登录
10.如图,在图①所示的天平上,物体A的质量等于物体B的质量加物体C的质量;在图②所示的天平上,物体A的质量加物体B的质量等于3个物体C的质量。由此可知,1个物体A的质量与(
A.1
B.2
C.3
D.4
B
)个物体C的质量相等。A.1
B.2
C.3
D.4
答案
B
解析
【分析】
解题时首先根据天平平衡时左右两边质量相等的原理，把三个物体的质量分别用字母表示，列出对应的两个等量关系，再通过代入消去表示物体B质量的量，就能推导出物体A和物体C质量的数量关系。具体步骤：先设三个物体的质量分别为对应字母，根据两个天平的平衡状态列等式，再将第一个等式变形得到B的质量表达式，代入第二个等式消去B，整理后即可得到A和C的质量关系。
【解析】
设物体A的质量为$a$，物体B的质量为$b$，物体C的质量为$c$。
根据图①天平平衡可得：$a = b + c$ ①
根据图②天平平衡可得：$a + b = 3c$ ②
由①式变形得$b = a - c$，将其代入②式：
$a + (a - c) = 3c$
化简得：$2a - c = 3c$
移项合并同类项得：$2a = 4c$，两边同时除以2得$a = 2c$
即1个物体A的质量与2个物体C的质量相等。
【答案】
B
【知识点】
等式的性质；等量代换
【点评】
本题结合天平平衡的场景考查等量关系的推导，解题关键是准确根据天平平衡状态列出等式，通过消去中间量即可得到所求量的关系，解题逻辑清晰，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据天平平衡时左右两边质量相等的原理，把三个物体的质量分别用字母表示，列出对应的两个等量关系，再通过代入消去表示物体B质量的量，就能推导出物体A和物体C质量的数量关系。具体步骤：先设三个物体的质量分别为对应字母，根据两个天平的平衡状态列等式，再将第一个等式变形得到B的质量表达式，代入第二个等式消去B，整理后即可得到A和C的质量关系。
【解析】
设物体A的质量为$a$，物体B的质量为$b$，物体C的质量为$c$。
根据图①天平平衡可得：$a = b + c$ ①
根据图②天平平衡可得：$a + b = 3c$ ②
由①式变形得$b = a - c$，将其代入②式：
$a + (a - c) = 3c$
化简得：$2a - c = 3c$
移项合并同类项得：$2a = 4c$，两边同时除以2得$a = 2c$
即1个物体A的质量与2个物体C的质量相等。
【答案】
B
【知识点】
等式的性质；等量代换
【点评】
本题结合天平平衡的场景考查等量关系的推导，解题关键是准确根据天平平衡状态列出等式，通过消去中间量即可得到所求量的关系，解题逻辑清晰，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
11.在天平的左边放3枚硬币和12 g砝码，右边放5枚硬币和4 g砝码，天平恰好平衡。已知所有硬币的质量都相同，如果设1枚硬币的质量为x g，可列出方程为(
A.$3x + 12 = 5x + 4$
B.$3x - 12 = 5x - 4$
C.$3x + 12 = 5x - 4$
D.$3x - 12 = 5x + 4$
A
)。A.$3x + 12 = 5x + 4$
B.$3x - 12 = 5x - 4$
C.$3x + 12 = 5x - 4$
D.$3x - 12 = 5x + 4$
答案
A
解析
【分析】
解题的核心是抓住天平平衡的本质：左右两盘的总质量相等。首先分别计算左右两个托盘的总质量，左盘是3枚硬币的总质量加上12g砝码的质量，右盘是5枚硬币的总质量加上4g砝码的质量，再根据两边质量相等列出等式即可。
【解析】
∵ 天平平衡时，左盘总质量 = 右盘总质量
