登录
2. (2025 梧州期中)二次函数 $y=3x^2$ 的图象一定经过 （
A.第一、二象限
B.第三、四象限
C.第一、三象限
D.第二、四象限
A
）A.第一、二象限
B.第三、四象限
C.第一、三象限
D.第二、四象限
答案
2. A
解析
【分析】
解题时先回忆二次函数$y=ax^2$的基本性质，首先看二次项系数a的符号确定开口方向，再结合$x^2$的非负性判断函数值y的符号，最后结合平面直角坐标系各象限的坐标正负特征，即可判断图象经过的象限。
【解析】
对于二次函数$y=3x^2$：
1. 二次项系数$a=3＞0$，因此抛物线开口向上，顶点坐标为$(0,0)$（原点）；
2. 对任意实数$x$，都有$x^2≥0$，因此$y=3x^2≥0$，即除顶点外，所有点的纵坐标$y$都为正；
3. 当$x＞0$时，$y＞0$，对应点在第一象限；当$x＜0$时，$y＞0$，对应点在第二象限。
因此该二次函数的图象一定经过第一、二象限，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的图象与性质
2. 象限的坐标特征
【点评】
本题是基础题，核心考查二次项系数为正的$y=ax^2$类二次函数的图象特点，掌握开口方向、函数值的取值范围即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆二次函数$y=ax^2$的基本性质，首先看二次项系数a的符号确定开口方向，再结合$x^2$的非负性判断函数值y的符号，最后结合平面直角坐标系各象限的坐标正负特征，即可判断图象经过的象限。
【解析】
对于二次函数$y=3x^2$：
1. 二次项系数$a=3＞0$，因此抛物线开口向上，顶点坐标为$(0,0)$（原点）；
2. 对任意实数$x$，都有$x^2≥0$，因此$y=3x^2≥0$，即除顶点外，所有点的纵坐标$y$都为正；
3. 当$x＞0$时，$y＞0$，对应点在第一象限；当$x＜0$时，$y＞0$，对应点在第二象限。
因此该二次函数的图象一定经过第一、二象限，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的图象与性质
2. 象限的坐标特征
【点评】
本题是基础题，核心考查二次项系数为正的$y=ax^2$类二次函数的图象特点，掌握开口方向、函数值的取值范围即可快速解题。
【难度系数】
0.9
3. (2026南宁月考)若函数$y=3x^2$的图象经过点$P(1,n)$，则$n$的值为（
A.3
B.6
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
A
）A.3
B.6
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
答案
3. A
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确核心规律：如果一个点在某函数的图象上，那么这个点的横、纵坐标一定满足该函数的解析式。本题已知点$P(1,n)$在函数$y=3x^2$的图象上，所以只需把点的横坐标$x=1$代入函数解析式，计算得出的$y$值就是$n$的值。
【解析】
$\because$ 点$P(1,n)$在函数$y=3x^2$的图象上
$\therefore$ 将$x=1$代入$y=3x^2$得：
$n=3×1^2=3×1=3$
因此$n$的值为3，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
函数图象上点的坐标特征；代入求值
【点评】
本题属于基础题，核心考查函数图象与点的对应关系，计算量极小，只要掌握“点在图象上则坐标满足函数解析式”的规律即可快速得分。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先要明确核心规律：如果一个点在某函数的图象上，那么这个点的横、纵坐标一定满足该函数的解析式。本题已知点$P(1,n)$在函数$y=3x^2$的图象上，所以只需把点的横坐标$x=1$代入函数解析式，计算得出的$y$值就是$n$的值。
【解析】
$\because$ 点$P(1,n)$在函数$y=3x^2$的图象上
$\therefore$ 将$x=1$代入$y=3x^2$得：
