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例1 用代数式表示：
(1)a与b的差的立方：
a与b的平方的和：
(2)比x与y的积少3的数：
x的2倍与y的倒数的差：
【反思】列代数式时，要理解每句关系语的含义，包括数与字母的关系，包含哪些运算，列式时要正确反映关系语中的运算顺序；要善于找关键词，然后把关键词用适当的运算符号表示出来。
(1)a与b的差的立方：
$(a-b)^3$
；a与b的平方的和：
$a+b^2$
。(2)比x与y的积少3的数：
$xy-3$
；x的2倍与y的倒数的差：
$2x-\frac{1}{y}$
。【反思】列代数式时，要理解每句关系语的含义，包括数与字母的关系，包含哪些运算，列式时要正确反映关系语中的运算顺序；要善于找关键词，然后把关键词用适当的运算符号表示出来。
答案
(1)$(a-b)^3$，$a+b^2$
(2)$xy-3$，$2x-\frac{1}{y}$
(2)$xy-3$，$2x-\frac{1}{y}$
解析
【分析】
列代数式的核心是准确理解文字表述的运算顺序，先抓关键词确定运算类型，再根据描述的先后顺序确定运算优先级，需要括号的要添加括号保证运算顺序正确。解题时要注意：①遇到“…的差/和/积/商的…”结构，先算差/和/积/商，再算后续运算；②要区分“b的平方”和“a与b的和的平方”这类易混表述，明确平方的运算对象；③本题默认y不为0，可直接表示y的倒数。
【解析】
(1) 第一空：先计算a与b的差，即$a-b$，再对所得的差求立方，因此结果为$(a-b)^3$；
第二空：运算对象是a和b的平方，先计算b的平方为$b^2$，再求a与$b^2$的和，因此结果为$a+b^2$。
(2) 第一空：先计算x与y的积，即$xy$，比这个积少3，就是用积减去3，因此结果为$xy-3$；
第二空：先计算x的2倍为$2x$，再计算y的倒数为$\frac{1}{y}$，求两者的差即用$2x$减去$\frac{1}{y}$，因此结果为$2x-\frac{1}{y}$。
【答案】
(1)$(a-b)^3$，$a+b^2$
(2)$xy-3$，$2x-\frac{1}{y}$
【知识点】
列代数式，运算顺序判断，倒数的概念
【点评】
本题是列代数式的常规基础题，解题关键是准确辨析文字描述的运算顺序，区分易混的运算表述，避免因运算优先级判断错误失分。
【难度系数】
0.85
列代数式的核心是准确理解文字表述的运算顺序，先抓关键词确定运算类型，再根据描述的先后顺序确定运算优先级，需要括号的要添加括号保证运算顺序正确。解题时要注意：①遇到“…的差/和/积/商的…”结构，先算差/和/积/商，再算后续运算；②要区分“b的平方”和“a与b的和的平方”这类易混表述，明确平方的运算对象；③本题默认y不为0，可直接表示y的倒数。
【解析】
(1) 第一空：先计算a与b的差，即$a-b$，再对所得的差求立方，因此结果为$(a-b)^3$；
第二空：运算对象是a和b的平方，先计算b的平方为$b^2$，再求a与$b^2$的和，因此结果为$a+b^2$。
(2) 第一空：先计算x与y的积，即$xy$，比这个积少3，就是用积减去3，因此结果为$xy-3$；
第二空：先计算x的2倍为$2x$，再计算y的倒数为$\frac{1}{y}$，求两者的差即用$2x$减去$\frac{1}{y}$，因此结果为$2x-\frac{1}{y}$。
【答案】
(1)$(a-b)^3$，$a+b^2$
(2)$xy-3$，$2x-\frac{1}{y}$
【知识点】
列代数式，运算顺序判断，倒数的概念
【点评】
本题是列代数式的常规基础题，解题关键是准确辨析文字描述的运算顺序，区分易混的运算表述，避免因运算优先级判断错误失分。
【难度系数】
0.85
例2 (1)已知$(m+2)x^2y^{m+1}$是关于$x,y$的五次单项式,则$m$的值是
(2)已知多项式$-5π x^{2a+1}y^2 - \frac{1}{4}x^3y^3 + \frac{x^4y}{3}$。
①求多项式中各项的系数和次数；
②若多项式的次数是7,求$a$的值。