左盘总质量：3枚硬币质量为3x g，加12g砝码，即$\boldsymbol{3x + 12}$（g）
右盘总质量：5枚硬币质量为5x g，加4g砝码，即$\boldsymbol{5x + 4}$（g）
∴ 可列方程为：$3x + 12 = 5x + 4$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
列一元一次方程；天平平衡原理；等量关系确定
【点评】
本题是基础应用型题目，解题关键是准确找到题中的等量关系，明确天平两侧的质量组成即可快速列出方程，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题的核心是抓住天平平衡的本质：左右两盘的总质量相等。首先分别计算左右两个托盘的总质量，左盘是3枚硬币的总质量加上12g砝码的质量，右盘是5枚硬币的总质量加上4g砝码的质量，再根据两边质量相等列出等式即可。
【解析】
∵ 天平平衡时，左盘总质量 = 右盘总质量
左盘总质量：3枚硬币质量为3x g，加12g砝码，即$\boldsymbol{3x + 12}$（g）
右盘总质量：5枚硬币质量为5x g，加4g砝码，即$\boldsymbol{5x + 4}$（g）
∴ 可列方程为：$3x + 12 = 5x + 4$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
列一元一次方程；天平平衡原理；等量关系确定
【点评】
本题是基础应用型题目，解题关键是准确找到题中的等量关系，明确天平两侧的质量组成即可快速列出方程，难度较低。
【难度系数】
0.8
12.阅读小明利用等式的基本性质解方程的过程,指出他错在哪一步,为什么？
$2(y+2)-3=5(y+2)-3$。
方程两边都加3,得$2(y+2)=5(y+2)$。①
方程两边都除以$y+2$,得$2=5$。②
$2(y+2)-3=5(y+2)-3$。
方程两边都加3,得$2(y+2)=5(y+2)$。①
方程两边都除以$y+2$,得$2=5$。②
答案
错在第②步。因为不能确定 $y+2$ 的值是不是 0,所以方程两边不能同时除以 $y+2$。
解析
【分析】
要判断解方程的步骤是否正确，需结合等式的基本性质逐一验证：首先回忆等式的两条基本性质，性质1是等式两边加/减同一个数或式子，等式仍成立；性质2是等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍成立。先看第①步，两边同时加3，符合性质1，是正确的。再看第②步，两边同时除以(y+2)，此时需要注意性质2中除数不能为0的要求，我们无法确定y+2是否等于0，因此这一步不符合等式性质的要求，存在错误。
【解析】
1. 验证步骤①：根据等式的基本性质1，方程两边同时加上同一个数3，等式仍然成立，因此步骤①的变形正确。
2. 验证步骤②：根据等式的基本性质2，等式两边同时除以同一个数时，该数必须不为0。本题中没有说明y+2≠0，不能直接在方程两边同时除以y+2，因此步骤②错误。
【答案】
错在第②步。因为不能确定 $y+2$ 的值是不是 0,所以方程两边不能同时除以 $y+2$。
【知识点】
等式的基本性质、解方程运算规范
【点评】
本题考查等式基本性质的应用前提，是解方程时的常见易错点，需牢记等式两边同时除以一个数时，必须保证该数不为0，避免出现类似的逻辑错误。
【难度系数】
0.7
要判断解方程的步骤是否正确，需结合等式的基本性质逐一验证：首先回忆等式的两条基本性质，性质1是等式两边加/减同一个数或式子，等式仍成立；性质2是等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍成立。先看第①步，两边同时加3，符合性质1，是正确的。再看第②步，两边同时除以(y+2)，此时需要注意性质2中除数不能为0的要求，我们无法确定y+2是否等于0，因此这一步不符合等式性质的要求，存在错误。
