}\lt y_{2}$。
故答案为$y_{1}\lt y_{2}$。
3. 若四个二次函数的图象如图所示,则$a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}$的大小关系是______(用“＞”连接).
$a_{1}\gt a_{2}\gt a_{4}\gt a_{3}$
答案
1. 首先明确二次函数$y = ax^{2}$的性质：
对于二次函数$y = ax^{2}$（$a\neq0$），$a$的正负决定抛物线的开口方向，$\vert a\vert$决定抛物线的开口大小，$\vert a\vert$越大，抛物线的开口越窄；$\vert a\vert$越小，抛物线的开口越宽。
当$a\gt0$时，抛物线开口向上；当$a\lt0$时，抛物线开口向下。
2. 然后分析图象：
对于$y = a_{1}x^{2}$和$y = a_{2}x^{2}$，因为它们的图象开口向上，所以$a_{1}\gt0$，$a_{2}\gt0$。
又因为$y = a_{1}x^{2}$的开口比$y = a_{2}x^{2}$的开口窄，根据$\vert a\vert$越大，抛物线开口越窄，可得$a_{1}\gt a_{2}$。
对于$y = a_{3}x^{2}$和$y = a_{4}x^{2}$，因为它们的图象开口向下，所以$a_{3}\lt0$，$a_{4}\lt0$。
又因为$y = a_{3}x^{2}$的开口比$y = a_{4}x^{2}$的开口窄，根据$\vert a\vert$越大，抛物线开口越窄，$\vert a_{3}\vert\gt\vert a_{4}\vert$，而$a_{3}\lt0$，$a_{4}\lt0$，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，所以$a_{4}\gt a_{3}$。
3. 最后得出大小关系：
综上，$a_{1}\gt a_{2}\gt a_{4}\gt a_{3}$。
故答案为：$a_{1}\gt a_{2}\gt a_{4}\gt a_{3}$。
对于二次函数$y = ax^{2}$（$a\neq0$），$a$的正负决定抛物线的开口方向，$\vert a\vert$决定抛物线的开口大小，$\vert a\vert$越大，抛物线的开口越窄；$\vert a\vert$越小，抛物线的开口越宽。
当$a\gt0$时，抛物线开口向上；当$a\lt0$时，抛物线开口向下。
2. 然后分析图象：
对于$y = a_{1}x^{2}$和$y = a_{2}x^{2}$，因为它们的图象开口向上，所以$a_{1}\gt0$，$a_{2}\gt0$。
又因为$y = a_{1}x^{2}$的开口比$y = a_{2}x^{2}$的开口窄，根据$\vert a\vert$越大，抛物线开口越窄，可得$a_{1}\gt a_{2}$。
对于$y = a_{3}x^{2}$和$y = a_{4}x^{2}$，因为它们的图象开口向下，所以$a_{3}\lt0$，$a_{4}\lt0$。
又因为$y = a_{3}x^{2}$的开口比$y = a_{4}x^{2}$的开口窄，根据$\vert a\vert$越大，抛物线开口越窄，$\vert a_{3}\vert\gt\vert a_{4}\vert$，而$a_{3}\lt0$，$a_{4}\lt0$，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，所以$a_{4}\gt a_{3}$。
3. 最后得出大小关系：
综上，$a_{1}\gt a_{2}\gt a_{4}\gt a_{3}$。
故答案为：$a_{1}\gt a_{2}\gt a_{4}\gt a_{3}$。
4. 如图所示,正方形的边长为4,以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系,作出函数$y= \frac{1}{3}x^{2}与y= -\frac{1}{3}x^{2}$的图象,则阴影部分的面积是
