1. (青海中考)如图①,抛物线$y=x^2+bx+c$与x轴交于$A(-1,0),B(3,0)$两点,与y轴交于点C.
(1)求该抛物线的表达式.
(2)若点E是抛物线的对称轴与直线BC的交点,点F是抛物线的顶点,求EF的长.
(3)设点P是(1)中抛物线上的一个动点,是否存在满足$S_{△ PAB}=6$的点P?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.(请在图②中探讨)

1. 将A(-1,0),B(3,0)两点坐标代入$y=x^2+bx+c$,得$\begin{cases}1-b+c=0,\\9+3b+c=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}b=-2,\\c=-3,\end{cases}$
∴ 该抛物线的表达式为$y=x^2-2x-3$.
2.
∵ 抛物线的表达式为$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$,
∴ 抛物线的顶点F的坐标为(1,-4),抛物线的对称轴为直线x=1.当x=0时,$y=0^2-2×0-3=-3$,
∴ 点C的坐标为(0,-3).设直线BC的表达式为$y=mx+n(m≠0)$,将B(3,0),C(0,-3)两点坐标代入$y=mx+n$,得$\begin{cases}3m+n=0,\\n=-3,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=1,\\n=-3,\end{cases}$
∴ 直线BC的表达式为$y=x-3$.当x=1时,$y=1-3=-2$,
∴ 点E的坐标为(1,-2),
∴ $EF=|-2-(-4)|=2$.
3. 存在.求解过程如下:
∵ 点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(3,0),
∴ $AB=|3-(-1)|=4$.设点P的坐标为$(t,t^2-2t-3)$.
∵ $S_{△ PAB}=6$,
∴ $\frac{1}{2}×4×|t^2-2t-3|=6$,即$t^2-2t-3=3$或$t^2-2t-3=-3$,解得$t_1=1-\sqrt{7},t_2=1+\sqrt{7},t_3=0,t_4=2$,
∴ 存在满足$S_{△ PAB}=6$的点P,点P的坐标为$(1-\sqrt{7},3)$或$(1+\sqrt{7},3)$或(0,-3)或(2,-3).

2. (2025·宁夏中考)如图,抛物线$y=ax^2 -2x +3$与x轴负半轴交于点A,与y轴交于点B,顶点C的横坐标为-1.
(1)求抛物线的表达式;
(2)如图①,将直线AB沿y轴向上平移$m(m＞0)$个单位长度,当它与抛物线有交点时,求m的取值范围;
(3)如图②,抛物线的对称轴交直线AB于点D,交x轴于点E,连接AC.抛物线上是否存在点P(不与点C重合),使得$S_{△ PAD}=S_{△ CAD}$?若存在,直接写出点P的横坐标;若不存在,说明理由.

3. (2024·济南中考)在平面直角坐标系$xOy$

1.
∵ 抛物线顶点横坐标为-1,
∴ 由顶点的横坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$,其中b=-2,得$\frac{-2}{2a}=-1$,
∴ a=-1,
∴ 抛物线的表达式为$y=-x^2-2x+3$.
2. 当y=0时,$-x^2-2x+3=0$,即$x^2+2x-3=0$,解得x=-3或x=1(舍去),故A(-3,0).当x=0时,y=3,故B(0,3).设直线AB的表达式为$y=kx+b_1$,将点A(-3,0)与点B(0,3)代入解得$b_1=3,k=1$,
∴ 直线AB的表达式为$y=x+3$.向上平移m个单位长度后,直线表达式为$y=x+3+m$.与抛物线$y=-x^2-2x+3$联立,得$-x^2-2x+3=x+3+m$,整理得$x^2+3x+m=0$,抛物线与直线有交点时,$b^2-4ac=3^2-4×1×m=9-4m≥0$,解得$m≤\frac{9}{4}$.又m＞0,
∴ m的取值范围为$0＜m≤\frac{9}{4}$.
3. 存在,点P的横坐标为-2或$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$或$\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$.
解析:抛物线的对称轴为直线x=-1.直线AB:y=x+3,当x=-1时,y=2,故D(-1,2).顶点C:当x=-1时,$y=-(-1)^2-2×(-1)+3=4$,故C(-1,4).点A(-3,0),$S_{△ CAD}=\frac{1}{2}×CD·AE=\frac{1}{2}×(4-2)×(3-1)=2$,设P(x,y)在抛物线$y=-x^2-2x+3$上.如图,
情况1:过点C作AB的平行线,与抛物线交于点P,此时$S_{△ PAD}=S_{△ CAD}=2$,
∵ OA=OB,且PC//AB,故可设直线PC的表达式为y=x+t,将点C(-1,4)代入求得t=5,即PC的表达式为y=x+5,联立$\begin{cases}y=-x^2-2x+3,\\y=x+5,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=-2,\\y=3\end{cases}$或$\begin{cases}x=-1,\\y=4,\end{cases}$
∴ 点P的坐标为(-2,3).
情况2:过点E作AB的平行线,交抛物线于点$P_1$与$P_2$,
∵ CD=DE,
∴ 直线PC向下平移到直线AB的距离等于直线AB向下平移到直线$P_1P_2$的距离,当y=x+t过点E时,代入(-1,0),解得t=1,
∴ 直线$P_1P_2$的表达式为y=x+1,联立$\begin{cases}y=-x^2-2x+3,\\y=x+1,\end{cases}$整理得$x^2+3x-2=0$,解得$x=\frac{-3±\sqrt{17}}{2}$,即点$P_1$的横坐标是$\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$,点$P_2$的横坐标是$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$.
综上所述,存在点P,横坐标为-2或$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$或$\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$.
归纳总结 如图①,我们把三个顶点均在抛物线上的三角形叫作抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的内接三角形,$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×水平宽×铅垂高$,又可得铅垂高$=|a|(MQ·MN)$,所以$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}|a|·(MQ·MN)·(MQ+MN)$.抛物线内接三角形的面积和a有关(和b,c都没关系),和其中一个点与另外两个点的水平距离有关.
如图②,抛物线内接三角形面积公式:抛物线$y=ax^2+bx+c$上有三点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3),x_1＜x_3＜x_2$,则$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}|a·(x_2-x_1)(x_3-x_1)(x_2-x_3)|$,当$x_3=\frac{x_1+x_2}{2}$(CD//y轴)时,$S_{△ ABC}$有最大值.