课堂精要·梳理内容

代数式 等式

【分析】
本题考查等式基本性质的识记，解题时只需回忆等式两个基本性质的具体内容，对应空缺位置匹配内容即可：第一个空缺对应等式基本性质1中“加（或减）的同一个对象”，第二个空缺对应等式基本性质2中操作后的结果属性。
【解析】
根据等式的基本性质1：等式的两边都加（或减）同一个代数式，所得结果仍是等式，可知第一个空填“代数式”；
根据等式的基本性质2：等式的两边都乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式，可知第二个空填“等式”。
【答案】
代数式；等式
【知识点】
1.等式基本性质1
2.等式基本性质2
【点评】
本题属于基础识记类题目，核心考查对等式基本性质内容的记忆掌握程度，这部分内容是后续学习一元一次方程解法的核心依据，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9

1. 下列变形符合等式的基本性质的是()。

A.如果$x-1=y+1$，那么$x=y$
B.如果$a=b$，那么$\frac{a}{2}=\frac{b}{2}$
C.如果$-2x=5$，那么$x=-2+5$
D.如果$3x=5$，那么$x=\frac{3}{5}$

B

【分析】
本题考查等式基本性质的应用，解题思路如下：首先回忆等式的两条基本性质：①等式两边同时加或减同一个数（或整式），等式仍然成立；②等式两边同时乘或除以同一个不为0的数（或整式），等式仍然成立。接下来逐个验证四个选项的变形是否符合上述性质：对每个选项先判断变形时等式两边的操作是否一致，涉及除法操作时要确认除数不为0，系数化为1时还要核对分子分母的位置是否正确，最终选出符合要求的选项。
【解析】
首先明确等式的基本性质：
性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个数或整式，等式仍然成立；
性质2：等式两边同时乘（或除以）同一个不为0的数或整式，等式仍然成立。
逐一分析选项：
A. 对$x-1=y+1$，若消去左边的$-1$，需等式两边同时加1，得$x-1+1=y+1+1$，即$x=y+2$，并非$x=y$，变形不符合等式性质，错误。
B. 已知$a=b$，等式两边同时除以2（$2≠0$），可得$\frac{a}{2}=\frac{b}{2}$，符合等式性质2，变形正确。
C. 对$-2x=5$，需等式两边同时除以$-2$，得$x=-\frac{5}{2}$，并非$x=-2+5$，变形错误。
D. 对$3x=5$，需等式两边同时除以3，得$x=\frac{5}{3}$，并非$x=\frac{3}{5}$，变形错误。
综上，符合等式基本性质的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
等式的基本性质
【点评】
本题属于基础类题型，重点考查对等式基本性质的理解和简单应用，常见易错点为变形时未对等式两边执行相同操作，或是系数化为1时颠倒分子分母的位置，熟练掌握等式基本性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8

2.下列结论错误的是()。

A.若$a=b$,则$b=a$
B.若$a=b$,则$-3a=-3b$
C.若$a=b$,则$b+3=a+3$
D.若$ac=bc$,则$a=b$

D

【分析】
这道题考查等式变形的正误判断，核心考点是等式的基本性质。解题思路为：先回忆等式的相关性质，再逐一验证每个选项的变形是否符合性质要求，特别注意当等式两边同时除以含有字母的式子时，必须确认该式子不为0，否则变形不成立。
【解析】
首先明确等式的基本性质：
1. 等式两边加（或减）同一个数（或式子），等式仍然成立；
2. 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立；
另外等式具有对称性，即若a=b，则b=a。
对各选项逐一分析：
A选项：若a=b，根据等式的对称性，可得b=a，结论正确，不符合题意；
B选项：若a=b，根据等式性质2，两边同时乘-3，可得-3a=-3b，结论正确，不符合题意；
C选项：若a=b，根据等式性质1，两边同时加3，可得a+3=b+3，即b+3=a+3，结论正确，不符合题意；
D选项：若ac=bc，当c=0时，无论a、b取何值，ac=bc都成立，此时无法推出a=b，只有当c≠0时才能得到a=b，故该结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
等式的基本性质
【点评】
本题是等式性质的基础应用题，易错点是忽略等式两边同时除以的数不能为0的要求，做题时遇到含字母的除数时要优先考虑字母是否可能为0。
【难度系数】
0.8

3.下列等式是由$5x - 2 = 2x$根据等式的基本性质变形得到的，其中正确的个数是（）。
①$5x - 2x = 2$；②$2x - 5x = 2$；
③$\frac{5}{2}x - 1 = x$；④$4x - 2 = x$。

