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【例2】计算：
(1)$\frac{2}{5} ÷ (-2\frac{2}{5}) - \frac{8}{21} × (-1\frac{3}{4}) - 0.25$；
(2)$(-3) - [-5 + (1 - 0.2 × \frac{3}{5}) ÷ (-2)]$.
解:
【规律方法】
有理数的加、减、乘、除混合运算的方法
严格按运算顺序计算:先算乘除,再算加减;如果有括号,先算括号内的.注意同级运算中的先后顺序.
(1)$\frac{2}{5} ÷ (-2\frac{2}{5}) - \frac{8}{21} × (-1\frac{3}{4}) - 0.25$；
(2)$(-3) - [-5 + (1 - 0.2 × \frac{3}{5}) ÷ (-2)]$.
解:
【规律方法】
有理数的加、减、乘、除混合运算的方法
严格按运算顺序计算:先算乘除,再算加减;如果有括号,先算括号内的.注意同级运算中的先后顺序.
答案
(1) $\frac{1}{4}$
(2) $2\frac{11}{25}$
(2) $2\frac{11}{25}$
解析
【分析】
这两道是有理数加减乘除混合运算题，解题遵循以下思路：1.先统一形式：把带分数化为假分数、小数化为分数，方便后续计算；2.严格遵守运算顺序：有括号先算括号内（先小括号，再中括号），再算乘除，最后算加减；3.计算时重点注意符号判断，同号得正、异号得负，避免符号出错。
第(1)题没有括号，先分别计算除法和乘法，再依次计算加减即可；第(2)题有多层括号，从最内层小括号开始，逐层向外计算，最后算括号外的减法。
【解析】
(1) 先把所有数统一为分数形式：
$-2\frac{2}{5}=-\frac{12}{5}$，$-1\frac{3}{4}=-\frac{7}{4}$，$0.25=\frac{1}{4}$
原式$=\frac{2}{5}÷(-\frac{12}{5}) - \frac{8}{21}×(-\frac{7}{4}) - \frac{1}{4}$
先算乘除：
$\frac{2}{5}÷(-\frac{12}{5})=\frac{2}{5}×(-\frac{5}{12})=-\frac{1}{6}$
$-\frac{8}{21}×(-\frac{7}{4})=\frac{8×7}{21×4}=\frac{2}{3}$
再算加减：
原式$=-\frac{1}{6}+\frac{2}{3}-\frac{1}{4}$
通分（分母最小公倍数为12）：
$=-\frac{2}{12}+\frac{8}{12}-\frac{3}{12}$
$=\frac{-2+8-3}{12}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$
(2) 从内层小括号开始计算：
先算小括号内的乘法：$0.2×\frac{3}{5}=\frac{1}{5}×\frac{3}{5}=\frac{3}{25}$
再算小括号内的减法：$1-\frac{3}{25}=\frac{22}{25}$
接着算除法：$\frac{22}{25}÷(-2)=\frac{22}{25}×(-\frac{1}{2})=-\frac{11}{25}$
再算中括号内的加法：$-5+(-\frac{11}{25})=-5\frac{11}{25}=-\frac{136}{25}$
最后算括号外的减法：
原式$=(-3)-(-\frac{136}{25})=-3+\frac{136}{25}$
$=-\frac{75}{25}+\frac{136}{25}=\frac{61}{25}=2\frac{11}{25}$
【答案】
(1) $\frac{1}{4}$
(2) $2\frac{11}{25}$
【知识点】
1. 有理数混合运算
2. 分数乘除法运算
3. 去括号运算
【点评】
本题重点考察有理数混合运算的运算规则，计算时优先将小数、带分数转化为分数形式可降低计算难度，同时要特别注意乘除运算的符号判断，避免因符号错误导致计算失误。
【难度系数】
0.7
这两道是有理数加减乘除混合运算题，解题遵循以下思路：1.先统一形式：把带分数化为假分数、小数化为分数，方便后续计算；2.严格遵守运算顺序：有括号先算括号内（先小括号，再中括号），再算乘除，最后算加减；3.计算时重点注意符号判断，同号得正、异号得负，避免符号出错。
第(1)题没有括号，先分别计算除法和乘法，再依次计算加减即可；第(2)题有多层括号，从最内层小括号开始，逐层向外计算，最后算括号外的减法。