$n=3×1^2=3×1=3$
因此$n$的值为3，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
函数图象上点的坐标特征；代入求值
【点评】
本题属于基础题，核心考查函数图象与点的对应关系，计算量极小，只要掌握“点在图象上则坐标满足函数解析式”的规律即可快速得分。
【难度系数】
0.9
4. (2025江门月考)关于函数$y=36x^2$的叙述，错误的是（
A.图象的对称轴是y轴
B.图象与对称轴的交点是原点
C.当$x＞0$时，y随x的增大而增大
D.y有最大值
D
）A.图象的对称轴是y轴
B.图象与对称轴的交点是原点
C.当$x＞0$时，y随x的增大而增大
D.y有最大值
答案
4. D
解析
【分析】
本题考查二次函数$y=ax^2$的基本性质，解题思路为：首先根据函数表达式确定$a$的正负，明确开口方向，再依次回忆该类二次函数的对称轴、顶点坐标、增减性、最值等核心性质，逐一核对每个选项的正误，最终选出错误的选项。
【解析】
对于函数$y=36x^2$，属于二次函数$y=ax^2$的形式，其中$a=36＞0$：
1. 验证A选项：$y=ax^2$的对称轴为直线$x=0$，也就是y轴，因此A选项表述正确；
2. 验证B选项：图象与对称轴的交点即为二次函数的顶点，$y=36x^2$的顶点坐标为$(0,0)$，也就是原点，因此B选项表述正确；
3. 验证C选项：因为$a＞0$，二次函数开口向上，在对称轴右侧（即$x＞0$时），$y$随$x$的增大而增大，因此C选项表述正确；
4. 验证D选项：开口向上的二次函数图象有最低点，因此$y$有最小值，无最大值（$x$取值越大，$y$的值越大，可无限增大），因此D选项表述错误。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数的增减性；二次函数的最值
【点评】
本题属于基础题，核心考查对$y=ax^2$型二次函数性质的掌握情况，牢记不同开口方向下对应的对称轴、增减性、最值规律即可快速解题。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数$y=ax^2$的基本性质，解题思路为：首先根据函数表达式确定$a$的正负，明确开口方向，再依次回忆该类二次函数的对称轴、顶点坐标、增减性、最值等核心性质，逐一核对每个选项的正误，最终选出错误的选项。
【解析】
对于函数$y=36x^2$，属于二次函数$y=ax^2$的形式，其中$a=36＞0$：
1. 验证A选项：$y=ax^2$的对称轴为直线$x=0$，也就是y轴，因此A选项表述正确；
2. 验证B选项：图象与对称轴的交点即为二次函数的顶点，$y=36x^2$的顶点坐标为$(0,0)$，也就是原点，因此B选项表述正确；
3. 验证C选项：因为$a＞0$，二次函数开口向上，在对称轴右侧（即$x＞0$时），$y$随$x$的增大而增大，因此C选项表述正确；
4. 验证D选项：开口向上的二次函数图象有最低点，因此$y$有最小值，无最大值（$x$取值越大，$y$的值越大，可无限增大），因此D选项表述错误。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数的增减性；二次函数的最值
【点评】
本题属于基础题，核心考查对$y=ax^2$型二次函数性质的掌握情况，牢记不同开口方向下对应的对称轴、增减性、最值规律即可快速解题。
【难度系数】
0.9
5. (2025 唐山期末)小明用软件绘制抛物线$y=4x^2$时，将“4”按成了“5”，和原图象相比，发生改变的是 (
A.开口方向
B.开口大小
C.对称轴
D.与对称轴的交点
B
)A.开口方向
B.开口大小
C.对称轴
D.与对称轴的交点
答案
5. B
解析
【分析】
本题考查二次函数$y=ax^2$的图象性质，解题时先明确修改前后的两个抛物线解析式分别为$y=4x^2$和$y=5x^2$，再依次对应四个选项，分析每个性质的决定因素，对比$a$的取值变化即可判断哪个属性发生改变。首先回忆$y=ax^2$的相关性质：开口方向由$a$的正负决定，开口大小由$|a|$的大小决定，对称轴固定为y轴（直线$x=0$），与对称轴的交点即顶点坐标为$(0,0)$，据此逐一验证选项即可。
【解析】