A.1
B.2
C.3
D.4

C

【分析】
本题考查等式基本性质的应用，解题思路是先明确等式的两条基本性质：1. 等式两边同时加（或减）同一个整式，等式仍然成立；2. 等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立。再根据性质逐一判断4个变形是否正确，最后统计正确的个数即可。
【解析】
我们逐个验证每个变形：
1. 验证①：对原等式$5x-2=2x$，根据等式性质1，两边同时加2，再同时减$2x$，可得$5x-2x=2$，故①正确；
2. 验证②：将原等式移项，把$5x$移到等号右侧，$-2$移到等号右侧，移项要变号，可得$2x-5x=-2$，和②的$2x-5x=2$不符，故②错误；
3. 验证③：根据等式性质2，原等式两边同时除以2（2≠0），左边为$\frac{5x-2}{2}=\frac{5}{2}x-1$，右边为$\frac{2x}{2}=x$，即$\frac{5}{2}x-1=x$，故③正确；
4. 验证④：根据等式性质1，原等式两边同时减$x$，左边为$5x-2-x=4x-2$，右边为$2x-x=x$，即$4x-2=x$，故④正确。
综上，正确的变形有①③④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
等式的基本性质，移项法则，方程变形判断
【点评】
本题核心是考查等式基本性质的应用，易错点是移项时忘记变号，或对等式两边同时进行加减乘除操作时遗漏某一项，做题时逐一对照性质验证即可降低错误率。
【难度系数】
0.7

4.已知$2x=3y(y≠0)$，则下列结论成立的是()。

A.$\dfrac{x}{y}=\dfrac{3}{2}$
B.$\dfrac{x}{3}=\dfrac{2}{y}$
C.$\dfrac{x}{y}=\dfrac{2}{3}$
D.$\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}$

A

【分析】
本题可通过两种思路解题：思路一：利用等式的基本性质，对已知等式$2x=3y(y≠0)$进行变形，得到$x$与$y$的比值，再匹配选项；思路二：利用比例的基本性质“比例的两内项之积等于两外项之积”，将每个选项的比例式转化为等积式，和题干已知的$2x=3y$对比，一致的即为正确选项，同时注意$y≠0$的条件保证比例式中分母不为0，分式有意义。
【解析】
方法1：利用等式性质变形
已知$2x=3y$，且$y≠0$，
等式两边同时除以$2y$，得：$\frac{2x}{2y}=\frac{3y}{2y}$，
化简得$\frac{x}{y}=\frac{3}{2}$，对应选项A成立。
方法2：验证各选项
根据比例的基本性质：若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，则$ad=bc$。
选项A：$\frac{x}{y}=\frac{3}{2}$，交叉相乘得$2x=3y$，与已知条件一致，成立；
选项B：$\frac{x}{3}=\frac{2}{y}$，交叉相乘得$xy=6$，与已知$2x=3y$不一致，不成立；
选项C：$\frac{x}{y}=\frac{2}{3}$，交叉相乘得$3x=2y$，与已知$2x=3y$不一致，不成立；
选项D：$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}$，交叉相乘得$3x=2y$，与已知$2x=3y$不一致，不成立。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
比例的基本性质、等式的基本性质
【点评】
本题是基础题型，考查比例与等积式的互相转化，解题时可灵活选择变形或验证的方法，注意题干中$y≠0$的条件是比例式有意义的前提。
【难度系数】
0.9

5.若方程$5x=-3x+k$的解为$x=1$,则$k=$。

8

【分析】
要解这道题，首先明确方程的解的含义：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。已知x=1是方程的解，说明把x=1代入原方程后等式仍然成立，此时原方程会转化为只含有未知数k的一元一次方程，解这个新方程即可求出k的值。
【解析】
因为x=1是方程$5x=-3x+k$的解，将x=1代入原方程，可得：
$5×1 = -3×1 +k$
计算化简得：
$5 = k-3$
移项（或等式两边同时加3）得：
$k=5+3$
计算得$k=8$
【答案】
8
【知识点】
方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查利用方程的解求未知参数的方法，只需将已知解代入原方程转化为新的一元一次方程求解即可，是一元一次方程章节的常考基础题。
【难度系数】
0.9

6.若$3x - 2 = 7$,则$3x =$ (依据 ), $x =$ (依据 )

9 等式的两边都加(或减)同一个代数式,所得结果仍是等式 3 等式的两边都乘同一个数(或除以同一个不为0的数),所得结果仍是等式

【分析】
本题考查等式基本性质的应用，解题时需逐步将方程变形为x=a的形式：首先要得到3x的值，需要消去方程左边的常数项-2，根据等式的性质，给等式两边同时加2即可得到3x的结果；接下来要得到x的值，需要将x的系数3化为1，根据等式的性质，给等式两边同时除以3即可求出x的值，每一步变形都要对应相应的等式性质依据。
【解析】
已知方程$3x - 2 = 7$：
1. 求$3x$的值：根据等式的两边都加(或减)同一个代数式，所得结果仍是等式，给等式两边同时加2，可得$3x - 2 + 2 = 7 + 2$，化简后得到$3x = 9$。
2. 求$x$的值：根据等式的两边都乘同一个数(或除以同一个不为0的数)，所得结果仍是等式，给等式$3x=9$两边同时除以3（3不为0），可得$3x÷3 = 9÷3$，化简后得到$x = 3$。
【答案】
9 等式的两边都加(或减)同一个代数式,所得结果仍是等式 3 等式的两边都乘同一个数(或除以同一个不为0的数),所得结果仍是等式
【知识点】
等式的基本性质；一元一次方程求解
【点评】
本题是一元一次方程求解的基础题型，重点考查等式两个基本性质的区分与应用，熟练掌握等式的性质是后续解各类方程的重要基础。
【难度系数】
0.9

