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1. 画$y=ax^2(a＜0)$的图象
画$y=ax^2(a＜0)$的图象时，可以先画出图象在y轴右边的部分，然后利用
画$y=ax^2(a＜0)$的图象时，可以先画出图象在y轴右边的部分，然后利用
对称性
，再画出图象在y轴左边的部分. 在画右边部分时，只需“列表
、描点
、连线
”三个步骤.答案
1. 对称性 列表 描点 连线
解析
【分析】
首先回忆二次函数$y=ax^2$的图象特征：它的图象是抛物线，关于y轴对称，所以只需画出一侧的图象，就能通过对称性得到另一侧的图象，无需重复计算坐标描点。其次初中阶段绘制任意函数图象的通用基础步骤为列表、描点、连线，画$y=ax^2$在y轴右侧的图象时也遵循这一步骤。
【解析】
二次函数$y=ax^2$的图象是抛物线，具备关于y轴对称的性质，因此画出y轴右侧的图象后，可利用对称性直接得到y轴左侧的图象。绘制函数图象的标准操作步骤为列表、描点、连线，画右侧部分时按照这三步执行即可。
【答案】
对称性 列表 描点 连线
【知识点】
二次函数的对称性，函数图象画法
【点评】
本题是基础概念类题目，主要考查二次函数图象的特点和函数图象的绘制步骤，牢记相关基础知识点即可快速作答。
【难度系数】
0.9
首先回忆二次函数$y=ax^2$的图象特征：它的图象是抛物线，关于y轴对称，所以只需画出一侧的图象，就能通过对称性得到另一侧的图象，无需重复计算坐标描点。其次初中阶段绘制任意函数图象的通用基础步骤为列表、描点、连线，画$y=ax^2$在y轴右侧的图象时也遵循这一步骤。
【解析】
二次函数$y=ax^2$的图象是抛物线，具备关于y轴对称的性质，因此画出y轴右侧的图象后，可利用对称性直接得到y轴左侧的图象。绘制函数图象的标准操作步骤为列表、描点、连线，画右侧部分时按照这三步执行即可。
【答案】
对称性 列表 描点 连线
【知识点】
二次函数的对称性，函数图象画法
【点评】
本题是基础概念类题目，主要考查二次函数图象的特点和函数图象的绘制步骤，牢记相关基础知识点即可快速作答。
【难度系数】
0.9
【变式】二次函数$y=-8x^2$的图象大致为（
C
）答案
C
解析
【分析】
要判断二次函数$y=-8x^2$的图象，我们可以结合二次函数$y=ax^2$的性质分步筛选：第一步先根据$a$的符号判断开口方向，排除不符合的选项；第二步再根据函数的顶点坐标、对称轴特征进一步筛选，最终得到正确答案。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2$：
1. 首先判断开口方向：本题中$a=-8＜0$，因此抛物线开口向下，直接排除开口向上的选项A、B；
2. 再判断顶点位置：二次函数$y=-8x^2$没有一次项和常数项，因此顶点坐标为$(0,0)$，对称轴为$y$轴。选项D的顶点在$y$轴正半轴，与$x$轴有两个交点，不符合顶点在原点的特征，排除D；
选项C的图象开口向下，顶点在原点，符合$y=-8x^2$的图象特征。
【答案】
C
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的开口方向；二次函数$y=ax^2$的顶点坐标
【点评】
本题是二次函数图象的基础考查题，熟练掌握$y=ax^2$类二次函数的图象性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
要判断二次函数$y=-8x^2$的图象，我们可以结合二次函数$y=ax^2$的性质分步筛选：第一步先根据$a$的符号判断开口方向，排除不符合的选项；第二步再根据函数的顶点坐标、对称轴特征进一步筛选，最终得到正确答案。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2$：
1. 首先判断开口方向：本题中$a=-8＜0$，因此抛物线开口向下，直接排除开口向上的选项A、B；
2. 再判断顶点位置：二次函数$y=-8x^2$没有一次项和常数项，因此顶点坐标为$(0,0)$，对称轴为$y$轴。选项D的顶点在$y$轴正半轴，与$x$轴有两个交点，不符合顶点在原点的特征，排除D；
选项C的图象开口向下，顶点在原点，符合$y=-8x^2$的图象特征。
【答案】
C
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的开口方向；二次函数$y=ax^2$的顶点坐标
【点评】
本题是二次函数图象的基础考查题，熟练掌握$y=ax^2$类二次函数的图象性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
【例2】已知函数$y=-\frac{1}{3}x^2$，回答下列各题：
(1)其图象的开口方向：
(2)其图象的对称轴：
(3)其图象的顶点坐标：