修改前后的抛物线解析式分别为$y=4x^2$和$y=5x^2$，逐一分析选项：
A. 开口方向由$a$的符号决定，4和5均为正数，两个抛物线开口都向上，开口方向不变，不符合题意；
B. 开口大小由$|a|$的大小决定，$|a|$越大开口越小，$|4|≠|5|$，因此开口大小发生改变，符合题意；
C. 形如$y=ax^2$的抛物线对称轴均为直线$x=0$（即y轴），对称轴不变，不符合题意；
D. 抛物线与对称轴的交点为顶点，两个抛物线的顶点均为$(0,0)$，交点不变，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的图象性质
2. 二次函数的开口特性
3. 二次函数的顶点与对称轴
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查二次函数解析式中二次项系数$a$对图象的影响，熟练掌握$y=ax^2$的各项性质即可快速选出正确答案。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数$y=ax^2$的图象性质，解题时先明确修改前后的两个抛物线解析式分别为$y=4x^2$和$y=5x^2$，再依次对应四个选项，分析每个性质的决定因素，对比$a$的取值变化即可判断哪个属性发生改变。首先回忆$y=ax^2$的相关性质：开口方向由$a$的正负决定，开口大小由$|a|$的大小决定，对称轴固定为y轴（直线$x=0$），与对称轴的交点即顶点坐标为$(0,0)$，据此逐一验证选项即可。
【解析】
修改前后的抛物线解析式分别为$y=4x^2$和$y=5x^2$，逐一分析选项：
A. 开口方向由$a$的符号决定，4和5均为正数，两个抛物线开口都向上，开口方向不变，不符合题意；
B. 开口大小由$|a|$的大小决定，$|a|$越大开口越小，$|4|≠|5|$，因此开口大小发生改变，符合题意；
C. 形如$y=ax^2$的抛物线对称轴均为直线$x=0$（即y轴），对称轴不变，不符合题意；
D. 抛物线与对称轴的交点为顶点，两个抛物线的顶点均为$(0,0)$，交点不变，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的图象性质
2. 二次函数的开口特性
3. 二次函数的顶点与对称轴
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查二次函数解析式中二次项系数$a$对图象的影响，熟练掌握$y=ax^2$的各项性质即可快速选出正确答案。
【难度系数】
0.9
6. 在同一平面直角坐标系中，画出函数 $y=\frac{1}{2}x^2$ 和 $y=2x^2$ 的图象.
答案
解:如图.
解析
【分析】
要画出两个二次函数的图象，我们采用描点法完成，具体思路如下：首先明确描点法画函数图象的三个步骤：列表、描点、连线。观察两个函数都是形如$y=ax^2$的二次函数，图象关于y轴对称，因此列表时可选取互为相反数的x值，简化函数值的计算；再根据计算出的坐标在坐标系中描出对应点，最后用平滑曲线依次连接各点即可得到函数图象。
【解析】
我们用描点法绘制两个函数的图象，步骤如下：
1. 列表：选取关于y轴对称的x值，分别计算两个函数对应的y值：
| $x$ | $\dots$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $\dots$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y=\frac{1}{2}x^2$ | $\dots$ | $2$ | $0.5$ | $0$ | $0.5$ | $2$ | $\dots$ |
| $y=2x^2$ | $\dots$ | $8$ | $2$ | $0$ | $2$ | $8$ | $\dots$ |
2. 描点：根据上表的坐标，在平面直角坐标系中准确描出对应的各点；
3. 连线：用平滑的曲线，按x从小到大的顺序依次连接各点，即可得到两个函数的图象。
【答案】
【知识点】
描点法画函数图象；二次函数$y=ax^2$的图象；二次函数的对称性
【点评】
本题考查二次函数图象的绘制，属于基础操作类题目，掌握描点法的基本步骤、熟悉$y=ax^2$类二次函数的对称性质是解题的关键，作图时注意要使用平滑曲线，保证图象的对称性。
