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5. 小强、小亮、小文三位同学玩投硬币游戏. 三人同时各投出一枚均匀硬币,若出现3个正面向上或3个反面向上,则小强赢;若出现2个正面向上1个反面向上,则小亮赢;若出现1个正面向上2个反面向上,则小文赢. 下面说法正确的是(
A.小强赢的概率最小
B.小文赢的概率最小
C.小亮赢的概率最小
D.三人赢的概率都相等
A
)A.小强赢的概率最小
B.小文赢的概率最小
C.小亮赢的概率最小
D.三人赢的概率都相等
答案
5. A
解析
【分析】
本题需要通过比较三人赢的概率大小判断正确选项。解题思路如下：首先明确三人各投一枚均匀硬币时，所有出现的结果是等可能的，第一步先用列举法列出所有等可能的结果，统计总结果数；第二步分别找出小强、小亮、小文赢各自对应的结果数，再根据古典概型的概率公式“概率=所求事件包含的结果数÷总等可能结果数”，分别计算三人赢的概率；最后比较三个概率的大小，即可得出结论。
【解析】
三人同时各投一枚均匀硬币，所有等可能的结果共8种，分别为：
（正，正，正）、（正，正，反）、（正，反，正）、（正，反，反）、（反，正，正）、（反，正，反）、（反，反，正）、（反，反，反）。
分别计算三人赢的概率：
1. 小强赢的情况为3个正面向上或3个反面向上，共2种结果，因此$ P(\mathrm{小强赢})=\frac{2}{8}=\frac{1}{4} $；
2. 小亮赢的情况为2个正面向上1个反面向上，共3种结果，因此$ P(\mathrm{小亮赢})=\frac{3}{8} $；
3. 小文赢的情况为1个正面向上2个反面向上，共3种结果，因此$ P(\mathrm{小文赢})=\frac{3}{8} $。
比较概率大小可得$ \frac{1}{4}＜\frac{3}{8} $，即小强赢的概率最小。
【答案】
A
【知识点】
列举法求概率，概率计算
【点评】
本题考查等可能事件概率的计算，解题的核心是不重不漏地列出所有等可能的结果，再结合概率公式计算对比即可，属于概率板块的基础题型。
【难度系数】
0.8
本题需要通过比较三人赢的概率大小判断正确选项。解题思路如下：首先明确三人各投一枚均匀硬币时，所有出现的结果是等可能的，第一步先用列举法列出所有等可能的结果，统计总结果数；第二步分别找出小强、小亮、小文赢各自对应的结果数，再根据古典概型的概率公式“概率=所求事件包含的结果数÷总等可能结果数”，分别计算三人赢的概率；最后比较三个概率的大小，即可得出结论。
【解析】
三人同时各投一枚均匀硬币，所有等可能的结果共8种，分别为：
（正，正，正）、（正，正，反）、（正，反，正）、（正，反，反）、（反，正，正）、（反，正，反）、（反，反，正）、（反，反，反）。
分别计算三人赢的概率：
1. 小强赢的情况为3个正面向上或3个反面向上，共2种结果，因此$ P(\mathrm{小强赢})=\frac{2}{8}=\frac{1}{4} $；
2. 小亮赢的情况为2个正面向上1个反面向上，共3种结果，因此$ P(\mathrm{小亮赢})=\frac{3}{8} $；
3. 小文赢的情况为1个正面向上2个反面向上，共3种结果，因此$ P(\mathrm{小文赢})=\frac{3}{8} $。
比较概率大小可得$ \frac{1}{4}＜\frac{3}{8} $，即小强赢的概率最小。
【答案】
A
【知识点】
列举法求概率，概率计算
【点评】
本题考查等可能事件概率的计算，解题的核心是不重不漏地列出所有等可能的结果，再结合概率公式计算对比即可，属于概率板块的基础题型。
【难度系数】
0.8
二、填空题
1. 图2中每一个标有数字的方块均是可以翻动的木牌，其中只有两块木牌的背面贴有中奖标志，则随机翻动一块木牌中奖的概率为
1. 图2中每一个标有数字的方块均是可以翻动的木牌，其中只有两块木牌的背面贴有中奖标志，则随机翻动一块木牌中奖的概率为
$\dfrac{1}{3}$
。答案
1. $\dfrac{1}{3}$
解析
【分析】
解决本题需遵循简单等可能事件的概率计算思路：先确定所有等可能的总结果数，再确定符合“中奖”条件的结果数，最后用中奖结果数除以总结果数即可得到所求概率。观察题图可知总共有6块木牌，随机翻动时每块木牌被选中的可能性相等，已知中奖木牌共2块，代入概率公式计算即可。
【解析】
解：由图可得，共有6块可翻动的木牌，随机翻动一块木牌时，共有6种等可能的结果。
其中背面贴有中奖标志的木牌有2块，即翻动后中奖的结果有2种。
