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1. 已知下列一组数:$1,\frac{3}{4},\frac{5}{9},\frac{7}{16},\frac{9}{25},…$。若用代数式表示第n个数,则第n个数是( )
A.$\frac{2n-1}{3n-2}$
B.$\frac{2n-1}{n^2}$
C.$\frac{2n+1}{3n-2}$
D.$\frac{2n+1}{n^2}$
A.$\frac{2n-1}{3n-2}$
B.$\frac{2n-1}{n^2}$
C.$\frac{2n+1}{3n-2}$
D.$\frac{2n+1}{n^2}$
答案
B
解析
观察这组数：第1个数为$1=\frac{2×1 - 1}{1^2}$，第2个数为$\frac{3}{4}=\frac{2×2 - 1}{2^2}$，第3个数为$\frac{5}{9}=\frac{2×3 - 1}{3^2}$，第4个数为$\frac{7}{16}=\frac{2×4 - 1}{4^2}$，第5个数为$\frac{9}{25}=\frac{2×5 - 1}{5^2}$，…，则第n个数是$\frac{2n - 1}{n^2}$。
B
B
2. 观察下列单项式:$x,3x^2,5x^3,7x,9x^2,11x^3,…$。则第2024个单项式是______。
答案
$4047x^{2}$
解析
观察系数：1，3，5，7，9，11，…，规律为第$n$项系数是$2n - 1$，第2024项系数是$2×2024 - 1 = 4047$；
观察字母及指数：$x$，$x^2$，$x^3$，$x$，$x^2$，$x^3$，…，周期为3，$2024÷3 = 674\cdots\cdots2$，余数为2，指数是2；
第2024个单项式是$4047x^{2}$。
观察字母及指数：$x$，$x^2$，$x^3$，$x$，$x^2$，$x^3$，…，周期为3，$2024÷3 = 674\cdots\cdots2$，余数为2，指数是2；
第2024个单项式是$4047x^{2}$。
3. 有一种塑料杯子的高度是10 cm,两个以及三个这种杯子叠放时高度如下图所示,则n个这种杯子叠放在一起的高度是______cm。(用含n的代数式表示)
答案
(3n+7)
解析
1个杯子高度：10 cm
2个杯子高度：13 cm，增加高度：13 - 10 = 3 cm
3个杯子高度：16 cm，增加高度：16 - 13 = 3 cm
每增加1个杯子，高度增加3 cm
n个杯子高度：10 + 3(n - 1) = 3n + 7
(3n+7)
2个杯子高度：13 cm，增加高度：13 - 10 = 3 cm
3个杯子高度：16 cm，增加高度：16 - 13 = 3 cm
每增加1个杯子，高度增加3 cm
n个杯子高度：10 + 3(n - 1) = 3n + 7
(3n+7)
4. 定义一种新运算,规律如下:
$1\oplus2= 3×1-2= 1$,
$5\oplus3= 3×5-3= 12$,
$4\oplus(-1)= 3×4+1= 13$,
$(-2)\oplus(-6)= 3×(-2)+6= 0$。
(1)直接写出$a\oplus b= $______。(用含a,b的代数式表示)
(2)化简:$(a-b)\oplus(a\oplus b)$。
$1\oplus2= 3×1-2= 1$,
$5\oplus3= 3×5-3= 12$,
$4\oplus(-1)= 3×4+1= 13$,
$(-2)\oplus(-6)= 3×(-2)+6= 0$。
(1)直接写出$a\oplus b= $______。(用含a,b的代数式表示)
(2)化简:$(a-b)\oplus(a\oplus b)$。
答案
(1)3a-b
(2)(a-b)⊕(a⊕b)=(a-b)⊕(3a-b)=3×(a-b)-(3a-b)=3a-3b-3a+b=-2b。
5. 观察:
(1)思考:上面表格中m,n的值分别是多少?
(2)探究:第10个数是什么?它个位上的数字是多少?
(3)延伸:$2^{2024}$的个位数字是多少?
(4)拓展:用含k的代数式表示个位上的数字是6的数的序号。(k为正整数)
(1)思考:上面表格中m,n的值分别是多少?
(2)探究:第10个数是什么?它个位上的数字是多少?
(3)延伸:$2^{2024}$的个位数字是多少?
(4)拓展:用含k的代数式表示个位上的数字是6的数的序号。(k为正整数)
答案
(1)因为$2^{5}=32,2^{6}=64$,所以m=2,n=4。
(2)观察表格可知,第10个数是$2^{9},2^{9}=512$,所以个位上的数字是2。
(3)因为2024÷4=506,从$2^{1}$开始,个位上的数字是以2,4,8,6每4个一循环排列，所以$2^{2024}$的个位数字是6。
(4)因为个位上的数字是6的数的序号是5,9,13,…,所以个位上的数字是6的数的序号为4k+1。
(2)观察表格可知,第10个数是$2^{9},2^{9}=512$,所以个位上的数字是2。
(3)因为2024÷4=506,从$2^{1}$开始,个位上的数字是以2,4,8,6每4个一循环排列，所以$2^{2024}$的个位数字是6。
(4)因为个位上的数字是6的数的序号是5,9,13,…,所以个位上的数字是6的数的序号为4k+1。