【难度系数】
0.85
要画出两个二次函数的图象，我们采用描点法完成，具体思路如下：首先明确描点法画函数图象的三个步骤：列表、描点、连线。观察两个函数都是形如$y=ax^2$的二次函数，图象关于y轴对称，因此列表时可选取互为相反数的x值，简化函数值的计算；再根据计算出的坐标在坐标系中描出对应点，最后用平滑曲线依次连接各点即可得到函数图象。
【解析】
我们用描点法绘制两个函数的图象，步骤如下：
1. 列表：选取关于y轴对称的x值，分别计算两个函数对应的y值：
| $x$ | $\dots$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $\dots$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y=\frac{1}{2}x^2$ | $\dots$ | $2$ | $0.5$ | $0$ | $0.5$ | $2$ | $\dots$ |
| $y=2x^2$ | $\dots$ | $8$ | $2$ | $0$ | $2$ | $8$ | $\dots$ |
2. 描点：根据上表的坐标，在平面直角坐标系中准确描出对应的各点；
3. 连线：用平滑的曲线，按x从小到大的顺序依次连接各点，即可得到两个函数的图象。
【答案】
【知识点】
描点法画函数图象；二次函数$y=ax^2$的图象；二次函数的对称性
【点评】
本题考查二次函数图象的绘制，属于基础操作类题目，掌握描点法的基本步骤、熟悉$y=ax^2$类二次函数的对称性质是解题的关键，作图时注意要使用平滑曲线，保证图象的对称性。
【难度系数】
0.85
7. (2026 北京期末)在平面直角坐标系中，点$A(-2,3),B(3,4),y=ax^2$的图象如图所示，则$a$的值可以为 (
A.3
B.2
C.1.7
D.0.5
D
)A.3
B.2
C.1.7
D.0.5
答案
7. D
解析
【分析】
要确定a的取值，需结合点与抛物线的位置关系列不等式求解：首先明确，若点在抛物线上方，则点的纵坐标大于同x值对应的抛物线函数值；若点在抛物线下方，则点的纵坐标小于同x值对应的抛物线函数值。我们分别代入A、B两点的横坐标，结合两点和抛物线的位置关系列出不等式，求出a的取值范围，再匹配选项即可。
【解析】
观察图象可得：
1. 点$A(-2,3)$在抛物线$y=ax^2$的上方，因此当$x=-2$时，抛物线函数值小于3：
$a× (-2)^2 ＜ 3$
化简得$4a＜3$，解得$a＜0.75$。
2. 点$B(3,4)$在抛物线$y=ax^2$的下方，因此当$x=3$时，抛物线函数值大于4：
$a× 3^2 ＞ 4$
化简得$9a＞4$，解得$a＞\frac{4}{9}\approx0.44$。
综上，a的取值范围为$\frac{4}{9}＜a＜0.75$，四个选项中只有0.5符合该范围。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图象与性质，点与抛物线的位置关系，解一元一次不等式
【点评】
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题核心是根据点和抛物线的位置关系正确列出不等式，也可通过A点的取值范围直接排除不符合的选项，快速得到答案。
【难度系数】
0.7
要确定a的取值，需结合点与抛物线的位置关系列不等式求解：首先明确，若点在抛物线上方，则点的纵坐标大于同x值对应的抛物线函数值；若点在抛物线下方，则点的纵坐标小于同x值对应的抛物线函数值。我们分别代入A、B两点的横坐标，结合两点和抛物线的位置关系列出不等式，求出a的取值范围，再匹配选项即可。
【解析】
观察图象可得：
1. 点$A(-2,3)$在抛物线$y=ax^2$的上方，因此当$x=-2$时，抛物线函数值小于3：
$a× (-2)^2 ＜ 3$
化简得$4a＜3$，解得$a＜0.75$。
2. 点$B(3,4)$在抛物线$y=ax^2$的下方，因此当$x=3$时，抛物线函数值大于4：
$a× 3^2 ＞ 4$
化简得$9a＞4$，解得$a＞\frac{4}{9}\approx0.44$。
综上，a的取值范围为$\frac{4}{9}＜a＜0.75$，四个选项中只有0.5符合该范围。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图象与性质，点与抛物线的位置关系，解一元一次不等式