根据概率公式：$P(A)=\frac{\mathrm{事件}A\mathrm{发生的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$
因此随机翻动一块木牌中奖的概率为：$P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
【答案】
$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
概率公式；简单随机事件概率计算
【点评】
本题是概率基础题型，解题关键是准确统计总情况数和符合条件的情况数，掌握概率的基本计算方法即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
解决本题需遵循简单等可能事件的概率计算思路：先确定所有等可能的总结果数，再确定符合“中奖”条件的结果数，最后用中奖结果数除以总结果数即可得到所求概率。观察题图可知总共有6块木牌，随机翻动时每块木牌被选中的可能性相等，已知中奖木牌共2块，代入概率公式计算即可。
【解析】
解：由图可得，共有6块可翻动的木牌，随机翻动一块木牌时，共有6种等可能的结果。
其中背面贴有中奖标志的木牌有2块，即翻动后中奖的结果有2种。
根据概率公式：$P(A)=\frac{\mathrm{事件}A\mathrm{发生的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$
因此随机翻动一块木牌中奖的概率为：$P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
【答案】
$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
概率公式；简单随机事件概率计算
【点评】
本题是概率基础题型，解题关键是准确统计总情况数和符合条件的情况数，掌握概率的基本计算方法即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
2. 将根式$\sqrt{8},\sqrt{12},\sqrt{18},\sqrt{32}$化成最简二次根式后，随机抽取其中一个根式，与$\sqrt{2}$是同类二次根式的概率是
$\dfrac{3}{4}$
。答案
2. $\dfrac{3}{4}$
解析
【分析】
要解答本题，需分三步思考：第一步，回忆最简二次根式的化简规则，将题目给出的4个根式全部化为最简形式；第二步，回忆同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后被开方数相同的二次根式为同类二次根式，据此判断化简后的根式中与$\sqrt{2}$是同类二次根式的个数；第三步，运用简单概率公式：概率=符合条件的情况数÷总情况数，代入数据计算即可得到结果。
【解析】
首先将四个根式化为最简二次根式：
$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，
$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，
$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，
$\sqrt{32}=\sqrt{16×2}=4\sqrt{2}$。
根据同类二次根式的定义，可知$\sqrt{8}$、$\sqrt{18}$、$\sqrt{32}$与$\sqrt{2}$是同类二次根式，共3个符合条件的根式。
总共有4个等可能抽取的根式，因此所求概率为$P=\frac{3}{4}$。
【答案】
$\dfrac{3}{4}$
【知识点】
二次根式的化简；同类二次根式的定义；简单概率计算
【点评】
本题属于二次根式与概率的基础综合题，核心考察对基础概念的掌握，解题的关键是准确完成二次根式的化简，再结合概率公式计算即可，整体解题思路清晰，没有复杂运算。
【难度系数】
0.7
要解答本题，需分三步思考：第一步，回忆最简二次根式的化简规则，将题目给出的4个根式全部化为最简形式；第二步，回忆同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后被开方数相同的二次根式为同类二次根式，据此判断化简后的根式中与$\sqrt{2}$是同类二次根式的个数；第三步，运用简单概率公式：概率=符合条件的情况数÷总情况数，代入数据计算即可得到结果。
【解析】
