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12. 如图所示的运算程序中,若开始输入的x值为15,则第1次输出的结果为18,第2次输出的结果为9……第2026次输出的结果为
6
。答案
12. 6
解析
【分析】首先明确运算程序规则：输入的x为偶数时，输出$\frac{1}{2}x$；x为奇数时，输出$x+3$，每次输出的结果会作为下一次的输入。解决这类求第n次输出结果的问题，首先按规则依次计算前几次的输出结果，找到循环规律，再判断第2026次输出在循环中的位置即可求解。
【解析】按照运算规则依次计算每次输出结果：
第1次：输入$x=15$（奇数），输出$15+3=18$；
第2次：输入$x=18$（偶数），输出$\frac{1}{2}×18=9$；
第3次：输入$x=9$（奇数），输出$9+3=12$；
第4次：输入$x=12$（偶数），输出$\frac{1}{2}×12=6$；
第5次：输入$x=6$（偶数），输出$\frac{1}{2}×6=3$；
第6次：输入$x=3$（奇数），输出$3+3=6$；
第7次：输入$x=6$（偶数），输出3；
……
观察可知，从第4次开始，输出结果按6、3的顺序循环，循环周期为2。
先减去前3次不循环的次数：$2026-3=2023$
计算2023除以周期2的余数：$2023÷2=1011······1$，余数为1，对应循环的第1个数字，即6。
【答案】6
【知识点】代数式求值，循环规律探究
【点评】本题属于程序运算类的规律题，解题核心是先通过计算找到循环周期，再利用余数定位所求次数对应的结果，难度适中。
【难度系数】0.65
【解析】按照运算规则依次计算每次输出结果：
第1次：输入$x=15$（奇数），输出$15+3=18$；
第2次：输入$x=18$（偶数），输出$\frac{1}{2}×18=9$；
第3次：输入$x=9$（奇数），输出$9+3=12$；
第4次：输入$x=12$（偶数），输出$\frac{1}{2}×12=6$；
第5次：输入$x=6$（偶数），输出$\frac{1}{2}×6=3$；
第6次：输入$x=3$（奇数），输出$3+3=6$；
第7次：输入$x=6$（偶数），输出3；
……
观察可知，从第4次开始，输出结果按6、3的顺序循环，循环周期为2。
先减去前3次不循环的次数：$2026-3=2023$
计算2023除以周期2的余数：$2023÷2=1011······1$，余数为1，对应循环的第1个数字，即6。
【答案】6
【知识点】代数式求值，循环规律探究
【点评】本题属于程序运算类的规律题，解题核心是先通过计算找到循环周期，再利用余数定位所求次数对应的结果，难度适中。
【难度系数】0.65
13. 已知a,b互为相反数,c,d互为倒数,m的绝对值是2,求$\frac{|a+b|}{2m^2 + 1} + 4m - 3cd$的值。
答案
13. 因为 a,b 互为相反数,c,d 互为倒数,m 的绝对值是 2,所以 a+b=0,cd=1,|m|=2,所以 $m=±2,m^2=(±2)^2=4$,当 m=2 时, $\frac{|a+b|}{2m^2+1}+4m-3cd=\frac{0}{2×4+1}+4×2-3=5$;当 m=-2 时, $\frac{|a+b|}{2m^2+1}+4m-3cd=\frac{0}{2×4+1}+4×(-2)-3=-11$。
解析
【分析】
解题时首先回忆相关概念的性质：互为相反数的两个数和为0，互为倒数的两个数乘积为1，绝对值为2的数有2和-2两个。第一步先根据这些性质求出a+b、cd、m的取值及m²的值，第二步将上述值代入所求代数式，因为m有两个不同取值，所以需要分两种情况分别计算代数式的值，即可得到最终结果。
【解析】
解：
∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2
∴a+b=0，cd=1，|m|=2，即$m=\pm2$，$m^2=(\pm2)^2=4$
分两种情况计算：
①当$m=2$时：
$\frac{|a+b|}{2m^2 + 1} + 4m - 3cd$
$=\frac{|0|}{2×4 + 1} + 4×2 - 3×1$
$=0 + 8 - 3$
$=5$
②当$m=-2$时：
$\frac{|a+b|}{2m^2 + 1} + 4m - 3cd$
