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14. 实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措.如图,某村有一块三角形空地ABC,现计划将这块三角形空地进行新的规划,点D是边BC上的一点,过点D作垂直于AC的小路DE.经测量,AB=13m,AD=12m,AC=15m,BD=5m.求：
(1) DC的长；
(2) 小路DE的长.
(1) DC的长；
(2) 小路DE的长.
答案
14. (1) $\because AB=13\mathrm{m}, AD=12\mathrm{m}, BD=5\mathrm{m},\therefore AB^2=BD^2+AD^2. \therefore ∠ADB=90°. \therefore ∠ADC=180°-∠ADB=90°. \because AC=15\mathrm{m},\therefore DC=\sqrt{AC^2-AD^2}=9\mathrm{m}$ (2) $\because DE ⊥ AC,\therefore S_{△ADC}=\frac{1}{2}AD·CD =\frac{1}{2}AC·DE. \therefore DE=\frac{AD·DC}{AC}=\frac{12×9}{15}=\frac{36}{5}(\mathrm{m})$
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以按以下思路思考：
(1) 求DC的长：首先观察已知的AB、AD、BD的长度，发现三者符合勾股数的特征，可先利用勾股定理的逆定理判断△ABD是直角三角形，得到AD⊥BC，进而推出△ADC也是直角三角形，再直接用勾股定理计算DC的长度即可。
(2) 求DE的长：DE是AC边上的高，对于直角三角形ADC，我们可以用两种方法表示它的面积，即两直角边乘积的一半，也等于斜边乘斜边上高的一半，利用等面积法列等式就能求出DE的长度。
【解析】
(1) 已知$AB=13\mathrm{m}$，$AD=12\mathrm{m}$，$BD=5\mathrm{m}$，
计算得：$BD^2+AD^2=5^2+12^2=25+144=169$，$AB^2=13^2=169$，
∴ $AB^2=BD^2+AD^2$，
根据勾股定理的逆定理可得：$∠ ADB=90°$，
∴ $∠ ADC=180°-∠ ADB=90°$，即$△ ADC$为直角三角形，
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$AC=15\mathrm{m}$，由勾股定理得：
$DC=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{15^2-12^2}=\sqrt{225-144}=\sqrt{81}=9\mathrm{m}$。
(2)
∵ $DE ⊥ AC$，
∴ $DE$是$\mathrm{Rt}△ ADC$斜边$AC$上的高，
根据三角形面积公式，$S_{△ ADC}=\frac{1}{2} · AD · CD = \frac{1}{2} · AC · DE$，
两边同时消去$\frac{1}{2}$，代入数值可得：
$12 × 9 = 15 · DE$，
解得：$DE=\frac{12 × 9}{15}=\frac{108}{15}=\frac{36}{5}\mathrm{m}$。
【答案】
(1) $DC$的长为$9\mathrm{m}$；
(2) 小路$DE$的长为$\frac{36}{5}\mathrm{m}$。
【知识点】
勾股定理的逆定理；勾股定理；等面积法求高
【点评】
本题是典型的勾股定理应用类题目，解题的突破口是先通过勾股定理的逆定理判定直角三角形，再结合勾股定理和等面积法计算线段长度，解题逻辑清晰，注重对基础几何计算能力的考查。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们可以按以下思路思考：
(1) 求DC的长：首先观察已知的AB、AD、BD的长度，发现三者符合勾股数的特征，可先利用勾股定理的逆定理判断△ABD是直角三角形，得到AD⊥BC，进而推出△ADC也是直角三角形，再直接用勾股定理计算DC的长度即可。
(2) 求DE的长：DE是AC边上的高，对于直角三角形ADC，我们可以用两种方法表示它的面积，即两直角边乘积的一半，也等于斜边乘斜边上高的一半，利用等面积法列等式就能求出DE的长度。
【解析】
(1) 已知$AB=13\mathrm{m}$，$AD=12\mathrm{m}$，$BD=5\mathrm{m}$，
计算得：$BD^2+AD^2=5^2+12^2=25+144=169$，$AB^2=13^2=169$，
∴ $AB^2=BD^2+AD^2$，
根据勾股定理的逆定理可得：$∠ ADB=90°$，
∴ $∠ ADC=180°-∠ ADB=90°$，即$△ ADC$为直角三角形，
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$AC=15\mathrm{m}$，由勾股定理得：
$DC=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{15^2-12^2}=\sqrt{225-144}=\sqrt{81}=9\mathrm{m}$。
(2)
∵ $DE ⊥ AC$，
∴ $DE$是$\mathrm{Rt}△ ADC$斜边$AC$上的高，
根据三角形面积公式，$S_{△ ADC}=\frac{1}{2} · AD · CD = \frac{1}{2} · AC · DE$，
两边同时消去$\frac{1}{2}$，代入数值可得：
$12 × 9 = 15 · DE$，
解得：$DE=\frac{12 × 9}{15}=\frac{108}{15}=\frac{36}{5}\mathrm{m}$。