8
.答案
1. 首先分析函数$y = \frac{1}{3}x^{2}$与$y=-\frac{1}{3}x^{2}$的图象性质：
函数$y = \frac{1}{3}x^{2}$的图象开口向上，对称轴为$y$轴，顶点坐标为$(0,0)$；函数$y =-\frac{1}{3}x^{2}$的图象开口向下，对称轴为$y$轴，顶点坐标为$(0,0)$。
由这两个函数图象的对称性可知，阴影部分的面积等于正方形面积的一半。
2. 然后计算正方形的面积：
已知正方形边长$a = 4$，根据正方形面积公式$S=a^{2}$，可得$S = 4^{2}=16$。
3. 最后计算阴影部分面积：
因为阴影部分面积$S_{阴}=\frac{1}{2}S_{正}$。
把$S_{正}=16$代入可得$S_{阴}=\frac{1}{2}×16 = 8$。
故阴影部分的面积是$8$。
函数$y = \frac{1}{3}x^{2}$的图象开口向上，对称轴为$y$轴，顶点坐标为$(0,0)$；函数$y =-\frac{1}{3}x^{2}$的图象开口向下，对称轴为$y$轴，顶点坐标为$(0,0)$。
由这两个函数图象的对称性可知，阴影部分的面积等于正方形面积的一半。
2. 然后计算正方形的面积：
已知正方形边长$a = 4$，根据正方形面积公式$S=a^{2}$，可得$S = 4^{2}=16$。
3. 最后计算阴影部分面积：
因为阴影部分面积$S_{阴}=\frac{1}{2}S_{正}$。
把$S_{正}=16$代入可得$S_{阴}=\frac{1}{2}×16 = 8$。
故阴影部分的面积是$8$。
5. 若抛物线$y= (a+1)x^{2}$满足当$x＞0$时,$y随x$的增大而减小,则$a$的取值范围是
$a＜ - 1$
;若抛物线有最低点,则$a$的取值范围是$a＞ - 1$
.答案
解：对于抛物线$y=(a + 1)x^2$，其对称轴为$y$轴（$x=0$）。
当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小，说明抛物线开口向下，所以二次项系数$a + 1＜0$，解得$a＜ - 1$。
若抛物线有最低点，则抛物线开口向上，所以二次项系数$a + 1＞0$，解得$a＞ - 1$。
故答案为：$a＜ - 1$；$a＞ - 1$。
当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小，说明抛物线开口向下，所以二次项系数$a + 1＜0$，解得$a＜ - 1$。
若抛物线有最低点，则抛物线开口向上，所以二次项系数$a + 1＞0$，解得$a＞ - 1$。
故答案为：$a＜ - 1$；$a＞ - 1$。
6. 如图所示,点$A,B在函数y= \frac{1}{4}x^{2}$的图象上,已知点$A,B$的横坐标分别为-2,4,直线$AB与y轴交于点C$,连接$OA,OB$.
(1)求直线$AB$的函数解析式.
(2)求$\triangle AOB$的面积.
(3)如果函数$y= \frac{1}{4}x^{2}的图象上存在点P$,使得$\triangle PAB的面积等于\triangle AOB$面积的一半,那么这样的点$P$共有
(1)求直线$AB$的函数解析式.
解：当$x=-2$时，$y=\frac{1}{4}×(-2)^2=1$，则$A(-2,1)$；当$x=4$时，$y=\frac{1}{4}×4^2=4$，则$B(4,4)$。设直线$AB$的解析式为$y=kx+b$，将$A(-2,1)$，$B(4,4)$代入得$\begin{cases}-2k+b=1\\4k+b=4\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=\frac{1}{2}\\b=2\end{cases}$，所以直线$AB$的解析式为$y=\frac{1}{2}x+2$。
(2)求$\triangle AOB$的面积.
