【例1】如图,学校准备新建一个长度为L的读书长廊,并准备用若干块带有花纹和没有花纹的两种规格大小相同的正方形地面砖搭配在一起,按图中所示的规律拼成图案铺满长廊,已知每个小正方形地面砖的边长均为0.5 m。

(1)按图示规律,第一个图案的长度$L_1= $______m;第二个图案的长度$L_2= $______m。
(2)用代数式表示带有花纹的地面砖块数n与长廊的长度$L_n$(m)之间的关系:______。

(1)1.5 2.5
(2)$L_{n}=n+0.5$

【变式】如图,这是一组有规律的图案,它们是由正三角形组成的,第1个图案中有6个正三角形,第2个图案中有10个正三角形,第3个图案中有14个正三角形……按此规律,第n个图案中有______个正三角形。(用含n的代数式表示)
……

(4n+2)

【例2】观察下列各算式:
$1+3= 4= 2^2$,
$1+3+5= 9= 3^2$,
$1+3+5+7= 16= 4^2$,
…
(1)试猜想$1+3+5+7+…+2005+2007$的值。
(2)推广:求$1+3+5+7+9+…+(2n-1)+(2n+1)$的值。

(1)$1004^{2}$
(2)$(n+1)^{2}$

【变式】已知一列数$a_1,a_2,a_3,…,a_n$,其中$a_1= 0,a_2= 2a_1+1,a_3= 2a_2+1,…,a_{n+1}= 2a_n+1$,则$a_{2020}-a_{2019}$的个位数字是______。

4

由题意得：
$a_1 = 0$
$a_2 = 2a_1 + 1 = 2×0 + 1 = 1$，$a_2 - a_1 = 1 - 0 = 1$
$a_3 = 2a_2 + 1 = 2×1 + 1 = 3$，$a_3 - a_2 = 3 - 1 = 2$
$a_4 = 2a_3 + 1 = 2×3 + 1 = 7$，$a_4 - a_3 = 7 - 3 = 4$
$a_5 = 2a_4 + 1 = 2×7 + 1 = 15$，$a_5 - a_4 = 15 - 7 = 8$
$a_6 = 2a_5 + 1 = 2×15 + 1 = 31$，$a_6 - a_5 = 31 - 15 = 16$，个位数字为6
$a_7 = 2a_6 + 1 = 2×31 + 1 = 63$，$a_7 - a_6 = 63 - 31 = 32$，个位数字为2
$a_8 = 2a_7 + 1 = 2×63 + 1 = 127$，$a_8 - a_7 = 127 - 63 = 64$，个位数字为4
$a_9 = 2a_8 + 1 = 2×127 + 1 = 255$，$a_9 - a_8 = 255 - 127 = 128$，个位数字为8
$a_{10} = 2a_9 + 1 = 2×255 + 1 = 511$，$a_{10} - a_9 = 511 - 255 = 256$，个位数字为6
观察可得，从$a_4 - a_3$开始，个位数字依次为4，8，6，2，4，8，6，2…，周期为4
$n \geq 3$时，$a_{n+1} - a_n$的个位数字周期为4，对应序号：$n=3$（4），$n=4$（8），$n=5$（6），$n=6$（2），$n=7$（4）…
$2019 - 3 + 1 = 2017$，$2017÷4 = 504\cdots\cdots1$，故$a_{2020}-a_{2019}$的个位数字与周期中第1个数字相同，为4
4

【例3】有一组分数,按下列规律排列:$1,\frac{1}{2},\frac{2}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{3}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{2}{4},\frac{3}{4},\frac{4}{4},\frac{3}{4},\frac{2}{4},\frac{1}{4},…$
(1)$\frac{7}{10}$是第几个分数?
(2)第400个分数是几分之几?

解:
(1)第88个和第94个分数
(2)$\frac{1}{20}$