2
。(2)已知多项式$-5π x^{2a+1}y^2 - \frac{1}{4}x^3y^3 + \frac{x^4y}{3}$。
①求多项式中各项的系数和次数；
②若多项式的次数是7,求$a$的值。
答案
①$-5π x^{2a+1}y^2$的系数是$-5π$,次数是$2a+3$；$-\frac{1}{4}x^3y^3$的系数是$-\frac{1}{4}$,次数是6；$\frac{x^4y}{3}$的系数是$\frac{1}{3}$,次数是5。
②$a=2$
②$a=2$
解析
【分析】
(1) 解题思路：要确定m的值，需结合单项式的定义分析：单项式的次数是所有字母的指数和，且单项式的系数不能为0（否则式子不是单项式）。本题中x的次数为2，y的次数为$m+1$，两者相加等于5，同时保证系数$m+2≠0$，即可求解m。
(2) ① 解题思路：求多项式各项的系数和次数时，需明确：项的系数是该项的数字因数（注意π是常数，属于系数部分），项的次数是该项中所有字母的指数和，逐个分析三项即可。
② 解题思路：多项式的次数是次数最高的项的次数，先对比已知两项的次数，确定最高次项为第一项，令第一项的次数等于7，列一元一次方程即可求解a的值。
【解析】
(1) 已知$(m+2)x^2y^{m+1}$是关于x,y的五次单项式，因此满足：
$\begin{cases}m+2≠0 \\2+(m+1)=5 \end{cases}$
解第二个方程得$m+3=5$，即$m=2$，代入验证$m+2=4≠0$，符合要求。
(2) ① 逐项分析：
项$-5π x^{2a+1}y^2$：数字因数为$-5π$，即系数为$-5π$；字母x的指数为$2a+1$，y的指数为2，因此次数为$(2a+1)+2=2a+3$。
项$-\frac{1}{4}x^3y^3$：数字因数为$-\frac{1}{4}$，即系数为$-\frac{1}{4}$；字母指数和为$3+3=6$，即次数为6。
项$\frac{x^4y}{3}$：可变形为$\frac{1}{3}x^4y$，数字因数为$\frac{1}{3}$，即系数为$\frac{1}{3}$；字母指数和为$4+1=5$，即次数为5。
② 多项式的次数为最高次项的次数，已知后两项的次数为6和5，均小于7，因此最高次项为$-5π x^{2a+1}y^2$，令其次数等于7：
$2a+3=7$
移项得$2a=4$，解得$a=2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$
(2) ①$-5π x^{2a+1}y^2$的系数是$-5π$,次数是$2a+3$；$-\frac{1}{4}x^3y^3$的系数是$-\frac{1}{4}$,次数是6；$\frac{x^4y}{3}$的系数是$\frac{1}{3}$,次数是5。
②$\boldsymbol{a=2}$
【知识点】
1. 单项式的相关概念
2. 多项式的相关概念
3. 一元一次方程的应用
【点评】
本题侧重考查整式的基础概念，解题核心是准确区分单项式次数、多项式次数的定义，尤其要注意π是常数，不要误将其当作字母计算次数，整体属于基础巩固类习题，掌握核心概念即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
(1) 解题思路：要确定m的值，需结合单项式的定义分析：单项式的次数是所有字母的指数和，且单项式的系数不能为0（否则式子不是单项式）。本题中x的次数为2，y的次数为$m+1$，两者相加等于5，同时保证系数$m+2≠0$，即可求解m。
(2) ① 解题思路：求多项式各项的系数和次数时，需明确：项的系数是该项的数字因数（注意π是常数，属于系数部分），项的次数是该项中所有字母的指数和，逐个分析三项即可。
② 解题思路：多项式的次数是次数最高的项的次数，先对比已知两项的次数，确定最高次项为第一项，令第一项的次数等于7，列一元一次方程即可求解a的值。
【解析】
(1) 已知$(m+2)x^2y^{m+1}$是关于x,y的五次单项式，因此满足：
$\begin{cases}m+2≠0 \\2+(m+1)=5 \end{cases}$
