8. 已知关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}ax - y = -b, \\kx - y = 0\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = -3, \\y = 1,\end{cases}$则函数$y=ax+b$和$y=kx$的图象的交点坐标为 ______ 。

$(-3,1)$

9. 如图，一次函数$y=kx+b$与$y=x+1$的图象相交于点$P(m,4)$，则关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}kx - y = -b, \\ y - x = 1\end{cases}$的解是 ______ 。

$\begin{cases} x=3, \\ y=4 \end{cases}$

10. 若方程组$\begin{cases}a+b=3, \\ b+c=2, \\ c+a=1\end{cases}$的解满足$k=a+b+c$，则点$P(k+2,1-2k)$在第 ______ 象限。

四

11. 若以二元一次方程$x - 2y + b = 0$的解为坐标的点$(x,y)$都在直线$y=\frac{1}{2}x + 1$上，则常数$b$的值为。

11. 2

12. 信息安全越来越受到人们的重视，很多信息在传送的过程中需要进行加密处理。有一种信息加密、解密的工作原理为：发送方由明文通过加密规则将信息加密成密文，接收方将密文解密成明文。已知某加密规则为：明文$x,y$互为相反数，其对应的密文为$x+2y−k$，$2x+y−k$。若接收方收到密文为2和−1，则$k$的值为。

12. $-\frac{1}{2}$

13. 在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，对于点 $ P(x,y) $，如果点 $ Q(x,z) $ 的纵坐标满足
$z=\begin{cases}4y - x & (x≥ y), \\4x - y & (x＜ y),\end{cases}$
那么称点 $ Q $ 为点 $ P $ 的“关联点”。如果点 $ P(x,y) $ 的“关联点”$ Q $ 的坐标为 $ (-3,-10) $，求点 $ P $ 的坐标。

解: 分两种情况: ① 当 $ x ≥ y $ 时, 由题意得
$\begin{cases} x=-3, \\ 4y-x=-10, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=-3, \\ y=-\frac{13}{4}, \end{cases}$
因为 $ -3＞-\frac{13}{4} $, 所以符合题意；
当 $ x＜y $ 时, 由题意得 $\begin{cases} x=-3, \\ 4x-y=-10, \end{cases}$
解得 $\begin{cases} x=-3, \\ y=-2, \end{cases}$
因为 $ -3＜-2 $, 所以符合题意；
综上, 点 $ P $ 的坐标为 $ (-3,-\frac{13}{4}) $ 或 $ (-3,-2) $。

14. 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,点A,B分别在x轴、y轴上,且$OA=4$,$OB=2$,点C的坐标为$(4,2)$,$D$为$BC$的中点,$OC$和$AD$相交于点$E$,求$△ OAE$的面积。

解:根据题意得,点 $ O(0,0),A(4,0),B(0,2),C(4,2) $, $ D(2,2) $。
设直线 $ OC $ 对应的函数表达式为 $ y=kx $,
将点 $ C(4,2) $ 的坐标代入 $ y=kx $, 得 $ 4k=2 $,
解得 $ k=\frac{1}{2} $,
所以直线 $ OC $ 对应的函数表达式为 $ y=\frac{1}{2}x $。
设直线 $ AD $ 对应的函数表达式为 $ y=mx+n $,
将点 $ A(4,0),D(2,2) $ 的坐标分别代入得 $\begin{cases} 4m+n=0, \\ 2m+n=2, \end{cases}$
解得 $\begin{cases} m=-1, \\ n=4, \end{cases}$
所以直线 $ AD $ 对应的函数表达式为 $ y=-x+4 $。
由 $\begin{cases} y=\frac{1}{2}x, \\ y=-x+4, \end{cases}$
解得 $\begin{cases} x=\frac{8}{3}, \\ y=\frac{4}{3}, \end{cases}$ 所以点 $ E $ 的坐标为 $ (\frac{8}{3},\frac{4}{3}) $,
所以 $ S_{△ OAE}=\frac{1}{2}OA · y_E=\frac{1}{2} × 4 × \frac{4}{3}=\frac{8}{3} $。

15. 如图，正比例函数 $ y=-3x $ 的图象与一次函数 $ y=kx+b $ 的图象交于点 $ P(m,3) $，一次函数 $ y=kx+b $ 的图象经过点 $ B(1,1) $，且与 $ y $ 轴的交点为 $ D $，与 $ x $ 轴的交点为 $ C $。
(1) 求一次函数 $ y=kx+b $ 的表达式；
(2) $ \begin{cases} y=-3x, \\ y=kx+b \end{cases} $ 的解为 ______，点 $ D $ 的坐标为 ______；
(3) 连接 $ OB $，求 $ △ BOP $ 的面积。

解:(1)因为正比例函数 $ y=-3x $ 的图象与一次函数 $ y=kx+b $ 的图象交于点 $ P(m,3) $,
所以 $ -3m=3 $,
解得 $ m=-1 $, 所以点 $ P $ 的坐标为 $ (-1,3) $。
把 $ (1,1) $ 和 $ (-1,3) $ 代入 $ y=kx+b $,
得 $\begin{cases} k+b=1, \\ -k+b=3, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=-1, \\ b=2, \end{cases}$
所以一次函数 $ y=kx+b $ 的表达式是 $ y=-x+2 $；
(2) $\begin{cases} x=-1, \\ y=3, \end{cases}$ $(0,2)$；
(3)在 $ y=-x+2 $ 中, 令 $ y=0 $, 得 $ -x+2=0 $,
解得 $ x=2 $,
所以点 $ C $ 的坐标为 $ (2,0) $, 所以 $ OC=2 $,
因为点 $ P $ 的坐标为 $ (-1,3) $,
所以 $ S_{△ COP}=\frac{1}{2}OC · |y_p|=\frac{1}{2} × 2 × 3=3 $, $ S_{△ COB}=\frac{1}{2}OC · |y_B|=\frac{1}{2} × 2 × 1=1 $,
所以 $ S_{△ BOP}=S_{△ COP}-S_{△ COB}=2 $。