$=\frac{|0|}{2×4 + 1} + 4×(-2) - 3×1$
$=0 - 8 - 3$
$=-11$
【答案】
5或-11
【知识点】
相反数的性质，倒数的性质，绝对值的性质
【点评】
本题属于代数式求值的常规题型，核心考查对相反数、倒数、绝对值基本概念的理解与运用，解题时需注意绝对值是正数的数对应正负两个值，要分类讨论避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆相关概念的性质：互为相反数的两个数和为0，互为倒数的两个数乘积为1，绝对值为2的数有2和-2两个。第一步先根据这些性质求出a+b、cd、m的取值及m²的值，第二步将上述值代入所求代数式，因为m有两个不同取值，所以需要分两种情况分别计算代数式的值，即可得到最终结果。
【解析】
解：
∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2
∴a+b=0，cd=1，|m|=2，即$m=\pm2$，$m^2=(\pm2)^2=4$
分两种情况计算：
①当$m=2$时：
$\frac{|a+b|}{2m^2 + 1} + 4m - 3cd$
$=\frac{|0|}{2×4 + 1} + 4×2 - 3×1$
$=0 + 8 - 3$
$=5$
②当$m=-2$时：
$\frac{|a+b|}{2m^2 + 1} + 4m - 3cd$
$=\frac{|0|}{2×4 + 1} + 4×(-2) - 3×1$
$=0 - 8 - 3$
$=-11$
【答案】
5或-11
【知识点】
相反数的性质，倒数的性质，绝对值的性质
【点评】
本题属于代数式求值的常规题型，核心考查对相反数、倒数、绝对值基本概念的理解与运用，解题时需注意绝对值是正数的数对应正负两个值，要分类讨论避免漏解。
【难度系数】
0.7
14. 如图是某一长方形闲置空地,宽为$3a$m,长为$b$m。为了美化环境,准备在这个长方形空地的四个顶点处分别修建一个半径$a$m的扇形花圃(阴影部分),然后在花圃内种花,中间修一条长$b$m,宽$a$m的长方形小路,剩余部分种草。
(1)小路的面积为
(2)当$a=2,b=10$时,请计算该长方形场地上种草的面积($π$取$3.14$,结果精确到十分位)。
(1)小路的面积为
ab
$\mathrm{m}^2$,种花的面积为πa²
$\mathrm{m}^2$,种草的面积为2ab−πa²
$\mathrm{m}^2$。(结果保留$π$)(2)当$a=2,b=10$时,请计算该长方形场地上种草的面积($π$取$3.14$,结果精确到十分位)。
答案
14. (1)$ab$ $π a^2$ $(2ab-π a^2)$
(2)当 $a=2,b=10$ 时, $2ab-π a^2 \approx 2×2×10-3.14×2^2=27.44\approx 27.4(\mathrm{m}^2)$。
答:该长方形场地上种草的面积为 $27.4\mathrm{m}^2$。
(2)当 $a=2,b=10$ 时, $2ab-π a^2 \approx 2×2×10-3.14×2^2=27.44\approx 27.4(\mathrm{m}^2)$。
答:该长方形场地上种草的面积为 $27.4\mathrm{m}^2$。
解析
【分析】
解题思路：先分别确定各部分对应的规则图形，再用对应面积公式计算：
1. 小路是规则长方形，直接用长方形面积公式“长×宽”计算即可；
2. 四个阴影扇形的半径都为a，每个扇形的圆心角都是90°，四个扇形拼起来刚好是1个完整的圆，因此种花面积就是半径为a的圆的面积；
3. 种草面积=长方形空地总面积-小路面积-种花面积，先算空地总面积，再减去前两部分的面积即可；
4. 第二问直接把a、b、π的数值代入第一问得到的种草面积的代数式，按要求计算并取近似值即可。
【解析】
解：(1) ①小路是长为b m，宽为a m的长方形，面积为：$b × a = ab \ (\mathrm{m}^2)$；
②四个扇形花圃的圆心角均为90°，半径均为a m，四个扇形可拼接为1个半径为a m的整圆，因此种花面积为：$π × a^2 = π a^2 \ (\mathrm{m}^2)$；
③长方形空地总面积为$3a × b = 3ab \ (\mathrm{m}^2)$，因此种草面积为：$3ab - ab - π a^2 = 2ab - π a^2 \ (\mathrm{m}^2)$。
