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7.如图，小张同学从某山的西坡底沿坡角为$37°$的山坡爬了280 m到达点E处，紧接着沿坡角为$45°$的山坡又爬了160 m到达山顶A处，则该山的高度约为(参考数据：$\sqrt{2} \approx 1.41,\sqrt{3} \approx 1.73,\sin 37° \approx 0.60,\cos 37° \approx 0.80,\tan 37° \approx 0.75)$ （
A.280 m
B.281 m
C.283 m
D.284 m
B
）A.280 m
B.281 m
C.283 m
D.284 m
答案
7.B
解析
【分析】
要求山的高度，可将总高度拆分为两段爬坡过程中上升的竖直高度之和。坡角是坡面与水平面的夹角，坡面长度乘坡角的正弦值就是该段坡面上升的竖直高度，因此只需要分别计算两段坡路的竖直上升高度，相加即可得到山的总高度。
【解析】
过点E作$EF⊥ BC$于F，过点A作$AG⊥ BC$于G，过点E作$EH⊥ AG$于H，则四边形EFGH为矩形，故$GH=EF$。
在$Rt△ BEF$中，$∠ B=37°$，$BE=280\mathrm{m}$，
$\therefore EF = BE·\sin37° \approx 280×0.60 = 168\mathrm{m}$；
在$Rt△ AEH$中，$∠ AEH=45°$，$AE=160\mathrm{m}$，
$\therefore AH = AE·\sin45° = AE×\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 160×\frac{1.41}{2} = 112.8\mathrm{m}$；
$\therefore$山的高度$AG = AH + GH = AH + EF \approx 168 + 112.8 = 280.8\approx281\mathrm{m}$。
【答案】
B
【知识点】
解直角三角形应用，坡角的定义，三角函数的应用
【点评】
本题考查解直角三角形的实际应用，解题核心是把实际问题中的长度关系转化为直角三角形的边角关系，将总高度拆分为两段竖直高度之和代入计算即可。
【难度系数】
0.7
要求山的高度，可将总高度拆分为两段爬坡过程中上升的竖直高度之和。坡角是坡面与水平面的夹角，坡面长度乘坡角的正弦值就是该段坡面上升的竖直高度，因此只需要分别计算两段坡路的竖直上升高度，相加即可得到山的总高度。
【解析】
过点E作$EF⊥ BC$于F，过点A作$AG⊥ BC$于G，过点E作$EH⊥ AG$于H，则四边形EFGH为矩形，故$GH=EF$。
在$Rt△ BEF$中，$∠ B=37°$，$BE=280\mathrm{m}$，
$\therefore EF = BE·\sin37° \approx 280×0.60 = 168\mathrm{m}$；
在$Rt△ AEH$中，$∠ AEH=45°$，$AE=160\mathrm{m}$，
$\therefore AH = AE·\sin45° = AE×\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 160×\frac{1.41}{2} = 112.8\mathrm{m}$；
$\therefore$山的高度$AG = AH + GH = AH + EF \approx 168 + 112.8 = 280.8\approx281\mathrm{m}$。
【答案】
B
【知识点】
解直角三角形应用，坡角的定义，三角函数的应用
【点评】
本题考查解直角三角形的实际应用，解题核心是把实际问题中的长度关系转化为直角三角形的边角关系，将总高度拆分为两段竖直高度之和代入计算即可。
【难度系数】
0.7
8.[方程思想][2024·合肥蜀山区二模]如图，某处有一座塔AB，塔的正前方有一平台DE，平台的高$DG=5$ m，斜坡CD的坡度$i=5:12$，点A,C,G,F在同一条水平直线上.某数学兴趣小组为测量该塔的高度，在斜坡C处测得塔顶部B的仰角为$54.5°$，在斜坡D处测得塔顶部B的仰角为$26.7°$，求塔高AB.(结果精确到0.1 m，参考数据:$\tan 54.5°\approx1.40$，$\sin 54.5°\approx0.81$，$\cos 54.5°\approx0.58$，$\tan 26.7°\approx0.50$，$\sin 26.7°\approx0.45$，$\cos 26.7°\approx0.89$)
答案
8. 塔高AB约为17.1 m.
