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一、选择题
1. 三元一次方程组 $\begin{cases}x - y + z = -3, \\ x + 2y - z = 1, \\ x + y = 0\end{cases}$ 的解是( ).
A.$\begin{cases} x = -1, \\ y = 1, \\ z = 2 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x = -1, \\ y = -2, \\ z = -4 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x = -2, \\ y = 2, \\ z = 1 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x = 2, \\ y = -2, \\ z = -7 \end{cases}$
1. 三元一次方程组 $\begin{cases}x - y + z = -3, \\ x + 2y - z = 1, \\ x + y = 0\end{cases}$ 的解是( ).
A.$\begin{cases} x = -1, \\ y = 1, \\ z = 2 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x = -1, \\ y = -2, \\ z = -4 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x = -2, \\ y = 2, \\ z = 1 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x = 2, \\ y = -2, \\ z = -7 \end{cases}$
答案
1. C
解析
【分析】
解这道题可以先观察方程组的特征：第三个方程仅含x和y两个未知数，因此可以先通过加减消元法消去前两个方程中的z，得到仅含x和y的方程，再和第三个方程联立求解出x、y的值，最后将x、y代入任意含z的方程求出z的值即可；也可以直接将各选项代入方程组验证是否同时满足三个方程。
【解析】
首先给三个方程标上序号：
$\begin{cases}x - y + z = -3 \ \ \ ① \\x + 2y - z = 1 \ \ \ ② \\x + y = 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ③\end{cases}$
第一步，消去z：将①+②，等号左右两边分别相加得：
$(x - y + z)+(x + 2y - z) = -3 + 1$
化简得：$2x + y = -2$ ④
第二步，联立③和④求解x、y：
用④-③得：$(2x + y)-(x + y) = -2 - 0$
解得：$x = -2$
将$x=-2$代入③得：$-2 + y = 0$，解得$y=2$
第三步，求z的值：将$x=-2$，$y=2$代入①得：
$-2 - 2 + z = -3$，解得$z=1$
因此方程组的解为$\begin{cases} x = -2, \\ y = 2, \\ z = 1 \end{cases}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
三元一次方程组的解法；加减消元法；代入消元法
【点评】
本题考查三元一次方程组的求解，解题时可先观察方程特点，优先消去仅在两个方程中出现的未知数，将三元方程组转化为二元方程组求解，也可通过代入选项验证的方法快速得到答案。
【难度系数】
0.8
解这道题可以先观察方程组的特征：第三个方程仅含x和y两个未知数，因此可以先通过加减消元法消去前两个方程中的z，得到仅含x和y的方程，再和第三个方程联立求解出x、y的值，最后将x、y代入任意含z的方程求出z的值即可；也可以直接将各选项代入方程组验证是否同时满足三个方程。
【解析】
首先给三个方程标上序号：
$\begin{cases}x - y + z = -3 \ \ \ ① \\x + 2y - z = 1 \ \ \ ② \\x + y = 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ③\end{cases}$
第一步，消去z：将①+②，等号左右两边分别相加得：
$(x - y + z)+(x + 2y - z) = -3 + 1$
化简得：$2x + y = -2$ ④