解第二个方程得$m+3=5$，即$m=2$，代入验证$m+2=4≠0$，符合要求。
(2) ① 逐项分析：
项$-5π x^{2a+1}y^2$：数字因数为$-5π$，即系数为$-5π$；字母x的指数为$2a+1$，y的指数为2，因此次数为$(2a+1)+2=2a+3$。
项$-\frac{1}{4}x^3y^3$：数字因数为$-\frac{1}{4}$，即系数为$-\frac{1}{4}$；字母指数和为$3+3=6$，即次数为6。
项$\frac{x^4y}{3}$：可变形为$\frac{1}{3}x^4y$，数字因数为$\frac{1}{3}$，即系数为$\frac{1}{3}$；字母指数和为$4+1=5$，即次数为5。
② 多项式的次数为最高次项的次数，已知后两项的次数为6和5，均小于7，因此最高次项为$-5π x^{2a+1}y^2$，令其次数等于7：
$2a+3=7$
移项得$2a=4$，解得$a=2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$
(2) ①$-5π x^{2a+1}y^2$的系数是$-5π$,次数是$2a+3$；$-\frac{1}{4}x^3y^3$的系数是$-\frac{1}{4}$,次数是6；$\frac{x^4y}{3}$的系数是$\frac{1}{3}$,次数是5。
②$\boldsymbol{a=2}$
【知识点】
1. 单项式的相关概念
2. 多项式的相关概念
3. 一元一次方程的应用
【点评】
本题侧重考查整式的基础概念，解题核心是准确区分单项式次数、多项式次数的定义，尤其要注意π是常数，不要误将其当作字母计算次数，整体属于基础巩固类习题，掌握核心概念即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
例3 【阅读理解】小明在做作业时遇到这样一道题:若$x^2 - x - 4 = 5$,求$2x^2 - 2x + 3$的值,他采用了如下的“整体代换”的方法：
解:根据题意,得$x^2 - x - 4 = 5$,则有$x^2 - x = 9$,
则$2x^2 - 2x + 3 = 2(x^2 - x) + 3 = 2×9 + 3 = 21$,
所以$2x^2 - 2x + 3$的值为21。
【方法应用】(1)若代数式$x^2 + x + 2 = 5$,求代数式$3x^2 + 3x + 4$的值。
(2)当$x=1$时,代数式$mx^2 + nx +1$的值为7,求当$x=-1$时,代数式$mx^2 - nx +13$的值。
【反思】求代数式的值时首先要注意格式书写的规范,其次很多情况下要用到整体思想,如(1)就应把$x^2 + x$看成一个整体,用整体代入的方法来求值。
解:根据题意,得$x^2 - x - 4 = 5$,则有$x^2 - x = 9$,
则$2x^2 - 2x + 3 = 2(x^2 - x) + 3 = 2×9 + 3 = 21$,
所以$2x^2 - 2x + 3$的值为21。
【方法应用】(1)若代数式$x^2 + x + 2 = 5$,求代数式$3x^2 + 3x + 4$的值。
(2)当$x=1$时,代数式$mx^2 + nx +1$的值为7,求当$x=-1$时,代数式$mx^2 - nx +13$的值。
【反思】求代数式的值时首先要注意格式书写的规范,其次很多情况下要用到整体思想,如(1)就应把$x^2 + x$看成一个整体,用整体代入的方法来求值。
答案
(1)因为$x^2+x+2=5$,所以$x^2+x=3$,所以$3x^2+3x+4=3(x^2+x)+4=3×3+4=13$,所以代数式$3x^2+3x+4$的值为13。
(2)当$x=1$时,$mx^2+nx+1=m×1^2+n×1+1=m+n+1=7$,所以$m+n=6$,当$x=-1$时,$mx^2-nx+13=m×(-1)^2-n×(-1)+13=m+n+13=6+13=19$。所以当$x=-1$时,代数式$mx^2-nx+13$的值为19。