解析
【分析】
首先过点D作DH垂直AB于点H，构造出两个直角三角形和矩形DGAH。第一步先利用斜坡CD的坡度求出水平段CG的长度；第二步设塔高AB为x m，在Rt△ABC中利用54.5°的正切值表示出AC的长度，进而得到DH的长度，同时表示出BH的长度；第三步在Rt△BDH中利用26.7°的正切值列出关于x的方程，解方程即可求出AB的长度。
【解析】
过点D作$DH⊥ AB$于点H，则四边形DGAH为矩形，
$\therefore AH=DG=5\mathrm{m}$，$DH=AG$。
$\because$斜坡CD的坡度$i=DG:CG=5:12$，$DG=5\mathrm{m}$，
$\therefore CG=12\mathrm{m}$。
设塔高$AB=x\mathrm{m}$，则$BH=AB-AH=(x-5)\mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BCA=54.5°$，
由$\tan∠ BCA=\frac{AB}{AC}$，得$AC=\frac{AB}{\tan54.5°}\approx\frac{x}{1.40}\mathrm{m}$，
$\therefore DH=AG=AC+CG=(\frac{x}{1.40}+12)\mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ BDH$中，$∠ BDH=26.7°$，
由$\tan∠ BDH=\frac{BH}{DH}$，得$\frac{x-5}{\frac{x}{1.40}+12}\approx0.50$，
解方程：
$x-5=0.5×(\frac{x}{1.40}+12)$
$x-5=\frac{x}{2.8}+6$
$x-\frac{x}{2.8}=11$
$1.8x=30.8$
$x\approx17.1$
【答案】
塔高AB约为17.1 m。
【知识点】
解直角三角形的应用；坡度坡角问题；仰角俯角问题
【点评】
本题是解直角三角形应用的典型题型，解题的核心是通过作辅助线构造直角三角形，结合坡度、仰角的几何意义找到各边长的数量关系，再利用方程思想求解，注重对基础知识和建模能力的考查。
【难度系数】
0.6
首先过点D作DH垂直AB于点H，构造出两个直角三角形和矩形DGAH。第一步先利用斜坡CD的坡度求出水平段CG的长度；第二步设塔高AB为x m，在Rt△ABC中利用54.5°的正切值表示出AC的长度，进而得到DH的长度，同时表示出BH的长度；第三步在Rt△BDH中利用26.7°的正切值列出关于x的方程，解方程即可求出AB的长度。
【解析】
过点D作$DH⊥ AB$于点H，则四边形DGAH为矩形，
$\therefore AH=DG=5\mathrm{m}$，$DH=AG$。
$\because$斜坡CD的坡度$i=DG:CG=5:12$，$DG=5\mathrm{m}$，
$\therefore CG=12\mathrm{m}$。
设塔高$AB=x\mathrm{m}$，则$BH=AB-AH=(x-5)\mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BCA=54.5°$，
由$\tan∠ BCA=\frac{AB}{AC}$，得$AC=\frac{AB}{\tan54.5°}\approx\frac{x}{1.40}\mathrm{m}$，
$\therefore DH=AG=AC+CG=(\frac{x}{1.40}+12)\mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ BDH$中，$∠ BDH=26.7°$，
由$\tan∠ BDH=\frac{BH}{DH}$，得$\frac{x-5}{\frac{x}{1.40}+12}\approx0.50$，
解方程：
$x-5=0.5×(\frac{x}{1.40}+12)$
$x-5=\frac{x}{2.8}+6$
$x-\frac{x}{2.8}=11$
$1.8x=30.8$
$x\approx17.1$
【答案】
塔高AB约为17.1 m。
【知识点】
解直角三角形的应用；坡度坡角问题；仰角俯角问题
【点评】
本题是解直角三角形应用的典型题型，解题的核心是通过作辅助线构造直角三角形，结合坡度、仰角的几何意义找到各边长的数量关系，再利用方程思想求解，注重对基础知识和建模能力的考查。
【难度系数】
0.6
9.[2024·安庆二模]如图1是超市的手推车图片，图2是其侧面示意图，已知前后车轮半径均为5 cm，两个车轮的圆心的连线AB与地面平行，测得支架AC=BC=60 cm，AC，CD所在直线与地面的夹角分别为30°，60°，CD=50 cm.
(1)求扶手前端D到地面的距离；
(2)手推车内装有简易宝宝椅，EF为小坐板，打开后，椅子的支点H到点C的距离为10 cm，DF=20 cm，EF//AB，∠EHD=45°，求小坐板EF的宽度.