【解析】
(1) 先把所有数统一为分数形式：
$-2\frac{2}{5}=-\frac{12}{5}$，$-1\frac{3}{4}=-\frac{7}{4}$，$0.25=\frac{1}{4}$
原式$=\frac{2}{5}÷(-\frac{12}{5}) - \frac{8}{21}×(-\frac{7}{4}) - \frac{1}{4}$
先算乘除：
$\frac{2}{5}÷(-\frac{12}{5})=\frac{2}{5}×(-\frac{5}{12})=-\frac{1}{6}$
$-\frac{8}{21}×(-\frac{7}{4})=\frac{8×7}{21×4}=\frac{2}{3}$
再算加减：
原式$=-\frac{1}{6}+\frac{2}{3}-\frac{1}{4}$
通分（分母最小公倍数为12）：
$=-\frac{2}{12}+\frac{8}{12}-\frac{3}{12}$
$=\frac{-2+8-3}{12}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$
(2) 从内层小括号开始计算：
先算小括号内的乘法：$0.2×\frac{3}{5}=\frac{1}{5}×\frac{3}{5}=\frac{3}{25}$
再算小括号内的减法：$1-\frac{3}{25}=\frac{22}{25}$
接着算除法：$\frac{22}{25}÷(-2)=\frac{22}{25}×(-\frac{1}{2})=-\frac{11}{25}$
再算中括号内的加法：$-5+(-\frac{11}{25})=-5\frac{11}{25}=-\frac{136}{25}$
最后算括号外的减法：
原式$=(-3)-(-\frac{136}{25})=-3+\frac{136}{25}$
$=-\frac{75}{25}+\frac{136}{25}=\frac{61}{25}=2\frac{11}{25}$
【答案】
(1) $\frac{1}{4}$
(2) $2\frac{11}{25}$
【知识点】
1. 有理数混合运算
2. 分数乘除法运算
3. 去括号运算
【点评】
本题重点考察有理数混合运算的运算规则，计算时优先将小数、带分数转化为分数形式可降低计算难度，同时要特别注意乘除运算的符号判断，避免因符号错误导致计算失误。
【难度系数】
0.7
【例3】今抽查10袋精盐，每袋精盐的标准质量是100 g，超出部分记为正，不足部分记为负，称后的记录(单位：g)如下表：
求这10袋盐的总质量.
解：
求这10袋盐的总质量.
解：
答案
这10袋盐一共重 1 000 g.
解析
【分析】
要计算10袋盐的总质量，可分两步思考：第一步先算出10袋盐全部为标准质量时的总质量；第二步计算所有袋精盐的质量偏差总和，即每类记录的数值乘对应袋数后相加；最后把标准总质量加上偏差总和，就能得到实际总质量。
【解析】
首先计算10袋盐的标准总质量：
$10×100=1000$（g）
再计算所有盐的质量偏差总和：
$\begin{aligned}&2×(+1) + 3×(-0.5) + 3×0 + 1×(+1.5) +1×(-2)\\=&2 -1.5 + 0 +1.5 -2\\=&0\ (\mathrm{g})\end{aligned}$
实际总质量为标准总质量加偏差总和：
$1000 + 0 = 1000$（g）
【答案】
这10袋盐一共重 1 000 g.
【知识点】
正负数的应用，有理数混合运算
【点评】
本题是正负数在实际称重问题中的基础应用，解题核心是理解正负数表示超出/不足标准质量的含义，计算偏差总和时注意要将每个偏差值乘对应的袋数，避免漏算出错。
【难度系数】
0.8
要计算10袋盐的总质量，可分两步思考：第一步先算出10袋盐全部为标准质量时的总质量；第二步计算所有袋精盐的质量偏差总和，即每类记录的数值乘对应袋数后相加；最后把标准总质量加上偏差总和，就能得到实际总质量。
【解析】
首先计算10袋盐的标准总质量：
$10×100=1000$（g）
再计算所有盐的质量偏差总和：
$\begin{aligned}&2×(+1) + 3×(-0.5) + 3×0 + 1×(+1.5) +1×(-2)\\=&2 -1.5 + 0 +1.5 -2\\=&0\ (\mathrm{g})\end{aligned}$
实际总质量为标准总质量加偏差总和：
$1000 + 0 = 1000$（g）
【答案】
这10袋盐一共重 1 000 g.