首先将四个根式化为最简二次根式：
$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，
$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，
$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，
$\sqrt{32}=\sqrt{16×2}=4\sqrt{2}$。
根据同类二次根式的定义，可知$\sqrt{8}$、$\sqrt{18}$、$\sqrt{32}$与$\sqrt{2}$是同类二次根式，共3个符合条件的根式。
总共有4个等可能抽取的根式，因此所求概率为$P=\frac{3}{4}$。
【答案】
$\dfrac{3}{4}$
【知识点】
二次根式的化简；同类二次根式的定义；简单概率计算
【点评】
本题属于二次根式与概率的基础综合题，核心考察对基础概念的掌握，解题的关键是准确完成二次根式的化简，再结合概率公式计算即可，整体解题思路清晰，没有复杂运算。
【难度系数】
0.7
3. 投一枚均匀的小正方体,小正方体的每个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6,每次实验投两次,两次朝上的数字的和为偶数的概率是
$\dfrac{1}{2}$
.答案
3. $\dfrac{1}{2}$
解析
【分析】
要计算两次投掷数字和为偶数的概率，需遵循概率计算的基本思路：第一步先确定所有机会均等的总结果数；第二步分析“和为偶数”的成立条件，统计符合条件的结果数；最后用符合条件的结果数除以总结果数得到概率。首先，每次投掷有6种等可能结果，两次独立投掷总结果数可通过乘法原理计算。其次，两个数的和为偶数的本质是两个数同奇或同偶，我们可以分别计算这两类情况的结果数相加，就能得到符合条件的总结果数。
【解析】
解：1. 计算总等可能结果数：
每次投掷小正方体有6种等可能的结果，投掷两次共有 $6 × 6 = 36$ 种机会均等的结果。
2. 统计和为偶数的结果数：
两个数字之和为偶数，当且仅当两个数字同为奇数或同为偶数。
小正方体上的奇数为1、3、5，共3个；偶数为2、4、6，共3个。
① 两次均为奇数的结果数：$3 × 3 = 9$ 种；
② 两次均为偶数的结果数：$3 × 3 = 9$ 种；
因此和为偶数的结果共有 $9 + 9 = 18$ 种。
3. 计算概率：
根据概率公式 $P = \frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}$，可得：
$P(\mathrm{两次和为偶数}) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
列举法求概率；概率计算公式；奇偶性判断
【点评】
本题是概率计算的基础题型，解题的核心是抓住“和为偶数等价于两数同奇偶”的规律简化计算，也可以通过列表法或树状图法直接列举所有结果验证，能够有效考查学生对概率基本计算方法的掌握程度。
【难度系数】
0.8
要计算两次投掷数字和为偶数的概率，需遵循概率计算的基本思路：第一步先确定所有机会均等的总结果数；第二步分析“和为偶数”的成立条件，统计符合条件的结果数；最后用符合条件的结果数除以总结果数得到概率。首先，每次投掷有6种等可能结果，两次独立投掷总结果数可通过乘法原理计算。其次，两个数的和为偶数的本质是两个数同奇或同偶，我们可以分别计算这两类情况的结果数相加，就能得到符合条件的总结果数。
【解析】
解：1. 计算总等可能结果数：
每次投掷小正方体有6种等可能的结果，投掷两次共有 $6 × 6 = 36$ 种机会均等的结果。
2. 统计和为偶数的结果数：
两个数字之和为偶数，当且仅当两个数字同为奇数或同为偶数。
小正方体上的奇数为1、3、5，共3个；偶数为2、4、6，共3个。
① 两次均为奇数的结果数：$3 × 3 = 9$ 种；
② 两次均为偶数的结果数：$3 × 3 = 9$ 种；
因此和为偶数的结果共有 $9 + 9 = 18$ 种。
3. 计算概率：
根据概率公式 $P = \frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}$，可得：
$P(\mathrm{两次和为偶数}) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
列举法求概率；概率计算公式；奇偶性判断
【点评】
