登录
1. 如图,一段东西向的限速公路MN长500 m,在此公路的南面有一监测点P,从监测点P观察,限速公路MN的端点M在监测点P的北偏西$60°$方向,端点N在监测点P的东北方向,则监测点P到限速公路MN的距离约是
183
m.(结果精确到1 m,$\sqrt{3}\approx1.73$)答案
1. 183
解析
【分析】
求解本题的核心思路是通过作辅助线构造直角三角形，将实际方位角问题转化为解直角三角形问题：首先，要求点P到直线MN的距离，优先过点P作MN的垂线段，把△PMN拆分为两个含特殊角的直角三角形；其次根据方位角的定义，确定两个直角三角形的内角分别为60°和45°；再用待求的距离分别表示出MN被垂足分成的两段线段的长度，最后结合MN的总长度列方程求解即可。
【解析】
解：过点P作$PQ ⊥ MN$，垂足为Q，设监测点P到公路MN的距离$PQ = x\ \mathrm{m}$。
由方位角的定义可得：$∠ MPQ = 60°$，$∠ NPQ = 45°$。
在$\mathrm{Rt}△ MPQ$中，$\tan∠ MPQ = \frac{MQ}{PQ}$，
$\therefore MQ = PQ · \tan60° = \sqrt{3}x$。
在$\mathrm{Rt}△ NPQ$中，$\tan∠ NPQ = \frac{NQ}{PQ}$，
$\therefore NQ = PQ · \tan45° = x$。
$\because MN = MQ + NQ = 500\ \mathrm{m}$，
$\therefore \sqrt{3}x + x = 500$，
解得$x = \frac{500}{\sqrt{3}+1} = 250(\sqrt{3}-1)$。
代入$\sqrt{3} \approx 1.73$，得$x \approx 250×(1.73-1) = 182.5 \approx 183$。
【答案】
183
【知识点】
解直角三角形应用、方位角识别、二次根式运算
【点评】
本题是解直角三角形实际应用的典型题型，解题关键是通过作垂线构造特殊直角三角形，将实际问题转化为几何计算问题，考查学生对特殊角三角函数的掌握和建模能力。
【难度系数】
0.6
求解本题的核心思路是通过作辅助线构造直角三角形，将实际方位角问题转化为解直角三角形问题：首先，要求点P到直线MN的距离，优先过点P作MN的垂线段，把△PMN拆分为两个含特殊角的直角三角形；其次根据方位角的定义，确定两个直角三角形的内角分别为60°和45°；再用待求的距离分别表示出MN被垂足分成的两段线段的长度，最后结合MN的总长度列方程求解即可。
【解析】
解：过点P作$PQ ⊥ MN$，垂足为Q，设监测点P到公路MN的距离$PQ = x\ \mathrm{m}$。
由方位角的定义可得：$∠ MPQ = 60°$，$∠ NPQ = 45°$。
在$\mathrm{Rt}△ MPQ$中，$\tan∠ MPQ = \frac{MQ}{PQ}$，
$\therefore MQ = PQ · \tan60° = \sqrt{3}x$。
在$\mathrm{Rt}△ NPQ$中，$\tan∠ NPQ = \frac{NQ}{PQ}$，
$\therefore NQ = PQ · \tan45° = x$。
$\because MN = MQ + NQ = 500\ \mathrm{m}$，
$\therefore \sqrt{3}x + x = 500$，
解得$x = \frac{500}{\sqrt{3}+1} = 250(\sqrt{3}-1)$。
代入$\sqrt{3} \approx 1.73$，得$x \approx 250×(1.73-1) = 182.5 \approx 183$。
【答案】
183
【知识点】
解直角三角形应用、方位角识别、二次根式运算
【点评】
本题是解直角三角形实际应用的典型题型，解题关键是通过作垂线构造特殊直角三角形，将实际问题转化为几何计算问题，考查学生对特殊角三角函数的掌握和建模能力。
【难度系数】
0.6
2. 中国高铁发展速度之快、质量之高令全世界惊叹，是当之无愧的“国家名片”.如图所示，某条高铁路基的横断面是四边形ABCD，AD//BC，路基顶BC宽10 m，斜坡AB长为15 m，斜坡AB的坡角α是32°，斜坡CD的坡度i=1:2.5，求路基底AD的长.（结果精确到1 m，参考数据：$\sin 32° \approx 0.53$，$\cos 32° \approx 0.85$，$\tan 32° \approx 0.62$）
答案
2. 路基底AD的长约为43 m.