(4)当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而
(5)当$x$
(1)其图象的开口方向：
向下
；(2)其图象的对称轴：
y轴
；(3)其图象的顶点坐标：
(0,0)
；(4)当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而
减小
；(5)当$x$
=0
时，函数$y$的最大
(填“大”或“小”)值是0
。答案
(1) 向下
(2) y轴
(3) (0,0)
(4) 减小
(5) =0 大 0
(2) y轴
(3) (0,0)
(4) 减小
(5) =0 大 0
解析
【分析】
本题考查形如$y=ax^2$的二次函数的基本性质，解题思路是先确定二次项系数$a$的取值，再结合$y=ax^2$的图象特征、增减性、最值等性质，逐一对应求解各个问题即可。
【解析】
已知函数为$y=-\frac{1}{3}x^2$，属于二次函数的基本形式$y=ax^2$，其中二次项系数$a=-\frac{1}{3}$：
(1) 因为$a=-\frac{1}{3}＜0$，所以二次函数图象的开口方向向下；
(2) 对于$y=ax^2$形式的二次函数，其图象的对称轴为y轴；
(3) $y=ax^2$的图象顶点为坐标原点，故顶点坐标为$(0,0)$；
(4) 由于图象开口向下，在对称轴右侧（即$x＞0$时），$y$随$x$的增大而减小；
(5) 开口向下的抛物线有最高点，因此函数存在最大值，最大值在顶点处取得，即当$x=0$时，$y$的最大值为$0$。
【答案】
(1) 向下
(2) y轴
(3) $(0,0)$
(4) 减小
(5) $=0$；大；$0$
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数增减性；二次函数最值
【点评】
本题是二次函数性质的基础考察题，难度较低，熟练掌握$y=ax^2$的图象与相关性质即可快速作答，是学习更复杂二次函数的重要基础。
【难度系数】
0.9
本题考查形如$y=ax^2$的二次函数的基本性质，解题思路是先确定二次项系数$a$的取值，再结合$y=ax^2$的图象特征、增减性、最值等性质，逐一对应求解各个问题即可。
【解析】
已知函数为$y=-\frac{1}{3}x^2$，属于二次函数的基本形式$y=ax^2$，其中二次项系数$a=-\frac{1}{3}$：
(1) 因为$a=-\frac{1}{3}＜0$，所以二次函数图象的开口方向向下；
(2) 对于$y=ax^2$形式的二次函数，其图象的对称轴为y轴；
(3) $y=ax^2$的图象顶点为坐标原点，故顶点坐标为$(0,0)$；
(4) 由于图象开口向下，在对称轴右侧（即$x＞0$时），$y$随$x$的增大而减小；
(5) 开口向下的抛物线有最高点，因此函数存在最大值，最大值在顶点处取得，即当$x=0$时，$y$的最大值为$0$。
【答案】
(1) 向下
(2) y轴
(3) $(0,0)$
(4) 减小
(5) $=0$；大；$0$
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数增减性；二次函数最值
【点评】
本题是二次函数性质的基础考察题，难度较低，熟练掌握$y=ax^2$的图象与相关性质即可快速作答，是学习更复杂二次函数的重要基础。
【难度系数】
0.9
【例1】在如图所示的同一平面直角坐标系中，画出函数$y=-4x^2$与$y=-\frac{1}{4}x^2$的图象。
答案
解:如图.
解析
【分析】
要画出这两个二次函数的图像，首先回忆函数图像的基本画法是描点法，同时结合$y=ax^2$型二次函数的性质简化操作：①两个函数均为$y=ax^2$的形式，顶点都在原点，对称轴为y轴，因此只需计算y轴一侧的点，另一侧可根据对称性直接得到；②两个函数的二次项系数均为负，因此开口都向下，且$|a|$越大抛物线开口越小，可知$y=-4x^2$的开口更窄，$y=-\frac{1}{4}x^2$的开口更宽，可提前预判图像形态。画图时按照描点法的三步：列表、描点、连线依次操作即可。
【解析】
我们用描点法绘制两个函数的图像，步骤如下：
1. 列表：选取关于y轴对称的x值，分别计算对应y值：
对于$y=-4x^2$：
|x| -1 | 0 | 1 |
|---|---|---|---|
|y| -4 | 0 | -4 |
对于$y=-\frac{1}{4}x^2$：
|x| -4 | -2 | 0 | 2 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
|y| -4 | -1 | 0 | -1 | -4 |
2. 描点：将上述表格中的坐标对应到平面直角坐标系中，描出各个点。
3. 连线：按照x从左到右的顺序，用平滑的曲线顺次连接各点，两端适当延长，即可得到两个二次函数的图像。
【答案】
如图.