解：在$y=\frac{1}{2}x+2$中，令$x=0$，得$y=2$，则$C(0,2)$。$S_{\triangle AOB}=S_{\triangle AOC}+S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}×2×2+\frac{1}{2}×2×4=2 + 4=6$。
(3)如果函数$y= \frac{1}{4}x^{2}的图象上存在点P$,使得$\triangle PAB的面积等于\triangle AOB$面积的一半,那么这样的点$P$共有
4
个.答案
1. （1）
首先求$A$，$B$两点的纵坐标：
已知$y = \frac{1}{4}x^{2}$，当$x=-2$时，$y_A=\frac{1}{4}×(-2)^{2}=1$，所以$A(-2,1)$；当$x = 4$时，$y_B=\frac{1}{4}×4^{2}=4$，所以$B(4,4)$。
设直线$AB$的解析式为$y=kx + b$，将$A(-2,1)$，$B(4,4)$代入$y = kx + b$得$\begin{cases}-2k + b=1\\4k + b=4\end{cases}$。
用$4k + b=4$减去$-2k + b=1$：
$(4k + b)-(-2k + b)=4 - 1$，即$4k + b + 2k - b=3$，$6k=3$，解得$k=\frac{1}{2}$。
把$k=\frac{1}{2}$代入$-2k + b=1$，得$-2×\frac{1}{2}+b=1$，$-1 + b=1$，解得$b = 2$。
所以直线$AB$的函数解析式为$y=\frac{1}{2}x + 2$。
2. （2）
对于$y=\frac{1}{2}x + 2$，令$x = 0$，则$y = 2$，所以$C(0,2)$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高），$S_{\triangle AOB}=S_{\triangle AOC}+S_{\triangle BOC}$。
这里$OC = 2$，$A$点横坐标的绝对值$\vert x_A\vert=2$，$B$点横坐标$x_B = 4$。
$S_{\triangle AOC}=\frac{1}{2}× OC×\vert x_A\vert=\frac{1}{2}×2×2 = 2$，$S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}× OC× x_B=\frac{1}{2}×2×4 = 4$。
所以$S_{\triangle AOB}=2 + 4=6$。
3. （3）
因为$\triangle PAB$的面积等于$\triangle AOB$面积的一半，即$S_{\triangle PAB}=3$。
设与直线$AB$平行且距离为$h$的直线$l$：$y=\frac{1}{2}x + m$。
根据两平行直线$Ax+By + C_1 = 0$，$Ax+By + C_2 = 0$（$A$，$B$不同时为$0$）间的距离公式$d=\frac{\vert C_1 - C_2\vert}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$，对于$y=\frac{1}{2}x + 2$即$x - 2y+4 = 0$，$y=\frac{1}{2}x + m$即$x - 2y+2m = 0$，$S_{\triangle PAB}=\frac{1}{2}×\sqrt{(4 + 2)^{2}+(4 - 1)^{2}}× h=3$（$AB=\sqrt{(4 + 2)^{2}+(4 - 1)^{2}}=\sqrt{36 + 9}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$），也可根据$S_{\triangle PAB}=\frac{1}{2}×\vert m - 2\vert×\sqrt{(4 + 2)^{2}+(4 - 1)^{2}}÷\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}=3$（利用$S=\frac{1}{2}×$两平行线间距离$× AB$，$AB=\sqrt{(4 + 2)^{2}+(4 - 1)^{2}} = 3\sqrt{5}$，两平行线$x - 2y+4 = 0$与$x - 2y+2m = 0$间距离$d=\frac{\vert4 - 2m\vert}{\sqrt{1 + 4}}$）。
由$S_{\triangle PAB}=\frac{1}{2}×\vert m - 2\vert×\sqrt{(4 + 2)^{2}+(4 - 1)^{2}}÷\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}=3$，$\frac{1}{2}×\vert m - 2\vert×3\sqrt{5}÷\sqrt{5}=3$，$\frac{3}{2}\vert m - 2\vert=3$，$\vert m - 2\vert = 2$，$m=0$或$m = 4$。
当$m = 0$时，联立$\begin{cases}y=\frac{1}{4}x^{2}\\y=\frac{1}{2}x\end{cases}$，即$\frac{1}{4}x^{2}-\frac{1}{2}x=0$，$x^{2}-2x=0$，$x(x - 2)=0$，$x = 0$或$x = 2$；当$m = 4$时，联立$\begin{cases}y=\frac{1}{4}x^{2}\\y=\frac{1}{2}x + 4\end{cases}$，即$\frac{1}{4}x^{2}-\frac{1}{2}x - 4=0$，$x^{2}-2x - 16=0$，$\Delta=(-2)^{2}-4×1×(-16)=4 + 64 = 68\gt0$，有两个不同的解。