【解析】
1. 验证步骤①：根据等式的基本性质1，方程两边同时加上同一个数3，等式仍然成立，因此步骤①的变形正确。
2. 验证步骤②：根据等式的基本性质2，等式两边同时除以同一个数时，该数必须不为0。本题中没有说明y+2≠0，不能直接在方程两边同时除以y+2，因此步骤②错误。
【答案】
错在第②步。因为不能确定 $y+2$ 的值是不是 0,所以方程两边不能同时除以 $y+2$。
【知识点】
等式的基本性质、解方程运算规范
【点评】
本题考查等式基本性质的应用前提，是解方程时的常见易错点，需牢记等式两边同时除以一个数时，必须保证该数不为0，避免出现类似的逻辑错误。
【难度系数】
0.7
13.【综合与实践】根据等式的基本性质，回答下列问题：
(1)从$ab=bc$能否得到$a=c$？为什么？
(2)从$\frac{a}{b}=\frac{c}{b}$能否得到$a=c$？为什么？
(3)从$ab=1$能否得到$a+1=\frac{1}{b}+1$？为什么？
(1)从$ab=bc$能否得到$a=c$？为什么？
(2)从$\frac{a}{b}=\frac{c}{b}$能否得到$a=c$？为什么？
(3)从$ab=1$能否得到$a+1=\frac{1}{b}+1$？为什么？
答案
(1)不一定。当 $b≠0$ 时,根据等式的基本性质可得 $a=c$;当 $b=0$ 时,$a$ 不一定等于 $c$。
(2)能得到。由题意,知 $b≠0$,根据等式的基本性质,在$\frac{a}{b}=\frac{c}{b}$的两边都乘 $b$,得 $a=c$。
(3)能得到。显然 $b≠0$,根据等式的基本性质,在 $ab=1$ 的两边都除以 $b$,得 $a=\frac{1}{b}$,再根据等式的基本性质,在 $a=\frac{1}{b}$ 两边都加 1,得$a+1=\frac{1}{b}+1$。
(2)能得到。由题意,知 $b≠0$,根据等式的基本性质,在$\frac{a}{b}=\frac{c}{b}$的两边都乘 $b$,得 $a=c$。
(3)能得到。显然 $b≠0$,根据等式的基本性质,在 $ab=1$ 的两边都除以 $b$,得 $a=\frac{1}{b}$,再根据等式的基本性质,在 $a=\frac{1}{b}$ 两边都加 1,得$a+1=\frac{1}{b}+1$。
解析
【分析】
本题围绕等式的基本性质设计，解题核心是明确：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式才仍然成立，每一问都要先判断变形时乘除的数是否可能为0：
(1)要把$ab=bc$变形为$a=c$，需两边同时除以$b$，此时要考虑$b$是否为0，若$b=0$则不能直接除，无法直接得到$a=c$；
(2)对于分式形式的等式$\frac{a}{b}=\frac{c}{b}$，分母不能为0，因此$b≠0$，符合等式性质的应用条件，可直接两边乘$b$得到$a=c$；
(3)由$ab=1$可知$b$不可能为0（否则左边乘积为0，与右边的1矛盾），因此可先两边除以$b$得到$a=\frac{1}{b}$，再根据等式两边同时加同一个数等式仍成立，两边加1即可得到目标式子。
【解析】
(1) 不一定能得到。当$b≠0$时，根据等式的基本性质，等式两边同时除以$b$，可得$a=c$；当$b=0$时，无论$a$和$c$取何值，$ab=bc$都成立，因此$a$不一定等于$c$。
(2) 能得到。因为等式中$b$作为分母，因此$b≠0$，根据等式的基本性质，在$\frac{a}{b}=\frac{c}{b}$的两边都乘$b$，即可得到$a=c$。
