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【拓展思考】
为促进消费、助力经济发展，海南某免税店决定“让利酬宾”，在“十一”黄金周期间举办抽奖促销活动. 活动规则如下:凡在商场消费达到规定金额的顾客,均可获得一次抽奖机会. 抽奖方案为从装有大小、质地完全相同的1个红球及编号为①②③的3个黄球的袋中,随机摸取1个球,若摸到红球,则中奖,可获得奖品;若摸到黄球,则不中奖. 同时,未中奖的顾客可将摸到的球放回袋中,再向袋中加入1个红球或黄球(新球大小、质地与原有球完全相同),随后不放回地连续随机抽取2个球,若两球颜色相同,则可获得精美礼品一份. 现已知某顾客获得抽奖机会.
(1)求该顾客首次摸球中奖的概率;
(2)若该顾客首次摸球未中奖,为使获得精美礼品的概率更大,他应往袋中加入哪种颜色的球?说明你的理由;
(3)结合本题,说说概率在实际生活中的应用价值.
为促进消费、助力经济发展，海南某免税店决定“让利酬宾”，在“十一”黄金周期间举办抽奖促销活动. 活动规则如下:凡在商场消费达到规定金额的顾客,均可获得一次抽奖机会. 抽奖方案为从装有大小、质地完全相同的1个红球及编号为①②③的3个黄球的袋中,随机摸取1个球,若摸到红球,则中奖,可获得奖品;若摸到黄球,则不中奖. 同时,未中奖的顾客可将摸到的球放回袋中,再向袋中加入1个红球或黄球(新球大小、质地与原有球完全相同),随后不放回地连续随机抽取2个球,若两球颜色相同,则可获得精美礼品一份. 现已知某顾客获得抽奖机会.
(1)求该顾客首次摸球中奖的概率;
(2)若该顾客首次摸球未中奖,为使获得精美礼品的概率更大,他应往袋中加入哪种颜色的球?说明你的理由;
(3)结合本题,说说概率在实际生活中的应用价值.
答案
1. 顾客首次摸球中奖的概率为$\frac{1}{4}$
2. 他应往袋中加入黄球，理由如下:往袋中新加入的球记为“新”,摸得的两球所有可能的结果画树状图如下：
共有20种等可能结果。①若往袋中加入的是红球,两球颜色相同的结果共有8种,此时该顾客获得精美礼品的概率$P_1=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}$；②若往袋中加入的是黄球,两球颜色相同的结果共有12种,此时该顾客获得精美礼品的概率$P_2=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$，因为$\frac{2}{5}＜\frac{3}{5}$,所以$P_1＜P_2$,所以他应往袋中加入黄球3. 略
解析
【分析】
(1) 第一问求首次摸球中奖概率，首先明确首次摸球时袋中共有4个等可能的球（1红3黄），中奖的情况为摸到红球，仅1种符合条件的结果，直接用概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算即可。
(2) 第二问需对比加入不同颜色球时获得礼品的概率：首先首次未中奖说明袋中仍为1红3黄，分两种情况讨论：①加红球，此时袋中有2红3黄；②加黄球，此时袋中有1红4黄。两种情况加球后均为5个球，不放回抽2个，用列举法算出所有等可能结果，再分别统计两球同色的结果数，计算对应概率后比较大小，选择概率更大的方案即可。
(3) 第三问为开放类问题，结合概率辅助最优决策的作用，联系生活实际说明即可。
【解析】
(1) 首次摸球时，袋中共有1个红球、3个黄球，合计4个大小质地完全相同的球，所有等可能的摸球结果共4种，其中摸到红球（中奖）的结果有1种，
因此首次摸球中奖的概率 $P=\frac{1}{4}$。
(2) 顾客首次摸球未中奖，说明袋中仍为1红3黄共4个球，加球后袋中共有5个球，不放回连续抽取2个球，所有等可能的结果共$5×4=20$种：
① 若加入红球：此时袋中有2个红球、3个黄球。两球颜色相同的情况为“两红”或“两黄”：两红的结果有$2×1=2$种，两黄的结果有$3×2=6$种，合计同色结果共8种，
因此获得精美礼品的概率 $P_1=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}$。
② 若加入黄球：此时袋中有1个红球、4个黄球。两球颜色相同的情况只有“两黄”，结果有$4×3=12$种，
因此获得精美礼品的概率 $P_2=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$。
因为 $\frac{2}{5}＜\frac{3}{5}$，即$P_1＜P_2$，所以为使获得精美礼品的概率更大，应加入黄球。