第二步，联立③和④求解x、y：
用④-③得：$(2x + y)-(x + y) = -2 - 0$
解得：$x = -2$
将$x=-2$代入③得：$-2 + y = 0$，解得$y=2$
第三步，求z的值：将$x=-2$，$y=2$代入①得：
$-2 - 2 + z = -3$，解得$z=1$
因此方程组的解为$\begin{cases} x = -2, \\ y = 2, \\ z = 1 \end{cases}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
三元一次方程组的解法；加减消元法；代入消元法
【点评】
本题考查三元一次方程组的求解，解题时可先观察方程特点，优先消去仅在两个方程中出现的未知数，将三元方程组转化为二元方程组求解，也可通过代入选项验证的方法快速得到答案。
【难度系数】
0.8
2. 在等式$y=ax^2+bx+c$中，当$x=0$时，$y=2$，当$x=-1$时，$y=0$，当$x=2$时，$y=12$，则$a+b+c$的值是（
A.4
B.5
C.6
D.8
C
）。A.4
B.5
C.6
D.8
答案
2. C
解析
【分析】
要计算a+b+c的值，首先需要求出等式中未知参数a、b、c的取值。题目给出了三组x与y的对应值，我们可以将每组值分别代入$y=ax^2+bx+c$，得到关于a、b、c的三元一次方程组，解方程组得到三个参数的值后，相加即可得到结果。解题时可以先代入x=0的情况快速求出c，简化后续计算。
【解析】
1. 将$x=0$，$y=2$代入$y=ax^2+bx+c$，得：
$2 = a×0^2 + b×0 + c$，解得$c=2$。
2. 将$x=-1$，$y=0$，$c=2$代入$y=ax^2+bx+c$，得：
$0 = a×(-1)^2 + b×(-1) + 2$，整理得$a - b = -2$ ①。
3. 将$x=2$，$y=12$，$c=2$代入$y=ax^2+bx+c$，得：
$12 = a×2^2 + b×2 + 2$，整理得$2a + b = 5$ ②。
4. 用①+②消去b，得：$3a = 3$，解得$a=1$。
5. 将$a=1$代入①，得：$1 - b = -2$，解得$b=3$。
6. 计算$a+b+c = 1 + 3 + 2 = 6$。
【答案】
C
【知识点】
1. 三元一次方程组求解
2. 代入消元法
3. 代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心是利用已知的变量对应值代入列方程组求解未知系数，先代入x=0的取值可先求出常数项c，有效降低后续解方程的难度，掌握消元法解方程组是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要计算a+b+c的值，首先需要求出等式中未知参数a、b、c的取值。题目给出了三组x与y的对应值，我们可以将每组值分别代入$y=ax^2+bx+c$，得到关于a、b、c的三元一次方程组，解方程组得到三个参数的值后，相加即可得到结果。解题时可以先代入x=0的情况快速求出c，简化后续计算。
【解析】
1. 将$x=0$，$y=2$代入$y=ax^2+bx+c$，得：
$2 = a×0^2 + b×0 + c$，解得$c=2$。
2. 将$x=-1$，$y=0$，$c=2$代入$y=ax^2+bx+c$，得：
$0 = a×(-1)^2 + b×(-1) + 2$，整理得$a - b = -2$ ①。
3. 将$x=2$，$y=12$，$c=2$代入$y=ax^2+bx+c$，得：
$12 = a×2^2 + b×2 + 2$，整理得$2a + b = 5$ ②。
4. 用①+②消去b，得：$3a = 3$，解得$a=1$。
5. 将$a=1$代入①，得：$1 - b = -2$，解得$b=3$。
6. 计算$a+b+c = 1 + 3 + 2 = 6$。
【答案】
C
【知识点】
1. 三元一次方程组求解
2. 代入消元法
3. 代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心是利用已知的变量对应值代入列方程组求解未知系数，先代入x=0的取值可先求出常数项c，有效降低后续解方程的难度，掌握消元法解方程组是解题的关键。
【难度系数】
0.8
3. 已知关于$x$的整系数二次三项式$ax^2+bx+c$，当$x$取$1,3,6,8$时，某同学算得这个二次三项式的值$y$分别为$1,5,25,50$. 经验算，只有一个是错误的，这个错误的结果是(
A.$x=1$时，$y=1$
B.$x=3$时，$y=5$