(3) 能得到。由$ab=1$可知$b≠0$，根据等式的基本性质，在$ab=1$的两边都除以$b$，得$a=\frac{1}{b}$，再根据等式的基本性质，在$a=\frac{1}{b}$两边都加1，即可得到$a+1=\frac{1}{b}+1$。
【答案】
(1)不一定。当 $b≠0$ 时,根据等式的基本性质可得 $a=c$;当 $b=0$ 时,$a$ 不一定等于 $c$。
(2)能得到。由题意,知 $b≠0$,根据等式的基本性质,在$\frac{a}{b}=\frac{c}{b}$的两边都乘 $b$,得 $a=c$。
(3)能得到。显然 $b≠0$,根据等式的基本性质,在 $ab=1$ 的两边都除以 $b$,得 $a=\frac{1}{b}$,再根据等式的基本性质,在 $a=\frac{1}{b}$ 两边都加 1,得$a+1=\frac{1}{b}+1$。
【知识点】
等式的基本性质，0不能作除数，分式有意义条件
【点评】
本题侧重考查等式基本性质的应用细节，易错点是容易忽略等式两边同时除以一个数时，该数不能为0的前提，通过本题可以强化对等式变形条件的理解，避免后续解方程时出现同类错误。
【难度系数】
0.7
本题围绕等式的基本性质设计，解题核心是明确：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式才仍然成立，每一问都要先判断变形时乘除的数是否可能为0：
(1)要把$ab=bc$变形为$a=c$，需两边同时除以$b$，此时要考虑$b$是否为0，若$b=0$则不能直接除，无法直接得到$a=c$；
(2)对于分式形式的等式$\frac{a}{b}=\frac{c}{b}$，分母不能为0，因此$b≠0$，符合等式性质的应用条件，可直接两边乘$b$得到$a=c$；
(3)由$ab=1$可知$b$不可能为0（否则左边乘积为0，与右边的1矛盾），因此可先两边除以$b$得到$a=\frac{1}{b}$，再根据等式两边同时加同一个数等式仍成立，两边加1即可得到目标式子。
【解析】
(1) 不一定能得到。当$b≠0$时，根据等式的基本性质，等式两边同时除以$b$，可得$a=c$；当$b=0$时，无论$a$和$c$取何值，$ab=bc$都成立，因此$a$不一定等于$c$。
(2) 能得到。因为等式中$b$作为分母，因此$b≠0$，根据等式的基本性质，在$\frac{a}{b}=\frac{c}{b}$的两边都乘$b$，即可得到$a=c$。
(3) 能得到。由$ab=1$可知$b≠0$，根据等式的基本性质，在$ab=1$的两边都除以$b$，得$a=\frac{1}{b}$，再根据等式的基本性质，在$a=\frac{1}{b}$两边都加1，即可得到$a+1=\frac{1}{b}+1$。
【答案】
(1)不一定。当 $b≠0$ 时,根据等式的基本性质可得 $a=c$;当 $b=0$ 时,$a$ 不一定等于 $c$。
(2)能得到。由题意,知 $b≠0$,根据等式的基本性质,在$\frac{a}{b}=\frac{c}{b}$的两边都乘 $b$,得 $a=c$。
(3)能得到。显然 $b≠0$,根据等式的基本性质,在 $ab=1$ 的两边都除以 $b$,得 $a=\frac{1}{b}$,再根据等式的基本性质,在 $a=\frac{1}{b}$ 两边都加 1,得$a+1=\frac{1}{b}+1$。
【知识点】
等式的基本性质，0不能作除数，分式有意义条件
【点评】
本题侧重考查等式基本性质的应用细节，易错点是容易忽略等式两边同时除以一个数时，该数不能为0的前提，通过本题可以强化对等式变形条件的理解，避免后续解方程时出现同类错误。
【难度系数】
0.7
14.【数学文化】阅读下列材料，解决相应问题：