(2) 把$a=2$，$b=10$，$π=3.14$代入$2ab - π a^2$得：
$\begin{aligned}2ab - π a^2 &= 2×2×10 - 3.14×2^2 \\&= 40 - 12.56 \\&= 27.44 \\&\approx 27.4 \ (\mathrm{m}^2)\end{aligned}$
答：该长方形场地上种草的面积为$27.4\mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) $ab$；$π a^2$；$2ab-π a^2$
(2) $27.4\mathrm{m}^2$
【知识点】
长方形面积计算；圆的面积计算；代数式求值
【点评】
本题属于组合图形面积计算的基础题，解题关键是将不规则的四个扇形转化为规则的整圆计算面积，代入数值计算时注意运算顺序和精确度要求，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
解题思路：先分别确定各部分对应的规则图形，再用对应面积公式计算：
1. 小路是规则长方形，直接用长方形面积公式“长×宽”计算即可；
2. 四个阴影扇形的半径都为a，每个扇形的圆心角都是90°，四个扇形拼起来刚好是1个完整的圆，因此种花面积就是半径为a的圆的面积；
3. 种草面积=长方形空地总面积-小路面积-种花面积，先算空地总面积，再减去前两部分的面积即可；
4. 第二问直接把a、b、π的数值代入第一问得到的种草面积的代数式，按要求计算并取近似值即可。
【解析】
解：(1) ①小路是长为b m，宽为a m的长方形，面积为：$b × a = ab \ (\mathrm{m}^2)$；
②四个扇形花圃的圆心角均为90°，半径均为a m，四个扇形可拼接为1个半径为a m的整圆，因此种花面积为：$π × a^2 = π a^2 \ (\mathrm{m}^2)$；
③长方形空地总面积为$3a × b = 3ab \ (\mathrm{m}^2)$，因此种草面积为：$3ab - ab - π a^2 = 2ab - π a^2 \ (\mathrm{m}^2)$。
(2) 把$a=2$，$b=10$，$π=3.14$代入$2ab - π a^2$得：
$\begin{aligned}2ab - π a^2 &= 2×2×10 - 3.14×2^2 \\&= 40 - 12.56 \\&= 27.44 \\&\approx 27.4 \ (\mathrm{m}^2)\end{aligned}$
答：该长方形场地上种草的面积为$27.4\mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) $ab$；$π a^2$；$2ab-π a^2$
(2) $27.4\mathrm{m}^2$
【知识点】
长方形面积计算；圆的面积计算；代数式求值
【点评】
本题属于组合图形面积计算的基础题，解题关键是将不规则的四个扇形转化为规则的整圆计算面积，代入数值计算时注意运算顺序和精确度要求，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
15. 火车站、机场、邮局等场所都有为旅客提供打包服务的项目。现有一个长、宽、高分别为$a\mathrm{cm},b\mathrm{cm},30\mathrm{cm}$的箱子(其中$a＞b$),准备采用如图1,2的两种打包方式,所用打包带的总长(不计接头处的长)分别记为$l_1,l_2$。
(1)求图1中打包带的总长$l_1$、图2中打包带的总长$l_2$分别是多少?(用含$a,b$的式子表示)
(2)当$a=70,b=50$时,计算两种打包方式用打包带总长各是多少?并判断哪一种打包方式更节省打包带。
(1)求图1中打包带的总长$l_1$、图2中打包带的总长$l_2$分别是多少?(用含$a,b$的式子表示)
(2)当$a=70,b=50$时,计算两种打包方式用打包带总长各是多少?并判断哪一种打包方式更节省打包带。
答案
15. (1)图 1 中打包带的总长 $l_1$ 是 $4a+2b+30×6=(4a+2b+180)\mathrm{cm}$,图 2 中打包带的总长 $l_2$ 是 $2a+4b+30×6=(2a+4b+180)\mathrm{cm}$。