C.$x=6$时，$y=25$
D.$x=8$时，$y=50$
C
).A.$x=1$时，$y=1$
B.$x=3$时，$y=5$
C.$x=6$时，$y=25$
D.$x=8$时，$y=50$
答案
3. C
解析
【分析】
本题已知整系数二次三项式的四组x、y对应值，且仅一组错误，可采用假设法解题：依次假设每个选项对应的结果错误，将剩余三组值代入二次三项式得到三元一次方程组，求解a、b、c，若三个系数均为整数则假设成立，反之假设不成立，最终即可找到错误结果。
【解析】
设二次三项式为$ax^2+bx+c$（a、b、c均为整数，且$a≠0$），依次假设各选项错误验证：
1. 假设A错误：即$x=1,y=1$错误，取$x=3,y=5$、$x=6,y=25$、$x=8,y=50$列方程组：
$\begin{cases}9a+3b+c=5\\36a+6b+c=25\\64a+8b+c=50\end{cases}$
用第二个方程减第一个得$27a+3b=20$，左边是3的倍数，右边20不是3的倍数，无整数解，假设不成立，故A正确。
2. 假设B错误：即$x=3,y=5$错误，取$x=1,y=1$、$x=6,y=25$、$x=8,y=50$列方程组：
$\begin{cases}a+b+c=1\\36a+6b+c=25\\64a+8b+c=50\end{cases}$
第二个方程减第一个得$35a+5b=24$，左边是5的倍数，右边24不是5的倍数，无整数解，假设不成立，故B正确。
3. 假设C错误：即$x=6,y=25$错误，取$x=1,y=1$、$x=3,y=5$、$x=8,y=50$列方程组：
$\begin{cases}a+b+c=1&①\\9a+3b+c=5&②\\64a+8b+c=50&③\end{cases}$
②-①得：$8a+2b=4$，化简为$4a+b=2$ ④
③-②得：$55a+5b=45$，化简为$11a+b=9$ ⑤
⑤-④得：$7a=7$，解得$a=1$，代入④得$b=-2$，将$a=1,b=-2$代入①得$c=2$，三个系数均为整数，符合要求。代入验证$x=6$时，$y=1×6^2-2×6+2=26≠25$，符合“仅一个错误”的条件。
4. 假设D错误：即$x=8,y=50$错误，取$x=1,y=1$、$x=3,y=5$、$x=6,y=25$列方程组：
$\begin{cases}a+b+c=1\\9a+3b+c=5\\36a+6b+c=25\end{cases}$
第二个减第一个得$8a+2b=4$，第三个减第二个得$27a+3b=20$，左边是3的倍数，右边20不是3的倍数，无整数解，假设不成立，故D正确。
综上，错误的结果是x=6时y=25。
【答案】
C
【知识点】
三元一次方程组求解，整系数多项式，逻辑推理
【点评】
本题通过假设法结合方程求解解决判断类问题，解题过程中可利用整系数的特征快速排查矛盾，减少不必要的计算，锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
本题已知整系数二次三项式的四组x、y对应值，且仅一组错误，可采用假设法解题：依次假设每个选项对应的结果错误，将剩余三组值代入二次三项式得到三元一次方程组，求解a、b、c，若三个系数均为整数则假设成立，反之假设不成立，最终即可找到错误结果。
【解析】
设二次三项式为$ax^2+bx+c$（a、b、c均为整数，且$a≠0$），依次假设各选项错误验证：
1. 假设A错误：即$x=1,y=1$错误，取$x=3,y=5$、$x=6,y=25$、$x=8,y=50$列方程组：
$\begin{cases}9a+3b+c=5\\36a+6b+c=25\\64a+8b+c=50\end{cases}$
用第二个方程减第一个得$27a+3b=20$，左边是3的倍数，右边20不是3的倍数，无整数解，假设不成立，故A正确。
2. 假设B错误：即$x=3,y=5$错误，取$x=1,y=1$、$x=6,y=25$、$x=8,y=50$列方程组：
$\begin{cases}a+b+c=1\\36a+6b+c=25\\64a+8b+c=50\end{cases}$
第二个方程减第一个得$35a+5b=24$，左边是5的倍数，右边24不是5的倍数，无整数解，假设不成立，故B正确。
3. 假设C错误：即$x=6,y=25$错误，取$x=1,y=1$、$x=3,y=5$、$x=8,y=50$列方程组：
$\begin{cases}a+b+c=1&①\\9a+3b+c=5&②\\64a+8b+c=50&③\end{cases}$
②-①得：$8a+2b=4$，化简为$4a+b=2$ ④
