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知识点 解含有分数系数的一元一次方程
知识梳理
解含有分数系数的一元一次方程的一般步骤：
(1)
(2)去括号；
(3)
(4)合并
(5)系数
知识梳理
解含有分数系数的一元一次方程的一般步骤：
(1)
去分母
；(2)去括号；
(3)
移项
；(4)合并
同类项
；(5)系数
化为1
.答案
(1) 去分母
(3) 移项
(4) 同类项
(5) 化为1
(3) 移项
(4) 同类项
(5) 化为1
解析
【分析】
本题考查解含有分数系数的一元一次方程的基本步骤，可按照解方程的操作逻辑推导填空：首先方程有分数系数时计算不便，第一步要先消去分母；去括号后需要把含未知数的项和常数项分别放到方程两侧；之后要把同类型的项合并化简；最后将未知数的系数调整为1，就能得到方程的解。
【解析】
解含有分数系数的一元一次方程按操作顺序分为5步：
(1) 给方程两边同乘所有分母的最小公倍数，消去分母，即第一步为去分母；
(2) 第二步是去括号；
(3) 去括号后将含未知数的项移到方程一侧，常数项移到另一侧，即第三步为移项；
(4) 移项后把类型相同的项合并化简，即合并同类项；
(5) 最后将未知数前的系数变为1，得到方程的解，即系数化为1。
【答案】
(1)去分母；(3)移项；(4)同类项；(5)化为1
【知识点】
解一元一次方程步骤，去分母
【点评】
本题属于基础识记类题目，主要考查解含分数系数的一元一次方程的基本步骤，牢记步骤顺序和每一步的操作要求，是正确求解一元一次方程的重要基础。
【难度系数】
0.9
本题考查解含有分数系数的一元一次方程的基本步骤，可按照解方程的操作逻辑推导填空：首先方程有分数系数时计算不便，第一步要先消去分母；去括号后需要把含未知数的项和常数项分别放到方程两侧；之后要把同类型的项合并化简；最后将未知数的系数调整为1，就能得到方程的解。
【解析】
解含有分数系数的一元一次方程按操作顺序分为5步：
(1) 给方程两边同乘所有分母的最小公倍数，消去分母，即第一步为去分母；
(2) 第二步是去括号；
(3) 去括号后将含未知数的项移到方程一侧，常数项移到另一侧，即第三步为移项；
(4) 移项后把类型相同的项合并化简，即合并同类项；
(5) 最后将未知数前的系数变为1，得到方程的解，即系数化为1。
【答案】
(1)去分母；(3)移项；(4)同类项；(5)化为1
【知识点】
解一元一次方程步骤，去分母
【点评】
本题属于基础识记类题目，主要考查解含分数系数的一元一次方程的基本步骤，牢记步骤顺序和每一步的操作要求，是正确求解一元一次方程的重要基础。
【难度系数】
0.9
例1 解下列方程：
(1) $y+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}y+2$；
(2) $\frac{x-1}{4}-\frac{2x+1}{3}=1$。
解：
(1) $y+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}y+2$；
(2) $\frac{x-1}{4}-\frac{2x+1}{3}=1$。
解：
答案
(1) $y=3$；
(2) $x=-\dfrac{19}{5}$。
(2) $x=-\dfrac{19}{5}$。
解析
【分析】
解一元一次方程需按照规范步骤逐步求解：（1）题属于不含分母的一元一次方程，先将含未知数的项移到等号左侧、常数项移到等号右侧，注意移项要变号，再合并同类项，最后将未知数的系数化为1即可得到解；（2）题属于含分母的一元一次方程，首先找到两个分母的最小公倍数，方程两边同时乘最小公倍数去掉分母，注意不要漏乘等号右侧的常数项，之后再按去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可。
【解析】
(1) 解方程 $y+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}y+2$
移项，得：$y-\frac{1}{2}y=2-\frac{1}{2}$
合并同类项，得：$\frac{1}{2}y=\frac{3}{2}$
系数化为1，两边同时乘2，得：$y=3$
(2) 解方程 $\frac{x-1}{4}-\frac{2x+1}{3}=1$
去分母，两边同时乘12，得：$3(x-1)-4(2x+1)=12$
去括号，得：$3x-3-8x-4=12$
移项，得：$3x-8x=12+3+4$
合并同类项，得：$-5x=19$
系数化为1，两边同时除以-5，得：$x=-\frac{19}{5}$
【答案】
(1) $y=3$；(2) $x=-\dfrac{19}{5}$
【知识点】
解一元一次方程；去分母法则；移项规则
【点评】
这两道题是解一元一次方程的基础典型题，覆盖了无分母和有分母两类常见方程，解题时需注意移项要变号，去分母时不要漏乘不含分母的项，按步骤规范书写可有效降低计算错误率。
【难度系数】
0.8