(2)当$x=1$时,$mx^2+nx+1=m×1^2+n×1+1=m+n+1=7$,所以$m+n=6$,当$x=-1$时,$mx^2-nx+13=m×(-1)^2-n×(-1)+13=m+n+13=6+13=19$。所以当$x=-1$时,代数式$mx^2-nx+13$的值为19。
解析
【分析】
本题运用整体代换思想求解代数式的值，解题思路如下：（1）先观察已知代数式和待求代数式的结构，发现待求式中$3x^2+3x$是已知式中$x^2+x$的3倍，先从已知条件求出$x^2+x$的整体值，再代入变形后的待求式计算即可；（2）先将$x=1$代入给定代数式求出$m+n$的整体值，再将$x=-1$代入待求式化简，可发现待求式中包含$m+n$的整体结构，代入整体值即可算出结果，无需单独求解m、n的取值。
【解析】
(1) 已知$x^2 + x + 2 = 5$，移项得$x^2 + x = 5-2=3$，
将待求式变形为$3x^2 + 3x + 4 = 3(x^2 + x) + 4$，把$x^2+x=3$代入得：
$3×3 +4=9+4=13$。
(2) 当$x=1$时，代入$mx^2 + nx +1$得：$m×1^2 +n×1 +1 = m+n+1=7$，
移项得$m+n=7-1=6$，
当$x=-1$时，代入$mx^2 -nx +13$得：$m×(-1)^2 -n×(-1)+13 = m +n +13$，
把$m+n=6$代入得：$6+13=19$。
【答案】
(1)13；(2)19
【知识点】
代数式求值；整体代入思想
【点评】
本题是代数式求值的基础应用题型，核心是通过观察代数式结构找到可代换的整体，跳过求解单个未知量的步骤，简化计算过程，是代数式求值中常用的技巧。
【难度系数】
0.7
本题运用整体代换思想求解代数式的值，解题思路如下：（1）先观察已知代数式和待求代数式的结构，发现待求式中$3x^2+3x$是已知式中$x^2+x$的3倍，先从已知条件求出$x^2+x$的整体值，再代入变形后的待求式计算即可；（2）先将$x=1$代入给定代数式求出$m+n$的整体值，再将$x=-1$代入待求式化简，可发现待求式中包含$m+n$的整体结构，代入整体值即可算出结果，无需单独求解m、n的取值。
【解析】
(1) 已知$x^2 + x + 2 = 5$，移项得$x^2 + x = 5-2=3$，
将待求式变形为$3x^2 + 3x + 4 = 3(x^2 + x) + 4$，把$x^2+x=3$代入得：
$3×3 +4=9+4=13$。
(2) 当$x=1$时，代入$mx^2 + nx +1$得：$m×1^2 +n×1 +1 = m+n+1=7$，
移项得$m+n=7-1=6$，
当$x=-1$时，代入$mx^2 -nx +13$得：$m×(-1)^2 -n×(-1)+13 = m +n +13$，
把$m+n=6$代入得：$6+13=19$。
【答案】
(1)13；(2)19
【知识点】
代数式求值；整体代入思想
【点评】
本题是代数式求值的基础应用题型，核心是通过观察代数式结构找到可代换的整体，跳过求解单个未知量的步骤，简化计算过程，是代数式求值中常用的技巧。
【难度系数】
0.7
例4 如图,已知长方形ABCD的宽AB=a,两个空白处圆的半径分别为a,b。
(1)用含字母的式子表示阴影部分的面积。(用含有$a,b,π$的式子表示)
(2)当$a=5,b=3$时,阴影部分的面积是多少?(结果保留$π$)
【反思】用代数式解决实际问题,往往先用代数式表示数量之间的关系,再用求代数式值的方法解决实际问题。
(1)用含字母的式子表示阴影部分的面积。(用含有$a,b,π$的式子表示)
(2)当$a=5,b=3$时,阴影部分的面积是多少?(结果保留$π$)
【反思】用代数式解决实际问题,往往先用代数式表示数量之间的关系,再用求代数式值的方法解决实际问题。
答案
(1)阴影部分的面积为$a(a+b)-\frac{90πa^2}{360}-\frac{90πb^2}{360}=a(a+b)-\frac{1}{4}π(a^2+b^2)$。
(2)当$a=5,b=3$时,阴影部分的面积为$a(a+b)-\frac{1}{4}π(a^2+b^2)=5×(5+3)-\frac{1}{4}π×(5^2+3^2)=40-\frac{17}{2}π$。