【知识点】
正负数的应用，有理数混合运算
【点评】
本题是正负数在实际称重问题中的基础应用，解题核心是理解正负数表示超出/不足标准质量的含义，计算偏差总和时注意要将每个偏差值乘对应的袋数，避免漏算出错。
【难度系数】
0.8
2.计算：
(1)$(-\frac{3}{4}-\frac{5}{9}+\frac{7}{12})÷\frac{1}{36};$
(2)$2\frac{1}{2}×\frac{1}{4}÷(-9+19).$
(1)$(-\frac{3}{4}-\frac{5}{9}+\frac{7}{12})÷\frac{1}{36};$
(2)$2\frac{1}{2}×\frac{1}{4}÷(-9+19).$
答案
(1) -26.
(2) $\frac{1}{16}$.
(2) $\frac{1}{16}$.
解析
【分析】
对于(1)题，首先根据“除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数”，将除法运算转化为乘法运算，再观察括号内各分数的分母都是36的因数，可利用乘法分配律展开计算，能避免通分的复杂步骤，简化计算过程。对于(2)题，按照有理数混合运算顺序，先计算括号内的加法，再将带分数化为假分数，之后按从左到右的顺序依次计算乘除运算即可。
【解析】
(1) 原式$=(-\frac{3}{4}-\frac{5}{9}+\frac{7}{12})×36$
根据乘法分配律展开：
$=-\frac{3}{4}×36 - \frac{5}{9}×36 + \frac{7}{12}×36$
分别计算各项乘积：
$=-27 - 20 + 21$
计算加减得：
$=-26$
(2) 先计算括号内的运算：$-9+19=10$，将带分数$2\frac{1}{2}$化为假分数$\frac{5}{2}$，则：
原式$=\frac{5}{2}×\frac{1}{4}÷10$
将除法转化为乘法：
$=\frac{5}{2}×\frac{1}{4}×\frac{1}{10}$
约分计算：
$=\frac{5}{80}=\frac{1}{16}$
【答案】
(1) $-26$；(2) $\frac{1}{16}$
【知识点】
有理数混合运算、乘法分配律、分数乘除运算
【点评】
本题重点考察有理数混合运算的运算顺序和简便计算方法，第一题合理运用乘法分配律可大幅降低计算量，第二题计算时要注意先处理括号内的运算，带分数运算前先化为假分数能减少计算错误。
【难度系数】
0.8
对于(1)题，首先根据“除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数”，将除法运算转化为乘法运算，再观察括号内各分数的分母都是36的因数，可利用乘法分配律展开计算，能避免通分的复杂步骤，简化计算过程。对于(2)题，按照有理数混合运算顺序，先计算括号内的加法，再将带分数化为假分数，之后按从左到右的顺序依次计算乘除运算即可。
【解析】
(1) 原式$=(-\frac{3}{4}-\frac{5}{9}+\frac{7}{12})×36$
根据乘法分配律展开：
$=-\frac{3}{4}×36 - \frac{5}{9}×36 + \frac{7}{12}×36$
分别计算各项乘积：
$=-27 - 20 + 21$
计算加减得：
$=-26$
(2) 先计算括号内的运算：$-9+19=10$，将带分数$2\frac{1}{2}$化为假分数$\frac{5}{2}$，则：
原式$=\frac{5}{2}×\frac{1}{4}÷10$
将除法转化为乘法：
$=\frac{5}{2}×\frac{1}{4}×\frac{1}{10}$
约分计算：
$=\frac{5}{80}=\frac{1}{16}$
【答案】
(1) $-26$；(2) $\frac{1}{16}$
【知识点】
有理数混合运算、乘法分配律、分数乘除运算
【点评】
本题重点考察有理数混合运算的运算顺序和简便计算方法，第一题合理运用乘法分配律可大幅降低计算量，第二题计算时要注意先处理括号内的运算，带分数运算前先化为假分数能减少计算错误。
【难度系数】
0.8
3.高度每增加1 km，气温大约降低6 ℃，已知某山山顶的温度是－37 ℃，地面温度是5 ℃，则山顶的高度大约是
知识建构
综合与实践——知识建构与应用
“24点”游戏
某班分组开展“24点”游戏的实践活动.
