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9. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，以点A为圆心、AB长为半径作弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为 【 】
A.$\sqrt{5}$
B.0.8
C.$\sqrt{5}-2$
D.$3-\sqrt{5}$
A.$\sqrt{5}$
B.0.8
C.$\sqrt{5}-2$
D.$3-\sqrt{5}$
答案
D
解析
【分析】
解题时首先明确同圆的半径相等，可得AD=AB，先根据网格特征求出AB的长度和D点到AB的垂直距离；再构造以AD为斜边的直角三角形，利用勾股定理求出A点到D点的水平距离；最后根据线段和差关系即可求出CD的长度。
【解析】
过点D作DE⊥AB，垂足为E。
由网格特征可知：AB=3，DE=2。
∵AD、AB均为以A为圆心的圆的半径，
∴AD=AB=3。
在Rt△ADE中，根据勾股定理得：$AE^2 + DE^2 = AD^2$，
代入数值：$AE^2 + 2^2 = 3^2$，
计算得$AE^2 = 9 - 4 = 5$，
∴$AE = \sqrt{5}$（线段长度为正）。
∵DE⊥AB，BC⊥AB，DC//AB，
∴四边形EBCD是矩形，
∴CD=EB。
又
∵EB = AB - AE = $3 - \sqrt{5}$，
∴$CD = 3 - \sqrt{5}$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，同圆半径相等，矩形的性质
【点评】
本题结合网格背景考查几何基础计算，解题的核心是合理构造直角三角形，借助勾股定理求出未知线段长度，再通过线段和差得到所求结果，是勾股定理应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确同圆的半径相等，可得AD=AB，先根据网格特征求出AB的长度和D点到AB的垂直距离；再构造以AD为斜边的直角三角形，利用勾股定理求出A点到D点的水平距离；最后根据线段和差关系即可求出CD的长度。
【解析】
过点D作DE⊥AB，垂足为E。
由网格特征可知：AB=3，DE=2。
∵AD、AB均为以A为圆心的圆的半径，
∴AD=AB=3。
在Rt△ADE中，根据勾股定理得：$AE^2 + DE^2 = AD^2$，
代入数值：$AE^2 + 2^2 = 3^2$，
计算得$AE^2 = 9 - 4 = 5$，
∴$AE = \sqrt{5}$（线段长度为正）。
∵DE⊥AB，BC⊥AB，DC//AB，
∴四边形EBCD是矩形，
∴CD=EB。
又
∵EB = AB - AE = $3 - \sqrt{5}$，
∴$CD = 3 - \sqrt{5}$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，同圆半径相等，矩形的性质
【点评】
本题结合网格背景考查几何基础计算，解题的核心是合理构造直角三角形，借助勾股定理求出未知线段长度，再通过线段和差得到所求结果，是勾股定理应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
10. 如图,在4×4的正方形网格中,△ABC的顶点都在格点上,则下列结论中错误的是
【 】
A.$BC^2=5$
B.$AB=5$
C.$∠ ACB=90°$
D.$AC=4$
【 】
A.$BC^2=5$
B.$AB=5$
C.$∠ ACB=90°$
D.$AC=4$
答案
D
解析
【分析】
本题为网格背景下的几何判断题，解题核心是运用勾股定理计算格点线段的长度，再结合勾股定理逆定理判断直角。首先设每个小正方形的边长为1，将△ABC的三条边分别看作直角三角形的斜边，逐一计算各边的长度（或边长的平方），再逐个验证选项的正误，最终选出错误结论即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1：
1. 验证选项A：线段BC可看作直角边分别为1、2的直角三角形的斜边，由勾股定理得$BC^2=1^2+2^2=5$，故A选项结论正确，不符合题意；
2. 验证选项B：线段AB可看作直角边分别为3、4的直角三角形的斜边，由勾股定理得$AB^2=3^2+4^2=25$，因此$AB=5$，故B选项结论正确，不符合题意；
3. 验证选项D：线段AC可看作直角边分别为2、4的直角三角形的斜边，由勾股定理得$AC^2=2^2+4^2=20$，因此$AC=\sqrt{20}=2\sqrt{5}≠4$，故D选项结论错误；
4. 验证选项C：由以上计算得$AC^2+BC^2=20+5=25=AB^2$，根据勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形，且$∠ ACB=90°$，故C选项结论正确，不符合题意。