(3) 概率可以帮助人们在面临多种选择时，通过计算不同事件发生的概率，做出更合理、更有利的决策，在抽奖活动、风险预判、商业决策等场景中都有广泛应用。
【答案】
1. 顾客首次摸球中奖的概率为$\frac{1}{4}$
2. 他应往袋中加入黄球，理由如下:往袋中新加入的球记为“新”,摸得的两球所有可能的结果画树状图如下： 共有20种等可能结果。①若往袋中加入的是红球,两球颜色相同的结果共有8种,此时该顾客获得精美礼品的概率$P_1=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}$；②若往袋中加入的是黄球,两球颜色相同的结果共有12种,此时该顾客获得精美礼品的概率$P_2=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$，因为$\frac{2}{5}＜\frac{3}{5}$,所以$P_1＜P_2$,所以他应往袋中加入黄球
3. 略
【知识点】
古典概型计算，列举法求概率，概率决策应用
【点评】
本题结合生活中的促销抽奖场景，既考查了概率的基础计算能力，又引导学生利用概率知识解决实际决策问题，体现了数学与生活的紧密联系，能有效锻炼学生的分析应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问求首次摸球中奖概率，首先明确首次摸球时袋中共有4个等可能的球（1红3黄），中奖的情况为摸到红球，仅1种符合条件的结果，直接用概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算即可。
(2) 第二问需对比加入不同颜色球时获得礼品的概率：首先首次未中奖说明袋中仍为1红3黄，分两种情况讨论：①加红球，此时袋中有2红3黄；②加黄球，此时袋中有1红4黄。两种情况加球后均为5个球，不放回抽2个，用列举法算出所有等可能结果，再分别统计两球同色的结果数，计算对应概率后比较大小，选择概率更大的方案即可。
(3) 第三问为开放类问题，结合概率辅助最优决策的作用，联系生活实际说明即可。
【解析】
(1) 首次摸球时，袋中共有1个红球、3个黄球，合计4个大小质地完全相同的球，所有等可能的摸球结果共4种，其中摸到红球（中奖）的结果有1种，
因此首次摸球中奖的概率 $P=\frac{1}{4}$。
(2) 顾客首次摸球未中奖，说明袋中仍为1红3黄共4个球，加球后袋中共有5个球，不放回连续抽取2个球，所有等可能的结果共$5×4=20$种：
① 若加入红球：此时袋中有2个红球、3个黄球。两球颜色相同的情况为“两红”或“两黄”：两红的结果有$2×1=2$种，两黄的结果有$3×2=6$种，合计同色结果共8种，
因此获得精美礼品的概率 $P_1=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}$。
② 若加入黄球：此时袋中有1个红球、4个黄球。两球颜色相同的情况只有“两黄”，结果有$4×3=12$种，
因此获得精美礼品的概率 $P_2=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$。
因为 $\frac{2}{5}＜\frac{3}{5}$，即$P_1＜P_2$，所以为使获得精美礼品的概率更大，应加入黄球。
(3) 概率可以帮助人们在面临多种选择时，通过计算不同事件发生的概率，做出更合理、更有利的决策，在抽奖活动、风险预判、商业决策等场景中都有广泛应用。
【答案】
1. 顾客首次摸球中奖的概率为$\frac{1}{4}$
2. 他应往袋中加入黄球，理由如下:往袋中新加入的球记为“新”,摸得的两球所有可能的结果画树状图如下：
共有20种等可能结果。①若往袋中加入的是红球,两球颜色相同的结果共有8种,此时该顾客获得精美礼品的概率$P_1=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}$；②若往袋中加入的是黄球,两球颜色相同的结果共有12种,此时该顾客获得精美礼品的概率$P_2=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$，因为$\frac{2}{5}＜\frac{3}{5}$,所以$P_1＜P_2$,所以他应往袋中加入黄球3. 略
【知识点】
古典概型计算，列举法求概率，概率决策应用
【点评】
本题结合生活中的促销抽奖场景，既考查了概率的基础计算能力，又引导学生利用概率知识解决实际决策问题，体现了数学与生活的紧密联系，能有效锻炼学生的分析应用能力。
【难度系数】
0.7