③-②得：$55a+5b=45$，化简为$11a+b=9$ ⑤
⑤-④得：$7a=7$，解得$a=1$，代入④得$b=-2$，将$a=1,b=-2$代入①得$c=2$，三个系数均为整数，符合要求。代入验证$x=6$时，$y=1×6^2-2×6+2=26≠25$，符合“仅一个错误”的条件。
4. 假设D错误：即$x=8,y=50$错误，取$x=1,y=1$、$x=3,y=5$、$x=6,y=25$列方程组：
$\begin{cases}a+b+c=1\\9a+3b+c=5\\36a+6b+c=25\end{cases}$
第二个减第一个得$8a+2b=4$，第三个减第二个得$27a+3b=20$，左边是3的倍数，右边20不是3的倍数，无整数解，假设不成立，故D正确。
综上，错误的结果是x=6时y=25。
【答案】
C
【知识点】
三元一次方程组求解，整系数多项式，逻辑推理
【点评】
本题通过假设法结合方程求解解决判断类问题，解题过程中可利用整系数的特征快速排查矛盾，减少不必要的计算，锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
二、填空题
4. 写出一个以$\begin{cases}x=-1, \\ y=1, \\ z=2\end{cases}$为解的三元一次方程组 ______ 。
4. 写出一个以$\begin{cases}x=-1, \\ y=1, \\ z=2\end{cases}$为解的三元一次方程组 ______ 。
答案
4. 答案不唯一
解析
【分析】
要构造以给定值为解的三元一次方程组，首先明确三元一次方程组的满足条件：含有3个未知数、每个方程中含未知数的项的次数都是1、由至少2个整式方程组成。解题思路为：将$x=-1,y=1,z=2$代入，对三个未知数做一次运算（加减运算或乘常数后再加减）得到等式，将这些等式联立就得到符合要求的方程组，答案不唯一，只要代入解后所有方程都成立即可。
【解析】
我们可以通过计算未知数的一次运算结果构造方程：
1. 计算$x+y$的和：$-1+1=0$，可得方程$x+y=0$；
2. 计算$y+z$的和：$1+2=3$，可得方程$y+z=3$；
3. 计算$x+z$的和：$-1+2=1$，可得方程$x+z=1$；
将以上三个方程联立，即可得到符合要求的三元一次方程组。也可通过其他一次运算构造，比如$x+y+z=2$、$x-y=-2$等，只要符合三元一次方程组的定义即可。
【答案】
答案不唯一，例如：$\begin{cases}x+y=0 \\ y+z=3 \\ x+z=1\end{cases}$（合理即可）
【知识点】
三元一次方程组的定义，方程组的解的含义，等式的性质
【点评】
本题属于开放型基础题，核心考查对三元一次方程组及其解的概念的理解，构造时注意两点：一是所有方程都是含三个未知数的一次整式方程，二是代入给定的解能使每个方程左右两边相等。
【难度系数】
0.8
要构造以给定值为解的三元一次方程组，首先明确三元一次方程组的满足条件：含有3个未知数、每个方程中含未知数的项的次数都是1、由至少2个整式方程组成。解题思路为：将$x=-1,y=1,z=2$代入，对三个未知数做一次运算（加减运算或乘常数后再加减）得到等式，将这些等式联立就得到符合要求的方程组，答案不唯一，只要代入解后所有方程都成立即可。
【解析】
我们可以通过计算未知数的一次运算结果构造方程：
1. 计算$x+y$的和：$-1+1=0$，可得方程$x+y=0$；
2. 计算$y+z$的和：$1+2=3$，可得方程$y+z=3$；
3. 计算$x+z$的和：$-1+2=1$，可得方程$x+z=1$；
将以上三个方程联立，即可得到符合要求的三元一次方程组。也可通过其他一次运算构造，比如$x+y+z=2$、$x-y=-2$等，只要符合三元一次方程组的定义即可。
【答案】
答案不唯一，例如：$\begin{cases}x+y=0 \\ y+z=3 \\ x+z=1\end{cases}$（合理即可）
【知识点】
三元一次方程组的定义，方程组的解的含义，等式的性质
【点评】
本题属于开放型基础题，核心考查对三元一次方程组及其解的概念的理解，构造时注意两点：一是所有方程都是含三个未知数的一次整式方程，二是代入给定的解能使每个方程左右两边相等。
【难度系数】
0.8
5. 已知$\begin{cases}a + b + c = 0, \\ a - b + c = 0,\end{cases}$则$a + c$的值为 ______ 。
答案
5. 0
解析
【分析】
观察给出的方程组，两个方程中a、c的系数相同，b的系数互为相反数，我们的目标是求a+c的值，不需要分别求出a和c的具体值，所以可以先通过加减消元法消去未知数b，求出b的值，再代入原方程就能直接得到a+c的结果。