【知识点】
描点法画函数图像；二次函数$y=ax^2$的性质
【点评】
本题是二次函数图像的基础作图题，核心考查描点法的应用和$y=ax^2$型二次函数的图像特征，利用二次函数的对称性能简化画图过程，掌握二次项系数a对抛物线开口方向、开口大小的影响能帮助我们快速校验图像是否正确，是后续学习二次函数的基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
要画出这两个二次函数的图像，首先回忆函数图像的基本画法是描点法，同时结合$y=ax^2$型二次函数的性质简化操作：①两个函数均为$y=ax^2$的形式，顶点都在原点，对称轴为y轴，因此只需计算y轴一侧的点，另一侧可根据对称性直接得到；②两个函数的二次项系数均为负，因此开口都向下，且$|a|$越大抛物线开口越小，可知$y=-4x^2$的开口更窄，$y=-\frac{1}{4}x^2$的开口更宽，可提前预判图像形态。画图时按照描点法的三步：列表、描点、连线依次操作即可。
【解析】
我们用描点法绘制两个函数的图像，步骤如下：
1. 列表：选取关于y轴对称的x值，分别计算对应y值：
对于$y=-4x^2$：
|x| -1 | 0 | 1 |
|---|---|---|---|
|y| -4 | 0 | -4 |
对于$y=-\frac{1}{4}x^2$：
|x| -4 | -2 | 0 | 2 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
|y| -4 | -1 | 0 | -1 | -4 |
2. 描点：将上述表格中的坐标对应到平面直角坐标系中，描出各个点。
3. 连线：按照x从左到右的顺序，用平滑的曲线顺次连接各点，两端适当延长，即可得到两个二次函数的图像。
【答案】
如图.
【知识点】
描点法画函数图像；二次函数$y=ax^2$的性质
【点评】
本题是二次函数图像的基础作图题，核心考查描点法的应用和$y=ax^2$型二次函数的图像特征，利用二次函数的对称性能简化画图过程，掌握二次项系数a对抛物线开口方向、开口大小的影响能帮助我们快速校验图像是否正确，是后续学习二次函数的基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
【变式】关于二次函数$y=-5x^2$，下列说法正确的是（
A.图象的开口向上
B.当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大
C.图象的顶点坐标是$(-5,0)$
D.当$x=0$时，$y$有最小值为0
B
）A.图象的开口向上
B.当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大
C.图象的顶点坐标是$(-5,0)$
D.当$x=0$时，$y$有最小值为0
答案
B
解析
【分析】
本题考查二次函数$y=ax^2$的基本性质，解题时先明确该类二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值与参数$a$的关系，再逐一分析每个选项即可得出正确答案。
【解析】
对于二次函数$y=-5x^2$，其中$a=-5＜0$，对称轴为$y$轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,0)$：
选项A：$a=-5＜0$，二次函数图象开口向下，故A错误；
选项B：因图象开口向下，对称轴为$y$轴，所以当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大，故B正确；
选项C：该函数图象的顶点坐标为$(0,0)$，故C错误；
选项D：因图象开口向下，顶点为图象最高点，所以当$x=0$时，$y$有最大值为$0$，故D错误。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数的增减性；二次函数的最值
【点评】
本题属于基础题型，重点考查形如$y=ax^2$的二次函数的核心性质，熟练掌握参数$a$对函数图象特征、增减性、最值的影响是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数$y=ax^2$的基本性质，解题时先明确该类二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值与参数$a$的关系，再逐一分析每个选项即可得出正确答案。
【解析】
对于二次函数$y=-5x^2$，其中$a=-5＜0$，对称轴为$y$轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,0)$：
选项A：$a=-5＜0$，二次函数图象开口向下，故A错误；
选项B：因图象开口向下，对称轴为$y$轴，所以当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大，故B正确；
选项C：该函数图象的顶点坐标为$(0,0)$，故C错误；
选项D：因图象开口向下，顶点为图象最高点，所以当$x=0$时，$y$有最大值为$0$，故D错误。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数的增减性；二次函数的最值
【点评】
本题属于基础题型，重点考查形如$y=ax^2$的二次函数的核心性质，熟练掌握参数$a$对函数图象特征、增减性、最值的影响是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