【点评】
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题核心是根据点和抛物线的位置关系正确列出不等式，也可通过A点的取值范围直接排除不符合的选项，快速得到答案。
【难度系数】
0.7
8. 如图,在同一平面直角坐标系中,作出了二次函数①$y=3x^2$;②$y=\frac{1}{2}x^2$;③$y=x^2$的图象,则开口由小到大的三条抛物线对应的二次函数依次是
C组
①③②
.(填写序号) C组答案
8. ①③②
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆二次函数$y=ax^2$的图象性质：仅含二次项的二次函数，抛物线开口大小由二次项系数$a$的绝对值决定，$\left|a\right|$越大，抛物线开口越小。我们只需要对比三个函数的$a$的绝对值大小，按照$\left|a\right|$从大到小的顺序排列，就能得到开口由小到大的抛物线对应顺序。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2$，其开口大小与二次项系数$a$的绝对值相关：$\left|a\right|$越大，抛物线的开口越小。
分别提取三个函数的二次项系数并计算绝对值：
①$y=3x^2$中，$a=3$，$\left|a\right|=3$；
②$y=\frac{1}{2}x^2$中，$a=\frac{1}{2}$，$\left|a\right|=\frac{1}{2}$；
③$y=x^2$中，$a=1$，$\left|a\right|=1$。
比较绝对值大小可得$3＞1＞\frac{1}{2}$，因此开口由小到大的顺序对应$\left|a\right|$从大到小的顺序，即①③②。
【答案】
①③②
【知识点】
1. 二次函数图象性质
2. 二次项系数与开口的关系
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次项系数对$y=ax^2$类二次函数开口大小的影响，牢记“$\left|a\right|$越大，抛物线开口越小”的规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆二次函数$y=ax^2$的图象性质：仅含二次项的二次函数，抛物线开口大小由二次项系数$a$的绝对值决定，$\left|a\right|$越大，抛物线开口越小。我们只需要对比三个函数的$a$的绝对值大小，按照$\left|a\right|$从大到小的顺序排列，就能得到开口由小到大的抛物线对应顺序。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2$，其开口大小与二次项系数$a$的绝对值相关：$\left|a\right|$越大，抛物线的开口越小。
分别提取三个函数的二次项系数并计算绝对值：
①$y=3x^2$中，$a=3$，$\left|a\right|=3$；
②$y=\frac{1}{2}x^2$中，$a=\frac{1}{2}$，$\left|a\right|=\frac{1}{2}$；
③$y=x^2$中，$a=1$，$\left|a\right|=1$。
比较绝对值大小可得$3＞1＞\frac{1}{2}$，因此开口由小到大的顺序对应$\left|a\right|$从大到小的顺序，即①③②。
【答案】
①③②
【知识点】
1. 二次函数图象性质
2. 二次项系数与开口的关系
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次项系数对$y=ax^2$类二次函数开口大小的影响，牢记“$\left|a\right|$越大，抛物线开口越小”的规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
9. 如图，已知抛物线 $y=x^2$ 与抛物线 $y=ax^2$ 在同一平面直角坐标系中，点A在$y=x^2$的图象上，点B在$y=ax^2$的图象上，且点B的坐标为$(2,2)$，$AB⊥ x$轴，垂足为C.
(1)求a的值；
(2)求$S_{△ AOB}$.