本题是概率计算的基础题型，解题的核心是抓住“和为偶数等价于两数同奇偶”的规律简化计算，也可以通过列表法或树状图法直接列举所有结果验证，能够有效考查学生对概率基本计算方法的掌握程度。
【难度系数】
0.8
4*. 有长度分别为2 cm,3 cm,4 cm,7 cm的四条线段,随机选取其中三条能组成三角形的概率是
$\dfrac{1}{4}$
.答案
4. $\dfrac{1}{4}$
解析
【分析】
要解决这道题，需分三步思考：第一步，先确定从4条线段中随机选3条的所有等可能情况，列举时做到不重不漏；第二步，根据三角形三边关系判断每种情况能否构成三角形，可使用“较小两边之和大于最大边”的技巧简化判断，注意两边之和等于第三边时无法构成三角形；第三步，用“符合条件的情况数÷总等可能情况数”即可算出所求概率。
【解析】
从长度为2cm、3cm、4cm、7cm的四条线段中随机选3条，共有4种等可能的结果，逐一判断如下：
1. 选取2cm、3cm、4cm：较小两边和为$2+3=5＞4$，满足三角形三边关系，可以构成三角形；
2. 选取2cm、3cm、7cm：较小两边和为$2+3=5＜7$，不满足三边关系，不能构成三角形；
3. 选取2cm、4cm、7cm：较小两边和为$2+4=6＜7$，不满足三边关系，不能构成三角形；
4. 选取3cm、4cm、7cm：较小两边和为$3+4=7$，不满足三边关系，不能构成三角形。
综上，能构成三角形的情况只有1种，根据概率公式可得，所求概率为$\dfrac{1}{4}$。
【答案】
$\dfrac{1}{4}$
【知识点】
三角形三边关系；列举法求概率；概率公式
【点评】
本题是几何性质与概率计算的综合基础题，解题关键是正确列举出所有取线段的组合，同时要注意“两边之和等于第三边时不能构成三角形”这一易错点，避免判断失误。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需分三步思考：第一步，先确定从4条线段中随机选3条的所有等可能情况，列举时做到不重不漏；第二步，根据三角形三边关系判断每种情况能否构成三角形，可使用“较小两边之和大于最大边”的技巧简化判断，注意两边之和等于第三边时无法构成三角形；第三步，用“符合条件的情况数÷总等可能情况数”即可算出所求概率。
【解析】
从长度为2cm、3cm、4cm、7cm的四条线段中随机选3条，共有4种等可能的结果，逐一判断如下：
1. 选取2cm、3cm、4cm：较小两边和为$2+3=5＞4$，满足三角形三边关系，可以构成三角形；
2. 选取2cm、3cm、7cm：较小两边和为$2+3=5＜7$，不满足三边关系，不能构成三角形；
3. 选取2cm、4cm、7cm：较小两边和为$2+4=6＜7$，不满足三边关系，不能构成三角形；
4. 选取3cm、4cm、7cm：较小两边和为$3+4=7$，不满足三边关系，不能构成三角形。
综上，能构成三角形的情况只有1种，根据概率公式可得，所求概率为$\dfrac{1}{4}$。
【答案】
$\dfrac{1}{4}$
【知识点】
三角形三边关系；列举法求概率；概率公式
【点评】
本题是几何性质与概率计算的综合基础题，解题关键是正确列举出所有取线段的组合，同时要注意“两边之和等于第三边时不能构成三角形”这一易错点，避免判断失误。
【难度系数】
0.6
三、解答题
1. 随着电影《哪吒2》火爆上映，“哪吒”这一经典文化IP便在消费市场上掀起了一股热潮.如图，小文收集了A、B、C、D、E五个钥匙扣，其中A为哪吒造型，她想让好友云云和珍珍分别选一件作为礼物.每件都很精美，一时之间不知如何选择，于是她用抓阄的方式来确定礼物的归属，将分别写有A、B、C、D、E的五张纸片（上面的字母分别代表对应的钥匙扣），折叠成外表完全一样的纸团，搅匀，她先让云云从这5个纸团中随机抽取一个，不放回，搅匀后，再让珍珍从剩下的4个纸团中随机抽取一个.
(1)云云抽到哪吒造型(A)的概率是
(2)利用画树状图或列表的方法求云云和珍珍有一人抽到哪吒造型(A)的概率.
1. 随着电影《哪吒2》火爆上映，“哪吒”这一经典文化IP便在消费市场上掀起了一股热潮.如图，小文收集了A、B、C、D、E五个钥匙扣，其中A为哪吒造型，她想让好友云云和珍珍分别选一件作为礼物.每件都很精美，一时之间不知如何选择，于是她用抓阄的方式来确定礼物的归属，将分别写有A、B、C、D、E的五张纸片（上面的字母分别代表对应的钥匙扣），折叠成外表完全一样的纸团，搅匀，她先让云云从这5个纸团中随机抽取一个，不放回，搅匀后，再让珍珍从剩下的4个纸团中随机抽取一个.