【解析】
将两个方程分别标记为：
① $a + b + c = 0$
② $a - b + c = 0$
用①式减去②式可得：
$(a + b + c) - (a - b + c) = 0 - 0$
去括号合并同类项得：$2b = 0$，解得$b = 0$
将$b = 0$代入①式$a + b + c = 0$中，可得$a + 0 + c = 0$，即$a + c = 0$
【答案】
0
【知识点】
1. 加减消元法
2. 等式的性质
3. 代数式求值
【点评】
本题重点考察消元思想的应用，解题时无需计算所有未知数的取值，只需根据所求代数式的特征，消去无关未知数即可快速得到结果，核心是观察方程中各项的系数特点选择简便的消元方式。
【难度系数】
0.9
观察给出的方程组，两个方程中a、c的系数相同，b的系数互为相反数，我们的目标是求a+c的值，不需要分别求出a和c的具体值，所以可以先通过加减消元法消去未知数b，求出b的值，再代入原方程就能直接得到a+c的结果。
【解析】
将两个方程分别标记为：
① $a + b + c = 0$
② $a - b + c = 0$
用①式减去②式可得：
$(a + b + c) - (a - b + c) = 0 - 0$
去括号合并同类项得：$2b = 0$，解得$b = 0$
将$b = 0$代入①式$a + b + c = 0$中，可得$a + 0 + c = 0$，即$a + c = 0$
【答案】
0
【知识点】
1. 加减消元法
2. 等式的性质
3. 代数式求值
【点评】
本题重点考察消元思想的应用，解题时无需计算所有未知数的取值，只需根据所求代数式的特征，消去无关未知数即可快速得到结果，核心是观察方程中各项的系数特点选择简便的消元方式。
【难度系数】
0.9
6. 已知方程组$\begin{cases}4x - 3y - 3z = 0, \\x - 3y + z = 0\end{cases}$且$z ≠ 0$，则$x:y:z=$ ______ 。
答案
6. 12 : 7 : 9
解析
【分析】
本题给出两个方程、三个未知数，无法直接求出每个未知数的具体值，已知z≠0，因此可以将z看作已知常数，通过消元法消去y，先求出x与z的数量关系，再代入方程求出y与z的数量关系，最后将x、y都用含z的代数式表示后，计算三者的比值即可约去z得到结果。
【解析】
将方程组标记为：
$\begin{cases}4x - 3y - 3z = 0&① \\x - 3y + z = 0&②\end{cases}$
用①-②消去y，得：
$(4x - 3y - 3z) - (x - 3y + z) = 0 - 0$
化简得：$3x - 4z = 0$，即$x = \frac{4}{3}z$。
把$x = \frac{4}{3}z$代入②式，得：
$\frac{4}{3}z - 3y + z = 0$
合并同类项得：$\frac{7}{3}z - 3y = 0$，即$y = \frac{7}{9}z$。
因此$x:y:z = \frac{4}{3}z : \frac{7}{9}z : z$，因为z≠0，约去z后通分可得：
$x:y:z = 12:7:9$
【答案】
$12:7:9$
【知识点】
消元法解方程组；比例计算
【点评】
本题是方程组与比例结合的基础题型，解题关键是当未知数个数多于方程个数时，可将其中一个非零未知数当作常数，用其表示剩余未知数后计算比值，需要熟练掌握加减消元的基本操作。
【难度系数】
0.7
本题给出两个方程、三个未知数，无法直接求出每个未知数的具体值，已知z≠0，因此可以将z看作已知常数，通过消元法消去y，先求出x与z的数量关系，再代入方程求出y与z的数量关系，最后将x、y都用含z的代数式表示后，计算三者的比值即可约去z得到结果。
【解析】
将方程组标记为：
$\begin{cases}4x - 3y - 3z = 0&① \\x - 3y + z = 0&②\end{cases}$
用①-②消去y，得：
$(4x - 3y - 3z) - (x - 3y + z) = 0 - 0$
化简得：$3x - 4z = 0$，即$x = \frac{4}{3}z$。
把$x = \frac{4}{3}z$代入②式，得：
$\frac{4}{3}z - 3y + z = 0$
合并同类项得：$\frac{7}{3}z - 3y = 0$，即$y = \frac{7}{9}z$。
因此$x:y:z = \frac{4}{3}z : \frac{7}{9}z : z$，因为z≠0，约去z后通分可得：
$x:y:z = 12:7:9$
