11. 如图61-G-11，M是线段AB上一点，且$AB=10\ \mathrm{cm}$，C，D两点分别从M，B同时出发以$1\ \mathrm{cm/s}$，$3\ \mathrm{cm/s}$的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（点C在线段AM上，点D在线段BM上）。
(1)当点C，D运动了2 s时，求这时$AC+MD$的值；
(2)若点C，D运动时，总有$MD=3AC$，求AM的长。

11. 解:(1)当点C,D运动了2 s时,$CM=2\ \mathrm{cm}$,$BD=6\ \mathrm{cm}$。
因为$AB=10\ \mathrm{cm}$,$CM=2\ \mathrm{cm}$,$BD=6\ \mathrm{cm}$,
所以$AC+MD=AB-CM-BD=10-2-6=2(\mathrm{cm})$。
(2)因为C,D两点的速度分别为$1\ \mathrm{cm/s}$,$3\ \mathrm{cm/s}$,
所以$BD=3CM$。
又因为$MD=3AC$,
所以$BD+MD=3CM+3AC$,即$BM=3AM$,
所以$AM=\frac{1}{4}AB=2.5\ \mathrm{cm}$。

【分析】
(1)解决第一问时，先根据“路程=速度×时间”计算出C、D运动2s的路程，即CM和BD的长度，再观察线段组成：AB=AC+CM+MD+BD，变形可得AC+MD=AB-CM-BD，代入数值计算即可。
(2)解决第二问时，首先根据C、D的速度比可知相同时间内BD=3CM，结合已知条件MD=3AC，将两个等式左右分别相加，可得BM=3AM，再结合AB=AM+BM即可求出AM的长度。
【解析】
(1)当点C、D运动了2s时，根据路程=速度×时间：
$CM=1\ \mathrm{cm/s} × 2\ \mathrm{s}=2\ \mathrm{cm}$，$BD=3\ \mathrm{cm/s} × 2\ \mathrm{s}=6\ \mathrm{cm}$
由线段的和差关系可知：$AB=AC+CM+MD+BD$
变形得$AC+MD=AB - CM - BD$，代入$AB=10\ \mathrm{cm}$得：
$AC+MD=10-2-6=2(\mathrm{cm})$
(2)已知C、D的速度分别为$1\ \mathrm{cm/s}$、$3\ \mathrm{cm/s}$，则任意相同运动时间内，路程满足$BD=3CM$
又已知运动时总有$MD=3AC$
将两个等式左右两边分别相加：$BD+MD=3CM+3AC$
即$BM=3(CM+AC)=3AM$
因为$AB=AM+BM=AM+3AM=4AM$
所以$AM=\frac{1}{4}AB=\frac{1}{4} × 10=2.5(\mathrm{cm})$
【答案】
(1)$2\ \mathrm{cm}$；(2)$2.5\ \mathrm{cm}$
【知识点】
线段和差计算，动点问题求解，线段比例关系
【点评】
本题重点考查线段和差关系的应用以及动点运动中路程与速度、时间的关系，解题的核心是将动点的运动路程转化为对应线段的长度，再结合已知的线段数量关系推导计算，掌握线段的和差变形是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.7

12. 已知∠A与∠B互余，∠A=70°25′，则∠B=（）

A.20°25′
B.110°25′
C.19°35′
D.109°35′

12. C

【分析】
首先明确互余的定义：若两个角互余，则这两个角的和为90°，因此求∠B只需用90°减去∠A的度数即可。计算时要注意度分秒是60进制，不够减时需借位，借1°相当于60′，再分别对度和分做减法运算就能得到结果。
【解析】
∵ ∠A与∠B互余，根据互余的性质，得∠A + ∠B = 90°
∴ ∠B = 90° - ∠A
又
∵ ∠A = 70°25′，将90°转化为89°60′（1°=60′，借1°作60′方便计算）
∴ ∠B = 89°60′ - 70°25′ = (89° - 70°) + (60′ - 25′) = 19°35′
故选C。
【答案】
C
【知识点】
余角的定义；度分秒的运算
【点评】
本题是基础运算题，核心考查对互余概念的掌握和度分秒的换算规则，解题的易错点是度分秒计算时忘记按60进制借位，只要掌握相关概念和运算规则就能轻松得分。
【难度系数】
0.8

13. (2025 乌鲁木齐期末) 如图 61-G-12, $∠AOB=∠COD=90°$, $OA$ 平分$∠COE$, $∠BOD = n°$ $(0＜n＜45)$,则下列结论不正确的是 ()


A.$∠BOD=∠AOC$
B.$∠AOE+∠AOD=90°$
C.$∠DOE=2∠BOD$
D.$∠AOD+∠BOC=180°$

13. C

【分析】
解题时先利用已知的两个直角，结合同角的余角相等得到角的等量关系，再结合角平分线的性质，逐一验证每个选项的结论是否成立，最终选出错误的选项即可。
【解析】
已知$∠ AOB=∠ COD=90°$，
$\therefore ∠ AOC + ∠ AOD = 90°$，$∠ BOD + ∠ AOD = 90°$，
根据同角的余角相等，可得$∠ AOC=∠ BOD$，故A选项结论正确，不符合题意；
$\because OA$平分$∠ COE$，$\therefore ∠ AOE=∠ AOC$，
又$\because ∠ AOC + ∠ AOD=90°$，$\therefore ∠ AOE + ∠ AOD=90°$，故B选项结论正确，不符合题意；
$\because ∠ AOE=∠ AOC=∠ BOD=n°$，$\therefore ∠ COE=2∠ AOC=2n°$，
$\therefore ∠ DOE=∠ COD - ∠ COE=90° - 2n°$，而$2∠ BOD=2n°$，
只有当$n=22.5$时$∠ DOE=2∠ BOD$，已知$0＜n＜45$，该等式不一定成立，故C选项结论错误，符合题意；
$∠ AOD + ∠ BOC = ∠ AOD + ∠ AOB + ∠ AOC = (∠ AOD + ∠ AOC) + ∠ AOB = 90° + 90° = 180°$，故D选项结论正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
角的和差计算，角平分线的定义，同角的余角相等
【点评】
本题主要考查角的相关计算，熟练掌握角平分线的性质以及角的和差关系是解题的关键，注意逐个验证选项避免出错。
【难度系数】
0.7