(1)求a的值；
(2)求$S_{△ AOB}$.
答案
9. 解:(1)把点B(2,2)代入$y=ax^2$，得$4a=2$,解得$a=\frac{1}{2}$.
(2)$\because$点B的坐标为$(2,2),\therefore OC=2,BC=2$.
把$x=2$代入$y=x^2$,得$y=4$.
$\therefore AC=4$.
$\therefore AB=AC-BC=4-2=2$,
$\therefore S_{△ AOB}=\frac{1}{2}AB· OC=\frac{1}{2}×2×2=2$.
(2)$\because$点B的坐标为$(2,2),\therefore OC=2,BC=2$.
把$x=2$代入$y=x^2$,得$y=4$.
$\therefore AC=4$.
$\therefore AB=AC-BC=4-2=2$,
$\therefore S_{△ AOB}=\frac{1}{2}AB· OC=\frac{1}{2}×2×2=2$.
解析
【分析】
(1) 求参数a的思路：二次函数图象上的点的坐标满足函数解析式，已知点B在抛物线$y=ax^2$上，将B点坐标代入解析式即可得到关于a的一元一次方程，解方程就能求出a的值。
(2) 求$△ AOB$面积的思路：由$AB⊥ x$轴可知A、B两点横坐标相同，先将$x=2$代入$y=x^2$求出A点纵坐标，进而得到线段AB的长度；$△ AOB$以AB为底时，底边上的高等于OC的长度（即点横坐标的绝对值），最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 将点B(2,2)代入抛物线解析式$y=ax^2$，得：
$2=a×2^2$
即$4a=2$，解得$a=\frac{1}{2}$。
(2) $\because AB⊥ x$轴，垂足为C，点B的横坐标为2，
$\therefore$点A的横坐标也为2，$OC=2$，$BC=2$。
将$x=2$代入$y=x^2$，得$y=2^2=4$，即$AC=4$。
$\therefore AB=AC-BC=4-2=2$。
根据三角形面积公式可得：
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× AB× OC=\frac{1}{2}×2×2=2$。
【答案】
(1) $a=\frac{1}{2}$；(2) $S_{△ AOB}=2$
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求解析式；三角形面积计算
【点评】
本题属于二次函数基础应用题，解题的核心是掌握函数图象上的点与解析式的对应关系，同时能结合坐标系的特点找到几何线段的长度，计算过程简单，属于常规基础题。
【难度系数】
0.8
(1) 求参数a的思路：二次函数图象上的点的坐标满足函数解析式，已知点B在抛物线$y=ax^2$上，将B点坐标代入解析式即可得到关于a的一元一次方程，解方程就能求出a的值。
(2) 求$△ AOB$面积的思路：由$AB⊥ x$轴可知A、B两点横坐标相同，先将$x=2$代入$y=x^2$求出A点纵坐标，进而得到线段AB的长度；$△ AOB$以AB为底时，底边上的高等于OC的长度（即点横坐标的绝对值），最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 将点B(2,2)代入抛物线解析式$y=ax^2$，得：
$2=a×2^2$
即$4a=2$，解得$a=\frac{1}{2}$。
(2) $\because AB⊥ x$轴，垂足为C，点B的横坐标为2，
$\therefore$点A的横坐标也为2，$OC=2$，$BC=2$。
将$x=2$代入$y=x^2$，得$y=2^2=4$，即$AC=4$。
$\therefore AB=AC-BC=4-2=2$。
根据三角形面积公式可得：
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× AB× OC=\frac{1}{2}×2×2=2$。
【答案】
(1) $a=\frac{1}{2}$；(2) $S_{△ AOB}=2$
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求解析式；三角形面积计算
【点评】
本题属于二次函数基础应用题，解题的核心是掌握函数图象上的点与解析式的对应关系，同时能结合坐标系的特点找到几何线段的长度，计算过程简单，属于常规基础题。
【难度系数】
0.8