【答案】
$12:7:9$
【知识点】
消元法解方程组；比例计算
【点评】
本题是方程组与比例结合的基础题型，解题关键是当未知数个数多于方程个数时，可将其中一个非零未知数当作常数，用其表示剩余未知数后计算比值，需要熟练掌握加减消元的基本操作。
【难度系数】
0.7
三、解答题
7. 解下列方程组：
(1) $\begin{cases}2x + y = 2, \\2y + z = 7, \\x + 2z = 3;\end{cases}$
(2) $\begin{cases}2x - y + 3z = 3, \\3x + y - 2z = -1, \\x + y + z = 5;\end{cases}$
(3) $\begin{cases}5x + y + z = 6, \\x + 5y + z = -2, \\x + y + 5z = 10;\end{cases}$
(4) $\begin{cases}y = 2x - 7, \\5x + 3y + 2z = 2, \\3x - 4z = 4;\end{cases}$
(5) $\begin{cases}x: z = 7: 3, \\x: y = 5: 3, \\2x - y - z = 34;\end{cases}$
(6) $\begin{cases}\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{6} = \dfrac{z}{8}, \\3x + 5y - 6z = -18.\end{cases}$
7. 解下列方程组：
(1) $\begin{cases}2x + y = 2, \\2y + z = 7, \\x + 2z = 3;\end{cases}$
(2) $\begin{cases}2x - y + 3z = 3, \\3x + y - 2z = -1, \\x + y + z = 5;\end{cases}$
(3) $\begin{cases}5x + y + z = 6, \\x + 5y + z = -2, \\x + y + 5z = 10;\end{cases}$
(4) $\begin{cases}y = 2x - 7, \\5x + 3y + 2z = 2, \\3x - 4z = 4;\end{cases}$
(5) $\begin{cases}x: z = 7: 3, \\x: y = 5: 3, \\2x - y - z = 34;\end{cases}$
(6) $\begin{cases}\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{6} = \dfrac{z}{8}, \\3x + 5y - 6z = -18.\end{cases}$
答案
7. (1) $\begin{cases}x = -\dfrac{1}{3}, \\y = \dfrac{8}{3}, \\z = \dfrac{5}{3}\end{cases}$
(2) $\begin{cases}x = 0, \\y = 3, \\z = 2\end{cases}$
(3) $\begin{cases}x = 1, \\y = -1, \\z = 2\end{cases}$
(4) $\begin{cases}x = 2, \\y = -3, \\z = \dfrac{1}{2}\end{cases}$
(5) $\begin{cases}x = 35, \\y = 21, \\z = 15\end{cases}$
(6) $\begin{cases}x = 6, \\y = 12, \\z = 16\end{cases}$
(2) $\begin{cases}x = 0, \\y = 3, \\z = 2\end{cases}$
(3) $\begin{cases}x = 1, \\y = -1, \\z = 2\end{cases}$
(4) $\begin{cases}x = 2, \\y = -3, \\z = \dfrac{1}{2}\end{cases}$
(5) $\begin{cases}x = 35, \\y = 21, \\z = 15\end{cases}$
(6) $\begin{cases}x = 6, \\y = 12, \\z = 16\end{cases}$
解析
【分析】
解三元一次方程组的核心思路是消元，通过代入消元法或加减消元法，先将三元方程组转化为二元方程组，再转化为一元一次方程求解。可根据方程组特征选择最优消元技巧：若有直接给出某未知数表达式的式子，优先用代入消元；若同一未知数系数互为相反数或成倍数关系，优先用加减消元；若三个方程系数和相同，可先将三式相加简化；若含比例式，可通过设参数的方法统一未知数后代入求解。