【游戏规则】
“24点”游戏规则:拿一副扑克牌,抽去大小王后(J表示11,Q表示12,K表示13,A表示1),任意抽取4张牌,用有理数的加、减、乘、除运算(可加括号)把牌面上的数算成24,每张牌必须用且只能用一次.
现第一组学生从中抽出四张写着不同数字的扑克牌,如图.为了使运算结果为24,其中的一个方法是
【拓展探究】
第二、三两个小组的学生从一副扑克牌(去掉大小王)中任意抽取4张,根据牌面上的数字进行加、减、乘、除混合运算(每张牌有且仅用一次,可以加括号),使得运算结果为24或－24.其中红色扑克牌表示负数,黑色扑克牌表示正数,一副去掉大小王的扑克牌一半是红色(红桃和方块),一半是黑色(黑桃,梅花).
(1)第二小组抽到了黑桃3,黑桃7,红桃7,方块7,能按游戏规则凑成“24点”吗?请说明理由.
(2)第三小组抽到了黑桃3,黑桃7,梅花3,梅花7,能按游戏规则凑成“24点”吗?请说明理由.
7
km.知识建构
综合与实践——知识建构与应用
“24点”游戏
某班分组开展“24点”游戏的实践活动.
【游戏规则】
“24点”游戏规则:拿一副扑克牌,抽去大小王后(J表示11,Q表示12,K表示13,A表示1),任意抽取4张牌,用有理数的加、减、乘、除运算(可加括号)把牌面上的数算成24,每张牌必须用且只能用一次.
现第一组学生从中抽出四张写着不同数字的扑克牌,如图.为了使运算结果为24,其中的一个方法是
6×8÷(3−1)(答案不唯一)
=24.【拓展探究】
第二、三两个小组的学生从一副扑克牌(去掉大小王)中任意抽取4张,根据牌面上的数字进行加、减、乘、除混合运算(每张牌有且仅用一次,可以加括号),使得运算结果为24或－24.其中红色扑克牌表示负数,黑色扑克牌表示正数,一副去掉大小王的扑克牌一半是红色(红桃和方块),一半是黑色(黑桃,梅花).
(1)第二小组抽到了黑桃3,黑桃7,红桃7,方块7,能按游戏规则凑成“24点”吗?请说明理由.
(2)第三小组抽到了黑桃3,黑桃7,梅花3,梅花7,能按游戏规则凑成“24点”吗?请说明理由.
答案
3. 7
【游戏规则】 6×8÷(3−1)(答案不唯一)
(1) 能.理由如下：
抽到的牌表示的数为3,7,−7,−7,则3×[7+(−7)÷(−7)]=3×8=24.
(2) 能.理由如下：
抽到的牌表示的数为3,7,3,7,则7×(3+3÷7)=24.
【游戏规则】 6×8÷(3−1)(答案不唯一)
(1) 能.理由如下：
抽到的牌表示的数为3,7,−7,−7,则3×[7+(−7)÷(−7)]=3×8=24.
(2) 能.理由如下：
抽到的牌表示的数为3,7,3,7,则7×(3+3÷7)=24.
解析
【分析】
1. 温度海拔问题：解题时先计算地面与山顶的温度差，再根据“高度每增加1km气温降低6℃”的规律，用温度差除以6即可得到山顶高度，计算时注意负数减法的符号规则。
2. 基础24点问题：根据24点运算规则，利用给出的4个数字（1、3、6、8），通过四则运算加括号凑出结果为24的算式，可优先尝试凑3×8、4×6、48÷2等常见等于24的组合。
3. 拓展探究(1)：首先根据规则将扑克牌转化为对应数字（黑色为正，红色为负），得到3、7、-7、-7四个数，利用3×8=24的思路，用7和两个-7凑出8，再与3相乘即可。
4. 拓展探究(2)：先得到四个正数3、7、3、7，利用7×(24/7)=24的思路，用两个3和一个7凑出24/7，再与剩余的7相乘即可得到24。
【解析】
★第3题：
步骤1：计算地面与山顶的温度差：$\mathrm{温差}=\mathrm{地面温度}-\mathrm{山顶温度}=5-(-37)=5+37=42{°}C$
步骤2：计算山顶高度：已知每升高1km气温降低$6{°}C$，因此高度$=42÷6=7\mathrm{km}$
★基础24点题：
给出4个数字1、3、6、8，可构造运算：先计算括号内$3-1=2$，再计算$6×8=48$，最后$48÷2=24$，可得符合要求的算式。
★拓展探究(1)：
步骤1：转换扑克牌对应数字：黑桃3=3，黑桃7=7，红桃7=-7，方块7=-7，四个数为3、7、-7、-7。
步骤2：构造符合规则的算式：$3×[7+(-7)÷(-7)]=3×(7+1)=3×8=24$，每张牌只用一次，运算结果为24，符合要求。
★拓展探究(2)：
步骤1：转换扑克牌对应数字：黑桃3=3，黑桃7=7，梅花3=3，梅花7=7，四个数为3、7、3、7。
步骤2：构造符合规则的算式：$7×(3+3÷7)=7×(\frac{21}{7}+\frac{3}{7})=7×\frac{24}{7}=24$，每张牌只用一次，运算结果为24，符合要求。
【答案】
3. 7
【游戏规则】 6×8÷(3−1)（答案不唯一）
(1) 能.理由如下：抽到的牌表示的数为3,7,−7,−7,则3×[7+(−7)÷(−7)]=3×8=24.