综上，结论错误的是D选项。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是网格中勾股定理应用的常见题型，解题关键是掌握格点线段长度的计算方法，能灵活运用勾股定理及其逆定理进行边长计算和直角判定，属于基础类考题。
【难度系数】
0.7
本题为网格背景下的几何判断题，解题核心是运用勾股定理计算格点线段的长度，再结合勾股定理逆定理判断直角。首先设每个小正方形的边长为1，将△ABC的三条边分别看作直角三角形的斜边，逐一计算各边的长度（或边长的平方），再逐个验证选项的正误，最终选出错误结论即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1：
1. 验证选项A：线段BC可看作直角边分别为1、2的直角三角形的斜边，由勾股定理得$BC^2=1^2+2^2=5$，故A选项结论正确，不符合题意；
2. 验证选项B：线段AB可看作直角边分别为3、4的直角三角形的斜边，由勾股定理得$AB^2=3^2+4^2=25$，因此$AB=5$，故B选项结论正确，不符合题意；
3. 验证选项D：线段AC可看作直角边分别为2、4的直角三角形的斜边，由勾股定理得$AC^2=2^2+4^2=20$，因此$AC=\sqrt{20}=2\sqrt{5}≠4$，故D选项结论错误；
4. 验证选项C：由以上计算得$AC^2+BC^2=20+5=25=AB^2$，根据勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形，且$∠ ACB=90°$，故C选项结论正确，不符合题意。
综上，结论错误的是D选项。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是网格中勾股定理应用的常见题型，解题关键是掌握格点线段长度的计算方法，能灵活运用勾股定理及其逆定理进行边长计算和直角判定，属于基础类考题。
【难度系数】
0.7
11. 如图，$∠ A = 90°$, $AC = AB = 8$, $CD = 4$, $BD = 12$,则 $∠ ACD =$
（第11题）（第12题）
45
$°$.（第11题）（第12题）
答案
11. 45
解析
【分析】
解题思路如下：1. 首先在Rt△ABC中，已知∠A=90°，AC=AB=8，可先利用勾股定理求出斜边BC的长度，同时根据等腰直角三角形的特征得到∠ACB的度数。2. 得到BC的长度后，对△BCD的三边长进行计算，通过勾股定理的逆定理判断△BCD是否为直角三角形，得到∠BCD的度数。3. 最后用∠BCD的度数减去∠ACB的度数，即可求出∠ACD的度数。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ A=90°$，$AC=AB=8$，
由勾股定理得：$BC^2=AC^2+AB^2=8^2+8^2=128$，
且$△ ABC$是等腰直角三角形，故$∠ ACB=45°$。
在$△ BCD$中，$CD=4$，$BD=12$，
计算得：$CD^2+BC^2=4^2+128=16+128=144$，$BD^2=12^2=144$，
$\therefore CD^2+BC^2=BD^2$，由勾股定理的逆定理可知$△ BCD$是直角三角形，且$∠ BCD=90°$，
$\therefore ∠ ACD=∠ BCD-∠ ACB=90°-45°=45°$。
【答案】
45
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题将勾股定理及其逆定理结合考查，解题的突破口是先求出公共边BC的长度，通过边长关系判断出直角三角形，再结合等腰直角三角形的角度特征求解所求角，能够有效检验学生对勾股定理相关知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 首先在Rt△ABC中，已知∠A=90°，AC=AB=8，可先利用勾股定理求出斜边BC的长度，同时根据等腰直角三角形的特征得到∠ACB的度数。2. 得到BC的长度后，对△BCD的三边长进行计算，通过勾股定理的逆定理判断△BCD是否为直角三角形，得到∠BCD的度数。3. 最后用∠BCD的度数减去∠ACB的度数，即可求出∠ACD的度数。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ A=90°$，$AC=AB=8$，
由勾股定理得：$BC^2=AC^2+AB^2=8^2+8^2=128$，
且$△ ABC$是等腰直角三角形，故$∠ ACB=45°$。
在$△ BCD$中，$CD=4$，$BD=12$，
计算得：$CD^2+BC^2=4^2+128=16+128=144$，$BD^2=12^2=144$，