所以这样的点$P$共有$4$个。
综上，答案依次为：（1）$y=\frac{1}{2}x + 2$；（2）$6$；（3）$4$。
首先求$A$，$B$两点的纵坐标：
已知$y = \frac{1}{4}x^{2}$，当$x=-2$时，$y_A=\frac{1}{4}×(-2)^{2}=1$，所以$A(-2,1)$；当$x = 4$时，$y_B=\frac{1}{4}×4^{2}=4$，所以$B(4,4)$。
设直线$AB$的解析式为$y=kx + b$，将$A(-2,1)$，$B(4,4)$代入$y = kx + b$得$\begin{cases}-2k + b=1\\4k + b=4\end{cases}$。
用$4k + b=4$减去$-2k + b=1$：
$(4k + b)-(-2k + b)=4 - 1$，即$4k + b + 2k - b=3$，$6k=3$，解得$k=\frac{1}{2}$。
把$k=\frac{1}{2}$代入$-2k + b=1$，得$-2×\frac{1}{2}+b=1$，$-1 + b=1$，解得$b = 2$。
所以直线$AB$的函数解析式为$y=\frac{1}{2}x + 2$。
2. （2）
对于$y=\frac{1}{2}x + 2$，令$x = 0$，则$y = 2$，所以$C(0,2)$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高），$S_{\triangle AOB}=S_{\triangle AOC}+S_{\triangle BOC}$。
这里$OC = 2$，$A$点横坐标的绝对值$\vert x_A\vert=2$，$B$点横坐标$x_B = 4$。
$S_{\triangle AOC}=\frac{1}{2}× OC×\vert x_A\vert=\frac{1}{2}×2×2 = 2$，$S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}× OC× x_B=\frac{1}{2}×2×4 = 4$。
所以$S_{\triangle AOB}=2 + 4=6$。
3. （3）
因为$\triangle PAB$的面积等于$\triangle AOB$面积的一半，即$S_{\triangle PAB}=3$。
设与直线$AB$平行且距离为$h$的直线$l$：$y=\frac{1}{2}x + m$。
根据两平行直线$Ax+By + C_1 = 0$，$Ax+By + C_2 = 0$（$A$，$B$不同时为$0$）间的距离公式$d=\frac{\vert C_1 - C_2\vert}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$，对于$y=\frac{1}{2}x + 2$即$x - 2y+4 = 0$，$y=\frac{1}{2}x + m$即$x - 2y+2m = 0$，$S_{\triangle PAB}=\frac{1}{2}×\sqrt{(4 + 2)^{2}+(4 - 1)^{2}}× h=3$（$AB=\sqrt{(4 + 2)^{2}+(4 - 1)^{2}}=\sqrt{36 + 9}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$），也可根据$S_{\triangle PAB}=\frac{1}{2}×\vert m - 2\vert×\sqrt{(4 + 2)^{2}+(4 - 1)^{2}}÷\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}=3$（利用$S=\frac{1}{2}×$两平行线间距离$× AB$，$AB=\sqrt{(4 + 2)^{2}+(4 - 1)^{2}} = 3\sqrt{5}$，两平行线$x - 2y+4 = 0$与$x - 2y+2m = 0$间距离$d=\frac{\vert4 - 2m\vert}{\sqrt{1 + 4}}$）。
由$S_{\triangle PAB}=\frac{1}{2}×\vert m - 2\vert×\sqrt{(4 + 2)^{2}+(4 - 1)^{2}}÷\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}=3$，$\frac{1}{2}×\vert m - 2\vert×3\sqrt{5}÷\sqrt{5}=3$，$\frac{3}{2}\vert m - 2\vert=3$，$\vert m - 2\vert = 2$，$m=0$或$m = 4$。
当$m = 0$时，联立$\begin{cases}y=\frac{1}{4}x^{2}\\y=\frac{1}{2}x\end{cases}$，即$\frac{1}{4}x^{2}-\frac{1}{2}x=0$，$x^{2}-2x=0$，$x(x - 2)=0$，$x = 0$或$x = 2$；当$m = 4$时，联立$\begin{cases}y=\frac{1}{4}x^{2}\\y=\frac{1}{2}x + 4\end{cases}$，即$\frac{1}{4}x^{2}-\frac{1}{2}x - 4=0$，$x^{2}-2x - 16=0$，$\Delta=(-2)^{2}-4×1×(-16)=4 + 64 = 68\gt0$，有两个不同的解。
所以这样的点$P$共有$4$个。
综上，答案依次为：（1）$y=\frac{1}{2}x + 2$；（2）$6$；（3）$4$。