解析
【分析】
遇到梯形类的解直角三角形实际问题，通常采用作高的方法，将梯形分割为两个直角三角形和一个矩形，把已知的坡角、坡度、边长等条件转化到直角三角形中求解。首先过B、C分别作AD的垂线，得到矩形BCFE和两个Rt△ABE、Rt△CFD，先在Rt△ABE中利用三角函数求出AE和高BE（即CF），再根据CD的坡度求出FD，最后将AE、EF、FD相加即可得到AD的长度。
【解析】
过点B作$BE ⊥ AD$于点E，过点C作$CF ⊥ AD$于点F，
$\because AD // BC$，$\therefore$ 四边形BEFC是矩形，
$\therefore EF=BC=10\ \mathrm{m}$，$BE=CF$。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$AB=15\ \mathrm{m}$，$∠ A=α=32°$，
$\therefore AE=AB · \cos32° \approx 15 × 0.85 = 12.75\ \mathrm{m}$，
$BE=AB · \sin32° \approx 15 × 0.53 = 7.95\ \mathrm{m}$，
$\therefore CF=BE=7.95\ \mathrm{m}$。
$\because$ 斜坡$CD$的坡度$i=1:2.5$，即$\frac{CF}{FD}=\frac{1}{2.5}$，
$\therefore FD=2.5 × CF \approx 2.5 × 7.95 = 19.875\ \mathrm{m}$。
$\therefore AD=AE+EF+FD \approx 12.75 + 10 + 19.875 = 42.625 \approx 43\ \mathrm{m}$。
【答案】
路基底AD的长约为43 m.
【知识点】
1. 解直角三角形的应用
2. 坡度与坡角
3. 锐角三角函数
【点评】
本题是解直角三角形在实际工程问题中的典型应用，将梯形通过作高转化为直角三角形和矩形是解题的核心思路，需要熟练掌握锐角三角函数的定义、坡度的概念，结合已知条件准确计算对应线段长度。
【难度系数】
0.7
遇到梯形类的解直角三角形实际问题，通常采用作高的方法，将梯形分割为两个直角三角形和一个矩形，把已知的坡角、坡度、边长等条件转化到直角三角形中求解。首先过B、C分别作AD的垂线，得到矩形BCFE和两个Rt△ABE、Rt△CFD，先在Rt△ABE中利用三角函数求出AE和高BE（即CF），再根据CD的坡度求出FD，最后将AE、EF、FD相加即可得到AD的长度。
【解析】
过点B作$BE ⊥ AD$于点E，过点C作$CF ⊥ AD$于点F，
$\because AD // BC$，$\therefore$ 四边形BEFC是矩形，
$\therefore EF=BC=10\ \mathrm{m}$，$BE=CF$。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$AB=15\ \mathrm{m}$，$∠ A=α=32°$，
$\therefore AE=AB · \cos32° \approx 15 × 0.85 = 12.75\ \mathrm{m}$，
$BE=AB · \sin32° \approx 15 × 0.53 = 7.95\ \mathrm{m}$，
$\therefore CF=BE=7.95\ \mathrm{m}$。
$\because$ 斜坡$CD$的坡度$i=1:2.5$，即$\frac{CF}{FD}=\frac{1}{2.5}$，
$\therefore FD=2.5 × CF \approx 2.5 × 7.95 = 19.875\ \mathrm{m}$。
$\therefore AD=AE+EF+FD \approx 12.75 + 10 + 19.875 = 42.625 \approx 43\ \mathrm{m}$。
【答案】
路基底AD的长约为43 m.