$\therefore CD^2+BC^2=BD^2$，由勾股定理的逆定理可知$△ BCD$是直角三角形，且$∠ BCD=90°$，
$\therefore ∠ ACD=∠ BCD-∠ ACB=90°-45°=45°$。
【答案】
45
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题将勾股定理及其逆定理结合考查，解题的突破口是先求出公共边BC的长度，通过边长关系判断出直角三角形，再结合等腰直角三角形的角度特征求解所求角，能够有效检验学生对勾股定理相关知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
12. 如图，$△ ABC$的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，$BD ⊥ AC$于点D，则BD的长为
$\frac{16}{5}$
。答案
12. $\frac{16}{5}$
解析
【分析】
要求BD的长度，BD是AC边上的高，可采用等面积法求解：首先结合网格求出△ABC的面积，再用勾股定理计算出AC的长度，最后根据三角形面积公式“面积=1/2×底×高”建立关于BD的等式，即可解出BD的值。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
1. 计算△ABC的面积：
观察网格可得，边BC的长度为4，BC边上的高为4，因此
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × 4 × 4 = 8$。
2. 用勾股定理计算AC的长度：
点A到点C的水平距离为3，竖直距离为4，因此
$AC=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$。
3. 利用等面积法求BD：
因为$BD ⊥ AC$，所以$S_{△ ABC}$也可表示为$\frac{1}{2} × AC × BD$，代入已知值可得：
$8=\frac{1}{2} × 5 × BD$
解得$BD=\frac{16}{5}$。
【答案】
$\frac{16}{5}$
【知识点】
勾股定理，三角形面积计算，等面积法求线段长
【点评】
本题结合网格背景考查勾股定理和三角形面积公式的综合应用，等面积法是求解垂线段长度的常用思路，熟练掌握网格内线段长度、图形面积的计算方法是解决此类题的关键。
【难度系数】
0.65
要求BD的长度，BD是AC边上的高，可采用等面积法求解：首先结合网格求出△ABC的面积，再用勾股定理计算出AC的长度，最后根据三角形面积公式“面积=1/2×底×高”建立关于BD的等式，即可解出BD的值。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
1. 计算△ABC的面积：
观察网格可得，边BC的长度为4，BC边上的高为4，因此
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × 4 × 4 = 8$。
2. 用勾股定理计算AC的长度：
点A到点C的水平距离为3，竖直距离为4，因此
$AC=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$。
3. 利用等面积法求BD：
因为$BD ⊥ AC$，所以$S_{△ ABC}$也可表示为$\frac{1}{2} × AC × BD$，代入已知值可得：
$8=\frac{1}{2} × 5 × BD$
解得$BD=\frac{16}{5}$。
【答案】
$\frac{16}{5}$
【知识点】
勾股定理，三角形面积计算，等面积法求线段长
【点评】
本题结合网格背景考查勾股定理和三角形面积公式的综合应用，等面积法是求解垂线段长度的常用思路，熟练掌握网格内线段长度、图形面积的计算方法是解决此类题的关键。
【难度系数】
0.65
13. 图①②③均为$4×4$的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，按下列要求作图：
（1）在图①中，作线段$MN=\sqrt{10}$，点M、N均在格点上；
（2）在图②中，作正方形ABCD，使其面积为10，点A、B、C、D均在格点上；
（3）在图③中，作等腰直角三角形EFG，使其面积为$\frac{5}{2}$，点E、F、G均在格点上。
（1）在图①中，作线段$MN=\sqrt{10}$，点M、N均在格点上；
（2）在图②中，作正方形ABCD，使其面积为10，点A、B、C、D均在格点上；
（3）在图③中，作等腰直角三角形EFG，使其面积为$\frac{5}{2}$，点E、F、G均在格点上。
答案
13. 答案不唯一,符合要求即可,例如,小题(1)(2)(3)的作图分别如图①②③所示