解一元一次方程需按照规范步骤逐步求解：（1）题属于不含分母的一元一次方程，先将含未知数的项移到等号左侧、常数项移到等号右侧，注意移项要变号，再合并同类项，最后将未知数的系数化为1即可得到解；（2）题属于含分母的一元一次方程，首先找到两个分母的最小公倍数，方程两边同时乘最小公倍数去掉分母，注意不要漏乘等号右侧的常数项，之后再按去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可。
【解析】
(1) 解方程 $y+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}y+2$
移项，得：$y-\frac{1}{2}y=2-\frac{1}{2}$
合并同类项，得：$\frac{1}{2}y=\frac{3}{2}$
系数化为1，两边同时乘2，得：$y=3$
(2) 解方程 $\frac{x-1}{4}-\frac{2x+1}{3}=1$
去分母，两边同时乘12，得：$3(x-1)-4(2x+1)=12$
去括号，得：$3x-3-8x-4=12$
移项，得：$3x-8x=12+3+4$
合并同类项，得：$-5x=19$
系数化为1，两边同时除以-5，得：$x=-\frac{19}{5}$
【答案】
(1) $y=3$；(2) $x=-\dfrac{19}{5}$
【知识点】
解一元一次方程；去分母法则；移项规则
【点评】
这两道题是解一元一次方程的基础典型题，覆盖了无分母和有分母两类常见方程，解题时需注意移项要变号，去分母时不要漏乘不含分母的项，按步骤规范书写可有效降低计算错误率。
【难度系数】
0.8
例2 某地为了打造风光带,将一段长为360 m的河道整治任务交由甲、乙两个工程队接力完成,共用时20天.已知甲工程队每天整治24 m,乙工程队每天整治16 m,求甲、乙两个工程队分别整治了多长的河道(设甲工程队整治了x m的河道).
解:
解:
答案
甲工程队整治了120 m的河道,乙工程队整治了240 m的河道。
解析
【分析】
本题可根据总工期等于甲、乙两队的工作时间之和建立等量关系求解。已知设甲工程队整治了$x\ \mathrm{m}$河道，首先可表示出乙工程队整治的河道长度，再结合两队的工作效率分别求出两队的工作时间，根据总用时20天列方程求解即可。
【解析】
设甲工程队整治了$x\ \mathrm{m}$的河道，则乙工程队整治了$(360 - x)\ \mathrm{m}$的河道。
根据“甲工作时间+乙工作时间=总天数20天”列方程：
$\frac{x}{24} + \frac{360 - x}{16} = 20$
去分母（两边同时乘24和16的最小公倍数48）：
$2x + 3(360 - x) = 960$
去括号：
$2x + 1080 - 3x = 960$
移项、合并同类项：
$-x = -120$
系数化为1：
$x = 120$
则乙工程队整治的河道长度为：$360 - 120 = 240(\mathrm{m})$
【答案】
甲工程队整治了120 m的河道,乙工程队整治了240 m的河道。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 去分母解一元一次方程
3. 工程问题等量关系
【点评】
本题属于典型的工程类实际应用问题，解题关键是找准工作总量、工作效率、工作时间三者的对应关系，搭建正确的等量关系列方程。解方程去分母时注意不要漏乘不含分母的常数项，掌握此类题型能有效提升用方程解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
本题可根据总工期等于甲、乙两队的工作时间之和建立等量关系求解。已知设甲工程队整治了$x\ \mathrm{m}$河道，首先可表示出乙工程队整治的河道长度，再结合两队的工作效率分别求出两队的工作时间，根据总用时20天列方程求解即可。
【解析】
设甲工程队整治了$x\ \mathrm{m}$的河道，则乙工程队整治了$(360 - x)\ \mathrm{m}$的河道。
根据“甲工作时间+乙工作时间=总天数20天”列方程：
$\frac{x}{24} + \frac{360 - x}{16} = 20$
去分母（两边同时乘24和16的最小公倍数48）：
$2x + 3(360 - x) = 960$
去括号：
$2x + 1080 - 3x = 960$
移项、合并同类项：
$-x = -120$
系数化为1：
$x = 120$
则乙工程队整治的河道长度为：$360 - 120 = 240(\mathrm{m})$
【答案】
甲工程队整治了120 m的河道,乙工程队整治了240 m的河道。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 去分母解一元一次方程
3. 工程问题等量关系
【点评】
本题属于典型的工程类实际应用问题，解题关键是找准工作总量、工作效率、工作时间三者的对应关系，搭建正确的等量关系列方程。解方程去分母时注意不要漏乘不含分母的常数项，掌握此类题型能有效提升用方程解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