(本题答案均保留根号)
(1)求扶手前端D到地面的距离；
(2)手推车内装有简易宝宝椅，EF为小坐板，打开后，椅子的支点H到点C的距离为10 cm，DF=20 cm，EF//AB，∠EHD=45°，求小坐板EF的宽度.
(本题答案均保留根号)
答案
9. 如图,过点C作$CM⊥ AB$,垂足为点M,过点D作$DN⊥ AB$,垂足为点N,过点C作$CG⊥ DN$,垂足为点G.
$\because AC=BC=60\ \mathrm{cm}$,AC,CD所在直线与地面的夹角分别为$30°,60°,\therefore∠ A=∠ B=30°,∠ DCG=60°$.
(1)在$\mathrm{Rt}△ AMC$中,$CM=AC·\sin A=30\ \mathrm{cm}$.
在$\mathrm{Rt}△ CGD$中,$DG=CD·\sin∠ DCG=25\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$.
又$\because GN=CM=30\ \mathrm{cm}$,前后车轮半径均为5 cm,
$\therefore$扶手前端D到地面的距离为$DG+GN+5=25\sqrt{3}+30+5=(35+25\sqrt{3})\mathrm{cm}$.
(2)$\because EF// AB// CG,\therefore∠ EFH=∠ DCG=60°$.
$\because CD=50\ \mathrm{cm}$,椅子的支点H到点C的距离为10 cm,$DF=20\ \mathrm{cm},\therefore FH=20\ \mathrm{cm}$.
如图,过点E作$EQ⊥ FH$,垂足为点Q,设$FQ=x$.
在$\mathrm{Rt}△ EQF$中,$∠ EFH=60°$,
$\therefore EF=2FQ=2x,EQ=\sqrt{3}x$.
在$\mathrm{Rt}△ EQH$中,$∠ EHD=45°,\therefore HQ=EQ=\sqrt{3}x$.
$\because HQ+FQ=FH=20\ \mathrm{cm}$,
$\therefore\sqrt{3}x+x=20$,解得$x=10\sqrt{3}-10$.
$\therefore EF=2(10\sqrt{3}-10)=(20\sqrt{3}-20)\mathrm{cm}$.
答:小坐板EF的宽度为$(20\sqrt{3}-20)\mathrm{cm}$.
解析
【分析】
(1) 求扶手前端D到地面的距离时，可通过作竖直方向的辅助线，将总距离拆分为3部分计算：CD沿竖直方向的投影长度、点C到AB的竖直高度、车轮半径。首先构造直角三角形$\mathrm{Rt}△AMC$和$\mathrm{Rt}△CGD$，利用已知边长和对应角度的正弦函数，分别求出两段竖直高度，再加上车轮半径即可得到最终结果。
(2) 求小坐板EF的宽度时，首先根据$EF// AB$的平行关系推导得到$∠ EFH=60°$，先计算出FH的长度；再通过作高$EQ⊥ FH$，构造含$45°$和$60°$的特殊直角三角形，设未知数列方程求解即可得到EF的长度。
【解析】
如图，过点C作$CM⊥ AB$，垂足为点M，过点D作$DN⊥ AB$，垂足为点N，过点C作$CG⊥ DN$，垂足为点G。
$\because AC=BC=60\ \mathrm{cm}$，AC、CD所在直线与地面的夹角分别为$30°$、$60°$，$\therefore∠ A=∠ B=30°,∠ DCG=60°$。
(1) 在$\mathrm{Rt}△ AMC$中，$CM=AC·\sin A=60×\sin30°=30\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ CGD$中，$DG=CD·\sin∠ DCG=50×\sin60°=25\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
又$\because GN=CM=30\ \mathrm{cm}$，前后车轮半径均为5 cm，
$\therefore$扶手前端D到地面的距离为$DG+GN+5=25\sqrt{3}+30+5=(35+25\sqrt{3})\mathrm{cm}$。
(2) $\because EF// AB// CG$，$\therefore∠ EFH=∠ DCG=60°$。
$\because CD=50\ \mathrm{cm}$，椅子的支点H到点C的距离为10 cm，$DF=20\ \mathrm{cm}$，$\therefore FH=CD-CH-DF=50-10-20=20\ \mathrm{cm}$。
过点E作$EQ⊥ FH$，垂足为点Q，设$FQ=x$。
在$\mathrm{Rt}△ EQF$中，$∠ EFH=60°$，
$\therefore EF=2FQ=2x,EQ=\sqrt{3}x$。
在$\mathrm{Rt}△ EQH$中，$∠ EHD=45°$，$\therefore HQ=EQ=\sqrt{3}x$。