解析
【分析】
（1）要构造长度为$\sqrt{10}$的线段，可结合勾股定理推导：$1^2+3^2=10$，因此只要找到横向间隔1格、纵向间隔3格（或横向间隔3格、纵向间隔1格）的两个格点，连接两点即可得到长度为$\sqrt{10}$的线段。
（2）正方形面积为10，可得其边长为$\sqrt{10}$，与（1）中所求线段长度一致。先画一条长为$\sqrt{10}$的线段作为正方形的边，再根据网格特征构造与该边垂直、长度也为$\sqrt{10}$的邻边，依次画出四条边，保证四个顶点都在格点上，即可得到面积为10的正方形。
（3）等腰直角三角形面积为$\frac{5}{2}$，设直角边长为$a$，由面积公式$\frac{1}{2}a^2=\frac{5}{2}$可算出$a^2=5$，即$a=\sqrt{5}$，结合勾股定理可知$1^2+2^2=5$，因此直角边为横纵差1和2的格点连线。接下来构造两条互相垂直、长度均为$\sqrt{5}$的线段作为直角边，三个端点均为格点，连接即可得到符合要求的三角形。
【解析】
（1）在图①中选取横向差1、纵向差3的两个格点标记为M、N，连接MN，由勾股定理得$MN=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，符合要求。
（2）在图②中先画一条长为$\sqrt{10}$的线段AB，再构造与AB垂直且等长的线段AD、BC，最后连接CD，得到的正方形ABCD边长为$\sqrt{10}$，面积为$(\sqrt{10})^2=10$，四个顶点均在格点上，符合要求。
（3）在图③中选取两条互相垂直、长度均为$\sqrt{5}$的线段EF、EG（或EF、FG），连接三个端点，该等腰直角三角形面积为$\frac{1}{2}×\sqrt{5}×\sqrt{5}=\frac{5}{2}$，顶点均在格点上，符合要求。
【答案】
答案不唯一,符合要求即可,例如,小题(1)(2)(3)的作图分别如图①②③所示
【知识点】
勾股定理的应用；正方形的性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是网格开放性作图题，需要结合勾股定理和常见几何图形的特征完成作图，既考查了勾股定理的灵活运用能力，也考查了对正方形、等腰直角三角形边长、面积性质的掌握程度，解题时可先通过计算推导目标线段的长度特征，再结合格点间距构造图形。
【难度系数】
0.7
（1）要构造长度为$\sqrt{10}$的线段，可结合勾股定理推导：$1^2+3^2=10$，因此只要找到横向间隔1格、纵向间隔3格（或横向间隔3格、纵向间隔1格）的两个格点，连接两点即可得到长度为$\sqrt{10}$的线段。
（2）正方形面积为10，可得其边长为$\sqrt{10}$，与（1）中所求线段长度一致。先画一条长为$\sqrt{10}$的线段作为正方形的边，再根据网格特征构造与该边垂直、长度也为$\sqrt{10}$的邻边，依次画出四条边，保证四个顶点都在格点上，即可得到面积为10的正方形。
（3）等腰直角三角形面积为$\frac{5}{2}$，设直角边长为$a$，由面积公式$\frac{1}{2}a^2=\frac{5}{2}$可算出$a^2=5$，即$a=\sqrt{5}$，结合勾股定理可知$1^2+2^2=5$，因此直角边为横纵差1和2的格点连线。接下来构造两条互相垂直、长度均为$\sqrt{5}$的线段作为直角边，三个端点均为格点，连接即可得到符合要求的三角形。
【解析】
（1）在图①中选取横向差1、纵向差3的两个格点标记为M、N，连接MN，由勾股定理得$MN=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，符合要求。
（2）在图②中先画一条长为$\sqrt{10}$的线段AB，再构造与AB垂直且等长的线段AD、BC，最后连接CD，得到的正方形ABCD边长为$\sqrt{10}$，面积为$(\sqrt{10})^2=10$，四个顶点均在格点上，符合要求。
（3）在图③中选取两条互相垂直、长度均为$\sqrt{5}$的线段EF、EG（或EF、FG），连接三个端点，该等腰直角三角形面积为$\frac{1}{2}×\sqrt{5}×\sqrt{5}=\frac{5}{2}$，顶点均在格点上，符合要求。
【答案】
答案不唯一,符合要求即可,例如,小题(1)(2)(3)的作图分别如图①②③所示
【知识点】
勾股定理的应用；正方形的性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是网格开放性作图题，需要结合勾股定理和常见几何图形的特征完成作图，既考查了勾股定理的灵活运用能力，也考查了对正方形、等腰直角三角形边长、面积性质的掌握程度，解题时可先通过计算推导目标线段的长度特征，再结合格点间距构造图形。
【难度系数】
0.7