【答案】
(1) $DC$的长为$9\mathrm{m}$；
(2) 小路$DE$的长为$\frac{36}{5}\mathrm{m}$。
【知识点】
勾股定理的逆定理；勾股定理；等面积法求高
【点评】
本题是典型的勾股定理应用类题目，解题的突破口是先通过勾股定理的逆定理判定直角三角形，再结合勾股定理和等面积法计算线段长度，解题逻辑清晰，注重对基础几何计算能力的考查。
【难度系数】
0.8
15. 在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，其中$AB=AC$。由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(A、H、B在同一条直线上)，并新修一条路CH，测得$CB=3\ \mathrm{km}$，$CH=2.4\ \mathrm{km}$，$HB=1.8\ \mathrm{km}$。
(1) 问：CH是否从村庄C到河边的最近的路？(即问：CH与AB是否垂直？)请通过计算加以说明。
(2) 求原来的路线AC的长。
(1) 问：CH是否从村庄C到河边的最近的路？(即问：CH与AB是否垂直？)请通过计算加以说明。
(2) 求原来的路线AC的长。
答案
15. (1) 是.理由如下:在$△CHB$中,$\because CH^2+BH^2=2.4^2+1.8^2=9=BC^2,\therefore CH ⊥ AB. \therefore CH$ 是从村庄C到河边的最近的路 (2) 设$AC = x$,则$AH = x-1.8$. 在$\mathrm{Rt}△ACH$中,由勾股定理,得$x^2=(x-1.8)^2+2.4^2$. 解得 $x = 2.5$, 即原来的路线AC的长为2.5 km
解析
【分析】
（1）要判断CH是否为村庄C到河边的最近路径，本质是判断CH与AB是否垂直，因为垂线段是点到直线的最短距离。已知△CHB的三边长度，可通过勾股定理的逆定理验证三边是否满足“两边平方和等于第三边平方”，若满足则△CHB是直角三角形，且∠CHB为直角，即可证明CH⊥AB。
（2）已知AC=AB，要求AC的长，可设AC为x km，则AB也为x km，可得AH长度为AB-HB=(x-1.8) km。由（1）可知△ACH是直角三角形，根据勾股定理列出关于x的一元一次方程，解方程即可求出AC的长度。
【解析】
(1) CH是从村庄C到河边的最近的路，理由如下：
在$△ CHB$中，计算三边的平方：
$CH^2+BH^2=2.4^2+1.8^2=5.76+3.24=9$，
$BC^2=3^2=9$，
∴ $CH^2+BH^2=BC^2$，
根据勾股定理的逆定理可得$△ CHB$为直角三角形，且$∠ CHB=90°$，
∴ $CH ⊥ AB$，即CH是村庄C到AB的垂线段，因此CH是从村庄C到河边最近的路。
(2) 设$AC = x\ \mathrm{km}$，
∵ $AC=AB$，
∴ $AB=x\ \mathrm{km}$，
∴ $AH=AB-HB=(x-1.8)\ \mathrm{km}$，
由(1)可知$CH ⊥ AB$，即$△ ACH$为直角三角形，
根据勾股定理可得：$AC^2=AH^2+CH^2$，
代入得：$x^2=(x-1.8)^2+2.4^2$，
展开计算：$x^2=x^2-3.6x+3.24+5.76$，
整理得：$3.6x=9$，
解得：$x=2.5$。
【答案】
(1) 是，CH是从村庄C到河边的最近的路；(2) 原来的路线AC的长为2.5 km
【知识点】
勾股定理的逆定理，勾股定理，垂线段最短
【点评】
本题是勾股定理相关知识在实际生活中的应用，解题核心是先利用勾股定理的逆定理判断垂直关系，再结合勾股定理构造方程求解未知边长，将几何问题转化为方程问题解答，解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7
（1）要判断CH是否为村庄C到河边的最近路径，本质是判断CH与AB是否垂直，因为垂线段是点到直线的最短距离。已知△CHB的三边长度，可通过勾股定理的逆定理验证三边是否满足“两边平方和等于第三边平方”，若满足则△CHB是直角三角形，且∠CHB为直角，即可证明CH⊥AB。
（2）已知AC=AB，要求AC的长，可设AC为x km，则AB也为x km，可得AH长度为AB-HB=(x-1.8) km。由（1）可知△ACH是直角三角形，根据勾股定理列出关于x的一元一次方程，解方程即可求出AC的长度。
【解析】
(1) CH是从村庄C到河边的最近的路，理由如下：
在$△ CHB$中，计算三边的平方：
$CH^2+BH^2=2.4^2+1.8^2=5.76+3.24=9$，
$BC^2=3^2=9$，
∴ $CH^2+BH^2=BC^2$，
根据勾股定理的逆定理可得$△ CHB$为直角三角形，且$∠ CHB=90°$，
∴ $CH ⊥ AB$，即CH是村庄C到AB的垂线段，因此CH是从村庄C到河边最近的路。
(2) 设$AC = x\ \mathrm{km}$，
∵ $AC=AB$，
∴ $AB=x\ \mathrm{km}$，
∴ $AH=AB-HB=(x-1.8)\ \mathrm{km}$，
由(1)可知$CH ⊥ AB$，即$△ ACH$为直角三角形，
根据勾股定理可得：$AC^2=AH^2+CH^2$，
代入得：$x^2=(x-1.8)^2+2.4^2$，
展开计算：$x^2=x^2-3.6x+3.24+5.76$，
整理得：$3.6x=9$，
解得：$x=2.5$。
【答案】
(1) 是，CH是从村庄C到河边的最近的路；(2) 原来的路线AC的长为2.5 km
【知识点】
勾股定理的逆定理，勾股定理，垂线段最短
【点评】
本题是勾股定理相关知识在实际生活中的应用，解题核心是先利用勾股定理的逆定理判断垂直关系，再结合勾股定理构造方程求解未知边长，将几何问题转化为方程问题解答，解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7