(1)云云抽到哪吒造型(A)的概率是
$\dfrac{1}{5}$
；(2)利用画树状图或列表的方法求云云和珍珍有一人抽到哪吒造型(A)的概率.
答案
1. (1) $\dfrac{1}{5}$
(2)树状图如下：
由树状图可知,共有20种等可能结果,其中云云和珍珍有一人抽到哪吒造型(A)的有8种结果,所以云云和珍珍有一人抽到哪吒造型(A)的概率为$\dfrac{8}{20}$=$\dfrac{2}{5}$
解析
【分析】
(1) 第一问是基础的简单概率计算问题，云云从5个等可能的纸团中抽取1个，直接用抽到A的结果数除以总抽取结果数就能得到对应概率。
(2) 第二问是不放回的两步抽样概率问题，我们可以通过画树状图列举出所有等可能的结果，再筛选出“仅有一人抽到A”的结果，最后根据概率公式计算结果即可；注意“有一人抽到A”包含仅云云抽到A、仅珍珍抽到A两种情况，不放回抽样下不存在两人同时抽到A的情况，计数时不要漏算或多算。
【解析】
(1) 抽取时总共有5种等可能的结果，其中抽到哪吒造型A的结果有1种，
所以云云抽到哪吒造型(A)的概率为 $\dfrac{1}{5}$。
(2) 按照不放回抽取的规则画树状图如下：
由树状图可得，所有等可能的结果共有20种，
其中满足“云云和珍珍有一人抽到哪吒造型(A)”的结果有：(A,B)、(A,C)、(A,D)、(A,E)、(B,A)、(C,A)、(D,A)、(E,A)，共8种，
因此所求概率 $P=\dfrac{8}{20}=\dfrac{2}{5}$。
【答案】
(1) $\dfrac{1}{5}$
(2) 树状图如下：
由树状图可知,共有20种等可能结果,其中云云和珍珍有一人抽到哪吒造型(A)的有8种结果,所以云云和珍珍有一人抽到哪吒造型(A)的概率为$\dfrac{8}{20}$=$\dfrac{2}{5}$
【知识点】
简单概率计算，树状图法求概率，不放回抽样概率
【点评】
本题结合热门文化IP设置场景，贴近生活，属于概率的基础应用题型，解题核心是掌握用树状图列举所有等可能结果的方法，准确识别符合要求的结果类型，细心计数即可正确求解。
【难度系数】
0.8
(1) 第一问是基础的简单概率计算问题，云云从5个等可能的纸团中抽取1个，直接用抽到A的结果数除以总抽取结果数就能得到对应概率。
(2) 第二问是不放回的两步抽样概率问题，我们可以通过画树状图列举出所有等可能的结果，再筛选出“仅有一人抽到A”的结果，最后根据概率公式计算结果即可；注意“有一人抽到A”包含仅云云抽到A、仅珍珍抽到A两种情况，不放回抽样下不存在两人同时抽到A的情况，计数时不要漏算或多算。
【解析】
(1) 抽取时总共有5种等可能的结果，其中抽到哪吒造型A的结果有1种，
所以云云抽到哪吒造型(A)的概率为 $\dfrac{1}{5}$。
(2) 按照不放回抽取的规则画树状图如下：
由树状图可得，所有等可能的结果共有20种，
其中满足“云云和珍珍有一人抽到哪吒造型(A)”的结果有：(A,B)、(A,C)、(A,D)、(A,E)、(B,A)、(C,A)、(D,A)、(E,A)，共8种，
因此所求概率 $P=\dfrac{8}{20}=\dfrac{2}{5}$。
【答案】
(1) $\dfrac{1}{5}$
(2) 树状图如下：
由树状图可知,共有20种等可能结果,其中云云和珍珍有一人抽到哪吒造型(A)的有8种结果,所以云云和珍珍有一人抽到哪吒造型(A)的概率为$\dfrac{8}{20}$=$\dfrac{2}{5}$
【知识点】
简单概率计算，树状图法求概率，不放回抽样概率
【点评】
本题结合热门文化IP设置场景，贴近生活，属于概率的基础应用题型，解题核心是掌握用树状图列举所有等可能结果的方法，准确识别符合要求的结果类型，细心计数即可正确求解。
【难度系数】
0.8