【知识点】
1. 解直角三角形的应用
2. 坡度与坡角
3. 锐角三角函数
【点评】
本题是解直角三角形在实际工程问题中的典型应用，将梯形通过作高转化为直角三角形和矩形是解题的核心思路，需要熟练掌握锐角三角函数的定义、坡度的概念，结合已知条件准确计算对应线段长度。
【难度系数】
0.7
3. 图1是某种路灯的实物图片，图2是该路灯的平面示意图，MN为立柱的一部分，灯臂AC，支架BC与立柱MN分别交于A，B两点，灯臂AC与支架BC交于点C. 已知$∠ MAC=60°$，$∠ ACB=15°$，$AC=40$ cm，则支架BC的长约为
49
cm.（结果精确到1 cm，参考数据：$\sqrt{2}\approx1.414$，$\sqrt{3}\approx1.732$，$\sqrt{6}\approx2.449$）答案
3. 49
解析
【分析】
要计算支架BC的长度，可通过作辅助线将斜三角形转化为直角三角形求解：首先根据已知角度求出△ABC中∠ABC的度数，再过点C作CD垂直MN于点D，先在Rt△ACD中利用60°角的正弦值求出CD的长度，再在Rt△BCD中利用45°角的正弦值即可求出BC的长。
【解析】
解：过点C作CD⊥MN，垂足为点D。
1. 计算∠CAB的度数：
∵∠MAC=60°，
∴∠CAB=180°-∠MAC=120°。
2. 计算∠ABC的度数：
在△ABC中，由三角形内角和为180°得：
∠ABC=180°-∠CAB-∠ACB=180°-120°-15°=45°。
3. 在Rt△ACD中求CD的长：
已知AC=40cm，∠CAD=60°，由$\sin∠ CAD=\frac{CD}{AC}$得：
$CD=AC·\sin60°=40×\frac{\sqrt{3}}{2}=20\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
4. 在Rt△BCD中求BC的长：
已知∠CBD=45°，由$\sin∠ CBD=\frac{CD}{BC}$得：
$BC=\frac{CD}{\sin45°}=20\sqrt{3} ÷ \frac{\sqrt{2}}{2}=20\sqrt{6} ≈20×2.449≈49(\mathrm{cm})$。
【答案】
49
【知识点】
解直角三角形，三角形内角和定理，锐角三角函数
【点评】
本题结合实际场景考查解直角三角形的应用，通过作高将非直角三角形转化为直角三角形是解题的核心，要求熟练掌握特殊角的三角函数值并能准确进行近似计算。
【难度系数】
0.6
要计算支架BC的长度，可通过作辅助线将斜三角形转化为直角三角形求解：首先根据已知角度求出△ABC中∠ABC的度数，再过点C作CD垂直MN于点D，先在Rt△ACD中利用60°角的正弦值求出CD的长度，再在Rt△BCD中利用45°角的正弦值即可求出BC的长。
【解析】
解：过点C作CD⊥MN，垂足为点D。
1. 计算∠CAB的度数：
∵∠MAC=60°，
∴∠CAB=180°-∠MAC=120°。
2. 计算∠ABC的度数：
在△ABC中，由三角形内角和为180°得：
∠ABC=180°-∠CAB-∠ACB=180°-120°-15°=45°。
3. 在Rt△ACD中求CD的长：
已知AC=40cm，∠CAD=60°，由$\sin∠ CAD=\frac{CD}{AC}$得：
$CD=AC·\sin60°=40×\frac{\sqrt{3}}{2}=20\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
4. 在Rt△BCD中求BC的长：
已知∠CBD=45°，由$\sin∠ CBD=\frac{CD}{BC}$得：
$BC=\frac{CD}{\sin45°}=20\sqrt{3} ÷ \frac{\sqrt{2}}{2}=20\sqrt{6} ≈20×2.449≈49(\mathrm{cm})$。
【答案】
49
【知识点】
解直角三角形，三角形内角和定理，锐角三角函数
【点评】
本题结合实际场景考查解直角三角形的应用，通过作高将非直角三角形转化为直角三角形是解题的核心，要求熟练掌握特殊角的三角函数值并能准确进行近似计算。
【难度系数】
0.6
4.某兴趣小组为了测量大树CD的高度，先沿着斜坡AB走了52 m到达顶点B处，然后在B处测得大树顶点C的仰角为$53°$.已知斜坡AB的坡度为$i=1:2.4$，点A到大树的距离AD为66 m，求大树的高度CD.(参考数据：$\sin53°\approx\frac{4}{5},\cos53°\approx\frac{3}{5},\tan53°\approx\frac{4}{3}$)
答案
4. 大树的高度CD约为44 m.