7.如果$-\dfrac{3}{5}a^{2x-1}$和$\dfrac{2}{3}a^{x+2}$是同类项，那么
$x=$。

3

【分析】
解题时首先回忆同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。本题中两个单项式都只含字母a，因此要满足同类项的要求，只需让a的指数相等，据此列出一元一次方程，再按照一元一次方程的求解步骤计算即可得到x的值。
【解析】
根据同类项的定义可知，两个单项式中a的指数相等，因此可列方程：
$2x - 1 = x + 2$
移项，得：$2x - x = 2 + 1$
合并同类项，得：$x = 3$
【答案】
3
【知识点】
同类项的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心是利用同类项的性质构造方程，解题的关键是熟练掌握同类项的定义以及一元一次方程的解法。
【难度系数】
0.8

8.利用等式的基本性质解下列方程：
(1)$5x - 7 = 8$；
(2)$3x - 4 = x$；
(3)$3 + 2x = 6 + x$。

(1)等式两边都加7,得$5x=15$,等式两边都除以5,得$x=3$。
(2)等式两边都减$x$,得$2x-4=0$,等式两边都加4,得$2x=4$,等式两边都除以2,得$x=2$。
(3)等式两边都减$x+3$,得$x=3$。

【分析】
本题要求利用等式的基本性质解方程，解题核心是通过等式的两个基本性质逐步将方程变形为“x=a”的最简形式。等式性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或整式），等式仍然成立；等式性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。解题时先通过等式性质1将含未知数的项移到等式一侧、常数项移到另一侧，再通过等式性质2将未知数的系数化为1，即可得到方程的解。
【解析】
(1) 根据等式性质1，等式两边都加7，得：
$5x-7+7=8+7$，即$5x=15$
根据等式性质2，等式两边都除以5，得：
$5x÷5=15÷5$，即$x=3$
(2) 根据等式性质1，等式两边都减$x$，得：
$3x-4-x=x-x$，即$2x-4=0$
根据等式性质1，等式两边都加4，得：
$2x-4+4=0+4$，即$2x=4$
根据等式性质2，等式两边都除以2，得：
$2x÷2=4÷2$，即$x=2$
(3) 根据等式性质1，等式两边都减$(x+3)$，得：
$3+2x-(x+3)=6+x-(x+3)$，化简得$x=3$
【答案】
(1)$x=3$；(2)$x=2$；(3)$x=3$
【知识点】
等式的基本性质；一元一次方程的解法
【点评】
本题是解一元一次方程的基础题型，重点考查等式基本性质的规范运用，解题时需注意每一步变形都要保证等式两边同时进行相同的运算，避免出现单边变形的错误，为后续更复杂的方程求解打下基础。
【难度系数】
0.8

9. 下列说法正确的是()。

A.等式 $ ab = ac $ 两边都除以 $ a $，可得 $ b = c $
B.等式 $ a = b $ 两边都除以 $ c^2 + 1 $，可得 $ \frac{a}{c^2 + 1} = \frac{b}{c^2 + 1} $
C.等式 $ \frac{b}{a} = \frac{c}{a} $ 两边都除以 $ a $，可得 $ b = c $
D.等式 $ 2x = 2a - b $ 两边都除以 2，可得 $ x = a - b $

B

【分析】
本题考查等式的基本性质的应用，解题时需结合“等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立”这一核心规则，逐个分析每个选项的操作是否合法：一是要判断除数是否可能为0，二是要核对运算后的结果是否正确，即可选出正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：等式$ab=ac$中，若$a=0$，0不能作为除数，此时不能直接两边除以$a$得到$b=c$，故A错误；
选项B：由于任意实数的平方都是非负数，即$c^2≥0$，因此$c^2+1≥1$，肯定不为0，等式$a=b$两边同时除以不为0的$c^2+1$，可得$\frac{a}{c^2+1}=\frac{b}{c^2+1}$，故B正确；
选项C：等式$\frac{b}{a}=\frac{c}{a}$成立的前提是$a≠0$，要得到$b=c$应该两边同时乘$a$，若除以$a$会得到$\frac{b}{a^2}=\frac{c}{a^2}$，操作错误，故C错误；
选项D：等式$2x=2a-b$两边都除以2，右边每一项都要除以2，即$x=\frac{2a}{2}-\frac{b}{2}=a-\frac{b}{2}$，不是$x=a-b$，计算错误，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
等式的基本性质；平方的非负性；整式除法运算
【点评】
本题是等式性质的常规考查题，易错点有三处：一是忽略等式两边作除法运算时除数不能为0的前提，二是混淆乘除操作，三是除法运算时漏除部分项，解题时需逐一核对避免出错。
【难度系数】
0.7