例3 某图书有一道解方程的题：$\frac{1+□ x}{3}+3=x$，$□$处在印刷时被油墨盖住了，查阅后面的答案知这个方程的解是$x=-2$，那么$□$处应该是多少？
解：
【规律方法】
解决此类问题时，只需将原方程的解代入原方程，将被覆盖的数看作新的未知数，再解新方程即可。

8

【分析】
要计算被油墨盖住的数，首先可将处的数设为未知数a，根据方程解的定义，方程的解能使方程左右两边相等，因此把已知解x=-2代入原方程，即可得到关于a的一元一次方程，再按解一元一次方程的步骤求解，就能得到a的值，即处的数字。
【解析】
设处的数为a，将x=-2代入原方程$\frac{1+□ x}{3}+3=x$，可得：
$\frac{1 - 2a}{3} + 3 = -2$
解这个关于a的一元一次方程：
1. 去分母：方程两边同时乘3，得 $1 - 2a + 9 = -6$
2. 合并同类项：$10 - 2a = -6$
3. 移项：$-2a = -6 - 10$
4. 计算得：$-2a = -16$
5. 系数化为1：两边同时除以$-2$，得 $a = 8$
【答案】
8
【知识点】
方程的解的定义；解一元一次方程；代入求值
【点评】
本题属于基础的参数求解类题型，解题关键是灵活运用方程解的定义进行代入转化，熟练掌握一元一次方程的解法即可快速作答。
【难度系数】
0.8

1. 解下列方程：
(1) $\frac{x+3}{3} - \frac{x+1}{2} = 1$；
(2) $\frac{10x}{7} - 1 = \frac{17 - 20x}{3}$。

(1) $x=-3$；
(2) $x=\dfrac{14}{17}$。

【分析】
解含分母的一元一次方程，核心思路是先利用等式的性质2去掉分母，将方程转化为整数系数的一元一次方程，再按去括号、移项、合并同类项、系数化为1的常规步骤求解即可。注意去分母时要给方程两边每一项都乘各分母的最小公倍数，不要漏乘不含分母的常数项，去括号和移项时要注意符号变化。
【解析】
(1) 解：分母3和2的最小公倍数是6，方程两边同时乘6，得：
$2(x+3) - 3(x+1) = 6$
去括号，得：
$2x + 6 - 3x - 3 = 6$
合并同类项，得：
$-x + 3 = 6$
移项，得：
$-x = 6 - 3$
$-x = 3$
系数化为1，得：
$x = -3$
(2) 解：分母7和3的最小公倍数是21，方程两边同时乘21，得：
$3×10x - 21×1 = 7(17 - 20x)$
化简得：
$30x - 21 = 119 - 140x$
移项，得：
$30x + 140x = 119 + 21$
合并同类项，得：
$170x = 140$
系数化为1，约分后得：
$x = \frac{14}{17}$
【答案】
(1) $x=-3$；(2) $x=\dfrac{14}{17}$
【知识点】
解一元一次方程、去分母、等式的性质
【点评】
这两道题是含分母的一元一次方程求解的常规题型，解题的关键是正确完成去分母的操作，计算时要注意避免漏乘常数项、符号出错等常见问题，熟练掌握一元一次方程的求解步骤即可准确作答。
【难度系数】
0.85

2. 某船从A码头顺流而下到达B码头，然后逆流返回，到达A，B两码头之间的C码头，一共航行了7 h. 已知此船在静水中的速度为7.5 km/h，水流速度为2.5 km/h，A，C两码头之间的距离为10 km，求A，B两码头之间的距离.

A,B两码头之间的距离为30 km。

【分析】
本题属于顺逆流类行程问题，解题可按以下思路展开：第一步先明确速度计算规则：顺流速度=船在静水中的速度+水流速度，逆流速度=船在静水中的速度-水流速度；第二步找核心等量关系：总航行时间=顺流从A到B的行驶时间+逆流从B到C的行驶时间，已知总时间为7h；第三步设A、B两码头距离为未知数，用未知数表示出B、C的距离，再根据“时间=路程÷速度”分别表示两段路程的行驶时间，列一元一次方程求解即可。
【解析】
首先计算航行速度：
顺流速度：$7.5 + 2.5 = 10\ \mathrm{km/h}$
逆流速度：$7.5 - 2.5 = 5\ \mathrm{km/h}$
设A、B两码头之间的距离为$x\ \mathrm{km}$，因C在A、B之间且A、C距离为10km，故B、C两码头距离为$(x - 10)\ \mathrm{km}$。
根据总航行时间为7h列方程：
$\frac{x}{10} + \frac{x - 10}{5} = 7$
去分母（方程两边同乘10）得：
$x + 2(x - 10) = 70$
去括号得：
$x + 2x - 20 = 70$
移项、合并同类项得：
$3x = 90$
系数化为1得：
$x = 30$
【答案】
A,B两码头之间的距离为30 km。
【知识点】
顺逆流行程问题、一元一次方程应用、去分母解方程
【点评】
本题是行程类方程应用的典型题型，解题核心是找准总航行时间这一等量关系，同时需要熟练掌握顺逆流速度的计算规则，以及去分母解一元一次方程的运算规范，避免去分母时漏乘常数项。
【难度系数】
0.7

3. 小明在做家庭作业时发现练习册上的一道解方程的题目中的一个数被墨水污染了：$\frac{x+1}{2}-\frac{5x - \blacksquare}{3}=-\frac{1}{2}$，“$\blacksquare$”表示被污染的数，翻开书后面的答案，发现这个方程的解是$x=2$，那么被污染的数是几呢？

被污染的数是4。

【分析】要解决这个问题，首先需要明确一元一次方程解的含义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。已知$x=2$是原方程的解，我们可以先设被污染的数为$m$，将$x=2$代入原方程，就能得到一个只含有未知数$m$的一元一次方程，再按照解一元一次方程的步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）求解，即可得到被污染的数。
【解析】
解：设被污染的数为$m$。
因为$x=2$是方程$\frac{x+1}{2}-\frac{5x - m}{3}=-\frac{1}{2}$的解，所以将$x=2$代入方程，得：
$\frac{2+1}{2}-\frac{5×2 - m}{3}=-\frac{1}{2}$
化简得：
$\frac{3}{2}-\frac{10 - m}{3}=-\frac{1}{2}$
去分母，两边同时乘以6（2和3的最小公倍数），得：
$6×\frac{3}{2} - 6×\frac{10 - m}{3} = 6×(-\frac{1}{2})$
计算得：
$9 - 2(10 - m) = -3$
去括号：
$9 - 20 + 2m = -3$
移项、合并同类项：
$2m = 8$
系数化为1：
$m = 4$
【答案】被污染的数是4。
【知识点】1.方程的解的定义 2.解一元一次方程
【点评】本题侧重考查方程解的应用，将已知解代入原方程转化为新的一元一次方程求解，既强化了去分母解方程的运算规则，也考查了转化的数学思想。
【难度系数】0.8