(2)当 $a=70,b=50$ 时,图 1 中打包带的总长 $l_1$ 是 $4×70+2×50+180=560(\mathrm{cm})$,图 2 中打包带的总长 $l_2$ 是 $2×70+4×50+180=520(\mathrm{cm}),560＞520$,故图 2 的打包方式所用打包带更节省。
(2)当 $a=70,b=50$ 时,图 1 中打包带的总长 $l_1$ 是 $4×70+2×50+180=560(\mathrm{cm})$,图 2 中打包带的总长 $l_2$ 是 $2×70+4×50+180=520(\mathrm{cm}),560＞520$,故图 2 的打包方式所用打包带更节省。
解析
【分析】
(1) 要求两种打包方式的打包带总长，首先分别观察图1、图2中打包带在长$a$、宽$b$、高30cm三个方向上的段数：数出对应方向的段数后，将各段长度相加即可得到含$a$、$b$的总长表达式。
(2) 第二问求具体数值时，只需将$a=70$、$b=50$代入第一问得到的$l_1$、$l_2$的代数式中计算出结果，再比较两个结果的大小，总长更小的打包方式更节省。
【解析】
(1) 观察图1：打包带包含4段长为$a$的部分、2段长为$b$的部分、6段长为30cm的部分，因此总长：
$l_1=4a+2b+30×6=(4a+2b+180)\mathrm{cm}$
观察图2：打包带包含2段长为$a$的部分、4段长为$b$的部分、6段长为30cm的部分，因此总长：
$l_2=2a+4b+30×6=(2a+4b+180)\mathrm{cm}$
(2) 当$a=70$，$b=50$时，代入$l_1$的表达式得：
$l_1=4×70+2×50+180=280+100+180=560(\mathrm{cm})$
代入$l_2$的表达式得：
$l_2=2×70+4×50+180=140+200+180=520(\mathrm{cm})$
因为$560＞520$，所以图2的打包方式更节省打包带。
【答案】
(1) $l_1=(4a+2b+180)\mathrm{cm}$，$l_2=(2a+4b+180)\mathrm{cm}$；
(2) $l_1=560\mathrm{cm}$，$l_2=520\mathrm{cm}$，图2的打包方式更节省。
【知识点】
列代数式；代数式求值；有理数大小比较
【点评】
本题结合生活中的打包场景考查代数知识的实际应用，解题核心是准确梳理不同方向打包带的数量，代入求值时注意运算顺序即可，贴近生活实际。
【难度系数】
0.8
(1) 要求两种打包方式的打包带总长，首先分别观察图1、图2中打包带在长$a$、宽$b$、高30cm三个方向上的段数：数出对应方向的段数后，将各段长度相加即可得到含$a$、$b$的总长表达式。
(2) 第二问求具体数值时，只需将$a=70$、$b=50$代入第一问得到的$l_1$、$l_2$的代数式中计算出结果，再比较两个结果的大小，总长更小的打包方式更节省。
【解析】
(1) 观察图1：打包带包含4段长为$a$的部分、2段长为$b$的部分、6段长为30cm的部分，因此总长：
$l_1=4a+2b+30×6=(4a+2b+180)\mathrm{cm}$
观察图2：打包带包含2段长为$a$的部分、4段长为$b$的部分、6段长为30cm的部分，因此总长：
$l_2=2a+4b+30×6=(2a+4b+180)\mathrm{cm}$
(2) 当$a=70$，$b=50$时，代入$l_1$的表达式得：
$l_1=4×70+2×50+180=280+100+180=560(\mathrm{cm})$
代入$l_2$的表达式得：
$l_2=2×70+4×50+180=140+200+180=520(\mathrm{cm})$
因为$560＞520$，所以图2的打包方式更节省打包带。
【答案】
(1) $l_1=(4a+2b+180)\mathrm{cm}$，$l_2=(2a+4b+180)\mathrm{cm}$；
(2) $l_1=560\mathrm{cm}$，$l_2=520\mathrm{cm}$，图2的打包方式更节省。
【知识点】
列代数式；代数式求值；有理数大小比较
【点评】
本题结合生活中的打包场景考查代数知识的实际应用，解题核心是准确梳理不同方向打包带的数量，代入求值时注意运算顺序即可，贴近生活实际。
【难度系数】
0.8