中国古代数学，和天文学以及其他许多科学技术一样，也取得了极其辉煌的成就。可以毫不夸张地说，明代中叶以前，在数学的许多分支领域里，中国一直处于遥遥领先的地位。中国古代的数学家写下了许多数学著作。许多具有世界意义的成就正是因为有了这些古算书才流传下来。
我国流传着许多趣味算题，它们多以顺口溜的形式表述。请大家看这样一个数学问题：一群老头去赶集，半路买了一堆梨，一人一个多一梨，一人两个少两梨，多少老头多少梨？
(1)如果我们设有x个老头，可以得到关于x的等式为
(2)利用等式的基本性质求出，共有
中国古代数学，和天文学以及其他许多科学技术一样，也取得了极其辉煌的成就。可以毫不夸张地说，明代中叶以前，在数学的许多分支领域里，中国一直处于遥遥领先的地位。中国古代的数学家写下了许多数学著作。许多具有世界意义的成就正是因为有了这些古算书才流传下来。
我国流传着许多趣味算题，它们多以顺口溜的形式表述。请大家看这样一个数学问题：一群老头去赶集，半路买了一堆梨，一人一个多一梨，一人两个少两梨，多少老头多少梨？
(1)如果我们设有x个老头，可以得到关于x的等式为
$x+1=2x-2$
；(2)利用等式的基本性质求出，共有
3
个老头、4
个梨。答案
(1)$x+1=2x-2$ (2)3 4
解析
【分析】
本题是一元一次方程的实际应用题，解题核心是抓住梨的总数量不变这一关键等量关系。第一问先分别用含x的式子表示两种分梨方式下梨的总数，根据总数相等即可列出等式；第二问利用等式的基本性质对列出的一元一次方程逐步变形求解，得到老头的数量后，再代入任意一个表示梨数量的式子即可求出梨的个数。
【解析】
(1) 设有x个老头：
根据“一人一个多一梨”，可得梨的总数量为$x+1$；
根据“一人两个少两梨”，可得梨的总数量为$2x-2$；
因为梨的总数量不变，所以可列等式：$x+1=2x-2$。
(2) 求解方程$x+1=2x-2$：
第一步，根据等式的性质1，等式两边同时减去x，得：
$x+1 -x = 2x-2 -x$，化简得$1 = x - 2$；
第二步，根据等式的性质1，等式两边同时加上2，得：
$1+2 = x -2 +2$，解得$x=3$，即老头有3个。
将$x=3$代入$x+1$，可得梨的数量为$3+1=4$个。
【答案】
(1)$x+1=2x-2$；(2)3，4
【知识点】
一元一次方程的应用、等式的基本性质
【点评】
本题结合古代趣味算题的背景，考查一元一次方程的实际应用，解题的关键是找准题目中的不变量建立等量关系，题目贴近生活，能很好地考查学生分析问题、列方程求解的能力。
【难度系数】
0.8
本题是一元一次方程的实际应用题，解题核心是抓住梨的总数量不变这一关键等量关系。第一问先分别用含x的式子表示两种分梨方式下梨的总数，根据总数相等即可列出等式；第二问利用等式的基本性质对列出的一元一次方程逐步变形求解，得到老头的数量后，再代入任意一个表示梨数量的式子即可求出梨的个数。
【解析】
(1) 设有x个老头：
根据“一人一个多一梨”，可得梨的总数量为$x+1$；
根据“一人两个少两梨”，可得梨的总数量为$2x-2$；
因为梨的总数量不变，所以可列等式：$x+1=2x-2$。
(2) 求解方程$x+1=2x-2$：
第一步，根据等式的性质1，等式两边同时减去x，得：
$x+1 -x = 2x-2 -x$，化简得$1 = x - 2$；
第二步，根据等式的性质1，等式两边同时加上2，得：
$1+2 = x -2 +2$，解得$x=3$，即老头有3个。
将$x=3$代入$x+1$，可得梨的数量为$3+1=4$个。
【答案】
(1)$x+1=2x-2$；(2)3，4
【知识点】
一元一次方程的应用、等式的基本性质
【点评】
本题结合古代趣味算题的背景，考查一元一次方程的实际应用，解题的关键是找准题目中的不变量建立等量关系，题目贴近生活，能很好地考查学生分析问题、列方程求解的能力。
【难度系数】
0.8