(2) 能.理由如下：抽到的牌表示的数为3,7,3,7,则7×(3+3÷7)=24.
【知识点】
有理数混合运算，正负数实际应用，四则运算巧算
【点评】
本组题目将数学知识与生活场景、趣味游戏结合，既考查有理数运算的基础规则，又需要学生发散思维灵活构造算式，有助于提升运算能力和思维灵活性。
【难度系数】
0.7
1. 温度海拔问题：解题时先计算地面与山顶的温度差，再根据“高度每增加1km气温降低6℃”的规律，用温度差除以6即可得到山顶高度，计算时注意负数减法的符号规则。
2. 基础24点问题：根据24点运算规则，利用给出的4个数字（1、3、6、8），通过四则运算加括号凑出结果为24的算式，可优先尝试凑3×8、4×6、48÷2等常见等于24的组合。
3. 拓展探究(1)：首先根据规则将扑克牌转化为对应数字（黑色为正，红色为负），得到3、7、-7、-7四个数，利用3×8=24的思路，用7和两个-7凑出8，再与3相乘即可。
4. 拓展探究(2)：先得到四个正数3、7、3、7，利用7×(24/7)=24的思路，用两个3和一个7凑出24/7，再与剩余的7相乘即可得到24。
【解析】
★第3题：
步骤1：计算地面与山顶的温度差：$\mathrm{温差}=\mathrm{地面温度}-\mathrm{山顶温度}=5-(-37)=5+37=42{°}C$
步骤2：计算山顶高度：已知每升高1km气温降低$6{°}C$，因此高度$=42÷6=7\mathrm{km}$
★基础24点题：
给出4个数字1、3、6、8，可构造运算：先计算括号内$3-1=2$，再计算$6×8=48$，最后$48÷2=24$，可得符合要求的算式。
★拓展探究(1)：
步骤1：转换扑克牌对应数字：黑桃3=3，黑桃7=7，红桃7=-7，方块7=-7，四个数为3、7、-7、-7。
步骤2：构造符合规则的算式：$3×[7+(-7)÷(-7)]=3×(7+1)=3×8=24$，每张牌只用一次，运算结果为24，符合要求。
★拓展探究(2)：
步骤1：转换扑克牌对应数字：黑桃3=3，黑桃7=7，梅花3=3，梅花7=7，四个数为3、7、3、7。
步骤2：构造符合规则的算式：$7×(3+3÷7)=7×(\frac{21}{7}+\frac{3}{7})=7×\frac{24}{7}=24$，每张牌只用一次，运算结果为24，符合要求。
【答案】
3. 7
【游戏规则】 6×8÷(3−1)（答案不唯一）
(1) 能.理由如下：抽到的牌表示的数为3,7,−7,−7,则3×[7+(−7)÷(−7)]=3×8=24.
(2) 能.理由如下：抽到的牌表示的数为3,7,3,7,则7×(3+3÷7)=24.
【知识点】
有理数混合运算，正负数实际应用，四则运算巧算
【点评】
本组题目将数学知识与生活场景、趣味游戏结合，既考查有理数运算的基础规则，又需要学生发散思维灵活构造算式，有助于提升运算能力和思维灵活性。
【难度系数】
0.7