【解析】
我们将每个小题的方程从上到下依次标记为①②③，分别求解：
(1) $\begin{cases}2x + y = 2 \quad①, \\2y + z = 7 \quad②, \\x + 2z = 3 \quad③;\end{cases}$
解：①×2 - ②得：$4x - z = -3 \quad④$
④×2 + ③得：$9x = -3$，解得$x=-\frac{1}{3}$
将$x=-\frac{1}{3}$代入①得：$y=\frac{8}{3}$
将$y=\frac{8}{3}$代入②得：$z=\frac{5}{3}$
(2) $\begin{cases}2x - y + 3z = 3 \quad①, \\3x + y - 2z = -1 \quad②, \\x + y + z = 5 \quad③;\end{cases}$
解：①+②得：$5x + z =2 \quad④$
①+③得：$3x +4z =8 \quad⑤$
④×4 - ⑤得：$17x=0$，解得$x=0$
将$x=0$代入④得：$z=2$
将$x=0,z=2$代入③得：$y=3$
(3) $\begin{cases}5x + y + z = 6 \quad①, \\x + 5y + z = -2 \quad②, \\x + y + 5z = 10 \quad③;\end{cases}$
解：①+②+③得：$7x+7y+7z=14$，化简得$x+y+z=2 \quad④$
①-④得：$4x=4$，解得$x=1$
②-④得：$4y=-4$，解得$y=-1$
③-④得：$4z=8$，解得$z=2$
(4) $\begin{cases}y = 2x - 7 \quad①, \\5x + 3y + 2z = 2 \quad②, \\3x - 4z = 4 \quad③;\end{cases}$
解：将①代入②得：$11x +2z=23 \quad④$
④×2 + ③得：$25x=50$，解得$x=2$
将$x=2$代入①得：$y=-3$
将$x=2$代入③得：$z=\frac{1}{2}$
(5) $\begin{cases}x: z = 7: 3 \quad①, \\x: y = 5: 3 \quad②, \\2x - y - z = 34 \quad③;\end{cases}$
解：由①得$z=\frac{3}{7}x$，由②得$y=\frac{3}{5}x$，代入③得：
$2x-\frac{3}{5}x-\frac{3}{7}x=34$，解得$x=35$
则$y=\frac{3}{5}×35=21$，$z=\frac{3}{7}×35=15$
(6) $\begin{cases}\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{6} = \dfrac{z}{8} \quad①, \\3x + 5y - 6z = -18 \quad②.\end{cases}$
解：设$\frac{x}{3}=\frac{y}{6}=\frac{z}{8}=k$，则$x=3k,y=6k,z=8k$，代入②得：
$9k+30k-48k=-18$，解得$k=2$
则$x=6,y=12,z=16$
【答案】
(1) $\begin{cases}x = -\dfrac{1}{3}, \\y = \dfrac{8}{3}, \\z = \dfrac{5}{3}\end{cases}$
(2) $\begin{cases}x = 0, \\y = 3, \\z = 2\end{cases}$
(3) $\begin{cases}x = 1, \\y = -1, \\z = 2\end{cases}$
(4) $\begin{cases}x = 2, \\y = -3, \\z = \dfrac{1}{2}\end{cases}$
(5) $\begin{cases}x = 35, \\y = 21, \\z = 15\end{cases}$
(6) $\begin{cases}x = 6, \\y = 12, \\z = 16\end{cases}$
【知识点】
三元一次方程组的解法、消元法、比例的性质
【点评】
本题是三元一次方程组的基础训练题，覆盖了各类常见考法，解题核心是根据方程组特征灵活选择消元方式，能有效降低计算量，计算过程中要注意符号运算，避免粗心出错。
【难度系数】
0.7