$\because HQ+FQ=FH=20\ \mathrm{cm}$，
$\therefore\sqrt{3}x+x=20$，解得$x=10\sqrt{3}-10$。
$\therefore EF=2(10\sqrt{3}-10)=(20\sqrt{3}-20)\mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 扶手前端D到地面的距离为$\boldsymbol{(35+25\sqrt{3})\ \mathrm{cm}}$；
(2) 小坐板EF的宽度为$\boldsymbol{(20\sqrt{3}-20)\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
解直角三角形的应用，特殊角的三角函数，平行线的性质
【点评】
本题结合生活实际场景考查解直角三角形的应用，解题核心是正确作出辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为几何计算问题，同时需要熟练运用特殊角的三角函数值建立边的数量关系，能够考查学生的数学建模能力和运算能力。
【难度系数】
0.65
(1) 求扶手前端D到地面的距离时，可通过作竖直方向的辅助线，将总距离拆分为3部分计算：CD沿竖直方向的投影长度、点C到AB的竖直高度、车轮半径。首先构造直角三角形$\mathrm{Rt}△AMC$和$\mathrm{Rt}△CGD$，利用已知边长和对应角度的正弦函数，分别求出两段竖直高度，再加上车轮半径即可得到最终结果。
(2) 求小坐板EF的宽度时，首先根据$EF// AB$的平行关系推导得到$∠ EFH=60°$，先计算出FH的长度；再通过作高$EQ⊥ FH$，构造含$45°$和$60°$的特殊直角三角形，设未知数列方程求解即可得到EF的长度。
【解析】
如图，过点C作$CM⊥ AB$，垂足为点M，过点D作$DN⊥ AB$，垂足为点N，过点C作$CG⊥ DN$，垂足为点G。
$\because AC=BC=60\ \mathrm{cm}$，AC、CD所在直线与地面的夹角分别为$30°$、$60°$，$\therefore∠ A=∠ B=30°,∠ DCG=60°$。
(1) 在$\mathrm{Rt}△ AMC$中，$CM=AC·\sin A=60×\sin30°=30\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ CGD$中，$DG=CD·\sin∠ DCG=50×\sin60°=25\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
又$\because GN=CM=30\ \mathrm{cm}$，前后车轮半径均为5 cm，
$\therefore$扶手前端D到地面的距离为$DG+GN+5=25\sqrt{3}+30+5=(35+25\sqrt{3})\mathrm{cm}$。
(2) $\because EF// AB// CG$，$\therefore∠ EFH=∠ DCG=60°$。
$\because CD=50\ \mathrm{cm}$，椅子的支点H到点C的距离为10 cm，$DF=20\ \mathrm{cm}$，$\therefore FH=CD-CH-DF=50-10-20=20\ \mathrm{cm}$。
过点E作$EQ⊥ FH$，垂足为点Q，设$FQ=x$。
在$\mathrm{Rt}△ EQF$中，$∠ EFH=60°$，
$\therefore EF=2FQ=2x,EQ=\sqrt{3}x$。
在$\mathrm{Rt}△ EQH$中，$∠ EHD=45°$，$\therefore HQ=EQ=\sqrt{3}x$。
$\because HQ+FQ=FH=20\ \mathrm{cm}$，
$\therefore\sqrt{3}x+x=20$，解得$x=10\sqrt{3}-10$。
$\therefore EF=2(10\sqrt{3}-10)=(20\sqrt{3}-20)\mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 扶手前端D到地面的距离为$\boldsymbol{(35+25\sqrt{3})\ \mathrm{cm}}$；
(2) 小坐板EF的宽度为$\boldsymbol{(20\sqrt{3}-20)\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
解直角三角形的应用，特殊角的三角函数，平行线的性质
【点评】
本题结合生活实际场景考查解直角三角形的应用，解题核心是正确作出辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为几何计算问题，同时需要熟练运用特殊角的三角函数值建立边的数量关系，能够考查学生的数学建模能力和运算能力。
【难度系数】
0.65