解析
【分析】
要计算大树高度CD，需通过作辅助线构造直角三角形和矩形转化已知条件：首先过点B分别作AD、CD的垂线，得到矩形BEDF，可将CD拆分为CF与FD的和，其中FD等于B点到地面的高度BE。第一步先利用斜坡AB的坡度和AB的长度，在Rt△ABE中结合勾股定理求出BE、AE的长度；第二步用AD减去AE得到ED的长度，即Rt△BCF的直角边BF的长度；第三步在Rt△BCF中利用仰角53°的正切值求出CF的长度，最后将CF与BE相加即可得到CD的高度。
【解析】
解：过点B作$BE⊥ AD$于点E，$BF⊥ CD$于点F。
∵ $CD⊥ AD$，
∴ 四边形BEDF是矩形，
∴ $FD=BE$，$BF=ED$。
∵ 斜坡AB的坡度$i=1:2.4=\frac{BE}{AE}=\frac{5}{12}$，
∴ 设$BE=5x\ \mathrm{m}$，则$AE=12x\ \mathrm{m}$。
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AE^2+BE^2}=\sqrt{(12x)^2+(5x)^2}=13x$，
已知$AB=52\ \mathrm{m}$，
∴ $13x=52$，解得$x=4$。
∴ $BE=5×4=20\ \mathrm{m}$，$AE=12×4=48\ \mathrm{m}$，
∴ $BF=ED=AD-AE=66-48=18\ \mathrm{m}$。
在Rt△BCF中，$∠ CBF=53°$，$\tan53°\approx\frac{4}{3}$，
∴ $\tan∠ CBF=\frac{CF}{BF}$，
∴ $CF=BF·\tan53°\approx18×\frac{4}{3}=24\ \mathrm{m}$。
∴ $CD=CF+FD=CF+BE=24+20=44\ \mathrm{m}$。
【答案】
大树的高度CD约为44 m。
【知识点】
解直角三角形的应用；坡度坡角问题；仰角俯角问题
【点评】
本题属于解直角三角形的常规实际应用题，解题核心是通过辅助线将不规则图形转化为直角三角形和矩形，把已知条件整合到直角三角形中，结合勾股定理和三角函数即可完成计算。
【难度系数】
0.7
要计算大树高度CD，需通过作辅助线构造直角三角形和矩形转化已知条件：首先过点B分别作AD、CD的垂线，得到矩形BEDF，可将CD拆分为CF与FD的和，其中FD等于B点到地面的高度BE。第一步先利用斜坡AB的坡度和AB的长度，在Rt△ABE中结合勾股定理求出BE、AE的长度；第二步用AD减去AE得到ED的长度，即Rt△BCF的直角边BF的长度；第三步在Rt△BCF中利用仰角53°的正切值求出CF的长度，最后将CF与BE相加即可得到CD的高度。
【解析】
解：过点B作$BE⊥ AD$于点E，$BF⊥ CD$于点F。
∵ $CD⊥ AD$，
∴ 四边形BEDF是矩形，
∴ $FD=BE$，$BF=ED$。
∵ 斜坡AB的坡度$i=1:2.4=\frac{BE}{AE}=\frac{5}{12}$，
∴ 设$BE=5x\ \mathrm{m}$，则$AE=12x\ \mathrm{m}$。
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AE^2+BE^2}=\sqrt{(12x)^2+(5x)^2}=13x$，
已知$AB=52\ \mathrm{m}$，
∴ $13x=52$，解得$x=4$。
∴ $BE=5×4=20\ \mathrm{m}$，$AE=12×4=48\ \mathrm{m}$，
∴ $BF=ED=AD-AE=66-48=18\ \mathrm{m}$。
在Rt△BCF中，$∠ CBF=53°$，$\tan53°\approx\frac{4}{3}$，
∴ $\tan∠ CBF=\frac{CF}{BF}$，
∴ $CF=BF·\tan53°\approx18×\frac{4}{3}=24\ \mathrm{m}$。
∴ $CD=CF+FD=CF+BE=24+20=44\ \mathrm{m}$。
【答案】
大树的高度CD约为44 m。
【知识点】
解直角三角形的应用；坡度坡角问题；仰角俯角问题
【点评】
本题属于解直角三角形的常规实际应用题，解题核心是通过辅助线将不规则图形转化为直角三角形和矩形，把已知条件整合到直角三角形中，结合勾股定理和三角函数即可完成计算。
【难度系数】
0.7