解三元一次方程组的核心思路是消元，通过代入消元法或加减消元法，先将三元方程组转化为二元方程组，再转化为一元一次方程求解。可根据方程组特征选择最优消元技巧：若有直接给出某未知数表达式的式子，优先用代入消元；若同一未知数系数互为相反数或成倍数关系，优先用加减消元；若三个方程系数和相同，可先将三式相加简化；若含比例式，可通过设参数的方法统一未知数后代入求解。
【解析】
我们将每个小题的方程从上到下依次标记为①②③，分别求解：
(1) $\begin{cases}2x + y = 2 \quad①, \\2y + z = 7 \quad②, \\x + 2z = 3 \quad③;\end{cases}$
解：①×2 - ②得：$4x - z = -3 \quad④$
④×2 + ③得：$9x = -3$，解得$x=-\frac{1}{3}$
将$x=-\frac{1}{3}$代入①得：$y=\frac{8}{3}$
将$y=\frac{8}{3}$代入②得：$z=\frac{5}{3}$
(2) $\begin{cases}2x - y + 3z = 3 \quad①, \\3x + y - 2z = -1 \quad②, \\x + y + z = 5 \quad③;\end{cases}$
解：①+②得：$5x + z =2 \quad④$
①+③得：$3x +4z =8 \quad⑤$
④×4 - ⑤得：$17x=0$，解得$x=0$
将$x=0$代入④得：$z=2$
将$x=0,z=2$代入③得：$y=3$
(3) $\begin{cases}5x + y + z = 6 \quad①, \\x + 5y + z = -2 \quad②, \\x + y + 5z = 10 \quad③;\end{cases}$
解：①+②+③得：$7x+7y+7z=14$，化简得$x+y+z=2 \quad④$
①-④得：$4x=4$，解得$x=1$
②-④得：$4y=-4$，解得$y=-1$
③-④得：$4z=8$，解得$z=2$
(4) $\begin{cases}y = 2x - 7 \quad①, \\5x + 3y + 2z = 2 \quad②, \\3x - 4z = 4 \quad③;\end{cases}$
解：将①代入②得：$11x +2z=23 \quad④$
④×2 + ③得：$25x=50$，解得$x=2$
将$x=2$代入①得：$y=-3$
将$x=2$代入③得：$z=\frac{1}{2}$
(5) $\begin{cases}x: z = 7: 3 \quad①, \\x: y = 5: 3 \quad②, \\2x - y - z = 34 \quad③;\end{cases}$
解：由①得$z=\frac{3}{7}x$，由②得$y=\frac{3}{5}x$，代入③得：
$2x-\frac{3}{5}x-\frac{3}{7}x=34$，解得$x=35$
则$y=\frac{3}{5}×35=21$，$z=\frac{3}{7}×35=15$
(6) $\begin{cases}\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{6} = \dfrac{z}{8} \quad①, \\3x + 5y - 6z = -18 \quad②.\end{cases}$
解：设$\frac{x}{3}=\frac{y}{6}=\frac{z}{8}=k$，则$x=3k,y=6k,z=8k$，代入②得：
$9k+30k-48k=-18$，解得$k=2$
则$x=6,y=12,z=16$
【答案】
(1) $\begin{cases}x = -\dfrac{1}{3}, \\y = \dfrac{8}{3}, \\z = \dfrac{5}{3}\end{cases}$
(2) $\begin{cases}x = 0, \\y = 3, \\z = 2\end{cases}$
(3) $\begin{cases}x = 1, \\y = -1, \\z = 2\end{cases}$
(4) $\begin{cases}x = 2, \\y = -3, \\z = \dfrac{1}{2}\end{cases}$
(5) $\begin{cases}x = 35, \\y = 21, \\z = 15\end{cases}$
(6) $\begin{cases}x = 6, \\y = 12, \\z = 16\end{cases}$
【知识点】
三元一次方程组的解法、消元法、比例的性质
【点评】
本题是三元一次方程组的基础训练题，覆盖了各类常见考法，解题核心是根据方程组特征灵活选择消元方式，能有效降低计算量，计算过程中要注意符号运算，避免粗心出错。
【难度系数】
0.7