(2)当$a=5,b=3$时,阴影部分的面积为$a(a+b)-\frac{1}{4}π(a^2+b^2)=5×(5+3)-\frac{1}{4}π×(5^2+3^2)=40-\frac{17}{2}π$。
解析
【分析】
求阴影部分面积可采用“整体减空白”的思路：第一步先算整体长方形ABCD的面积，长方形宽为a，长为a+b，按长方形面积公式计算即可；第二步算两个空白部分的面积，两个空白都是圆心角90°的扇形，也就是四分之一圆，半径分别为a、b，分别求出两个扇形面积再求和；第三步用长方形面积减去两个空白扇形的总面积，就能得到阴影面积。第二问直接将a、b的数值代入第一问得到的代数式，按运算顺序计算即可。
【解析】
(1) 先计算长方形ABCD的面积：
长方形的长为$a+b$，宽为$a$，因此$S_{长方形}=长×宽=a(a+b)$。
再计算两个空白扇形的面积：
扇形圆心角为90°，对应面积为所在圆面积的$\frac{90}{360}=\frac{1}{4}$，
半径为$a$的扇形面积：$S_1=\frac{1}{4}πa^2$，
半径为$b$的扇形面积：$S_2=\frac{1}{4}πb^2$，
因此阴影部分面积为：
$S_{阴影}=S_{长方形}-S_1-S_2=a(a+b)-\frac{1}{4}πa^2-\frac{1}{4}πb^2=a(a+b)-\frac{1}{4}π(a^2+b^2)$。
(2) 将$a=5$，$b=3$代入(1)的结果中：
$S_{阴影}=5×(5+3)-\frac{1}{4}π×(5^2+3^2)$
$=5×8-\frac{1}{4}π×(25+9)$
$=40-\frac{1}{4}π×34$
$=40-\frac{17}{2}π$。
【答案】
(1) $a(a+b)-\frac{1}{4}π(a^2+b^2)$
(2) $40-\frac{17}{2}π$
【知识点】
面积计算，代数式表示，代数式求值
【点评】
本题核心是用割补法求解不规则图形的面积，需熟练掌握长方形、扇形的面积公式，代入数值计算时注意遵循运算顺序，结果按要求保留π即可。
【难度系数】
0.7
求阴影部分面积可采用“整体减空白”的思路：第一步先算整体长方形ABCD的面积，长方形宽为a，长为a+b，按长方形面积公式计算即可；第二步算两个空白部分的面积，两个空白都是圆心角90°的扇形，也就是四分之一圆，半径分别为a、b，分别求出两个扇形面积再求和；第三步用长方形面积减去两个空白扇形的总面积，就能得到阴影面积。第二问直接将a、b的数值代入第一问得到的代数式，按运算顺序计算即可。
【解析】
(1) 先计算长方形ABCD的面积：
长方形的长为$a+b$，宽为$a$，因此$S_{长方形}=长×宽=a(a+b)$。
再计算两个空白扇形的面积：
扇形圆心角为90°，对应面积为所在圆面积的$\frac{90}{360}=\frac{1}{4}$，
半径为$a$的扇形面积：$S_1=\frac{1}{4}πa^2$，
半径为$b$的扇形面积：$S_2=\frac{1}{4}πb^2$，
因此阴影部分面积为：
$S_{阴影}=S_{长方形}-S_1-S_2=a(a+b)-\frac{1}{4}πa^2-\frac{1}{4}πb^2=a(a+b)-\frac{1}{4}π(a^2+b^2)$。
(2) 将$a=5$，$b=3$代入(1)的结果中：
$S_{阴影}=5×(5+3)-\frac{1}{4}π×(5^2+3^2)$
$=5×8-\frac{1}{4}π×(25+9)$
$=40-\frac{1}{4}π×34$
$=40-\frac{17}{2}π$。
【答案】
(1) $a(a+b)-\frac{1}{4}π(a^2+b^2)$
(2) $40-\frac{17}{2}π$
【知识点】
面积计算，代数式表示，代数式求值
【点评】
本题核心是用割补法求解不规则图形的面积，需熟练掌握长方形、扇形的面积公式，代入数值计算时注意遵循运算顺序，结果按要求保留π即可。
【难度系数】
0.7
