1. 如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：$\sqrt{2}$，坝高$BC=4\ \mathrm{m}$，则AB的长度为 （）

A.$2\sqrt{6}\ \mathrm{m}$
B.$4\sqrt{2}\ \mathrm{m}$
C.$4\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
D.$6\ \mathrm{m}$

1.C

【分析】
解题时首先回忆坡比的定义：坡比是坡面的铅直高度与水平宽度的比值。本题中已知坝高BC（铅直高度）和坡比，可先求出水平宽度AC的长度，再结合△ABC是直角三角形，利用勾股定理即可求出斜边AB的长度。
【解析】
∵ 迎水坡AB的坡比为$1:\sqrt{2}$，
∴ $\frac{BC}{AC}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，
已知$BC=4\ \mathrm{m}$，代入得$\frac{4}{AC}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，解得$AC=4\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
又
∵ $∠ C=90°$，△ABC为直角三角形，根据勾股定理：
$AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{4^2+(4\sqrt{2})^2}=\sqrt{16+32}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
坡比的定义，勾股定理，解直角三角形
【点评】
本题是坡度相关的基础题型，核心考查对坡比概念的掌握和勾股定理的运用，解题关键是明确坡比是铅直高度和水平宽度的比值，整体难度较低，是三角函数应用部分的常考基础题。
【难度系数】
0.7

2.如图，传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1：2，物体从地面沿着该斜坡前进了5 m，那么物体离地面的高度为 m.（结果保留根号）

2.$\sqrt{5}$

【分析】
解题首先要明确坡度的定义：坡度是坡面的铅垂高度与水平宽度的比值。本题中坡度为1:2，说明铅垂高度和水平宽度的比为1:2，我们可以设物体离地面的铅垂高度为x m，对应的水平宽度就是2x m，斜坡长度为直角三角形的斜边，长度为5m，结合勾股定理列方程求解即可。
【解析】
设物体离地面的高度为$x\ \mathrm{m}$。
∵ 斜坡AB的坡度为1:2，坡度为铅垂高度与水平宽度的比，
∴ 对应的水平宽度为$2x\ \mathrm{m}$。
由勾股定理可得：
$x^2+(2x)^2=5^2$
整理得：$5x^2=25$，即$x^2=5$。
∵ 高度为正数，
∴ $x=\sqrt{5}$（负根舍去）。
【答案】
$\sqrt{5}$
【知识点】
坡度的概念，勾股定理
【点评】
本题是基础应用类题目，解题关键是正确理解坡度的含义，将实际斜坡问题转化为直角三角形的边长计算问题，结合勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7

3.[2025·滁州三模]如图,数学兴趣小组成员站在河岸上的G点,测得河里小船C的俯角是$30°$.若该同学的眼睛与地面的距离是1.6 m,$BG=1$ m,迎水坡AB的坡度$i=4:3$,坡长$AB=10.5$ m.求此时小船C到岸边的距离AC的长.(参考数据:$\sqrt{3}\approx1.73$)

3. 此时小船C到岸边的距离AC的长约为10 m.

【分析】
解题时首先要将坡度、俯角的条件转化为直角三角形中的边角关系。第一步先过B、D分别向CA所在直线作垂线，构造直角三角形和矩形，先利用坡度和坡长AB求出坡面的垂直高度BH和水平宽度AH；再得到D点到水平面的垂直距离DE，结合俯角30°的正切值列出关于AC的方程，求解即可得到AC的长度。
【解析】
解：过点B作$BH⊥ CA$，交CA的延长线于点H，过点D作$DE⊥ CA$，交CA的延长线于点E，易知四边形$BHEG$是矩形。
$\therefore HE=BG=1\ \mathrm{m}$，$DE=BH+DG$。
$\because$迎水坡AB的坡度$i=4:3$，即$\frac{BH}{AH}=\frac{4}{3}$，
设$BH=4x\ \mathrm{m}$，$AH=3x\ \mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ ABH$中，由勾股定理得：
$AB^2=BH^2+AH^2$，代入$AB=10.5\ \mathrm{m}$，
$\therefore (4x)^2+(3x)^2=10.5^2$，
$25x^2=110.25$，
解得$x=2.1$（长度取正值），
$\therefore BH=4×2.1=8.4\ \mathrm{m}$，$AH=3×2.1=6.3\ \mathrm{m}$，
$\therefore DE=BH+DG=8.4+1.6=10\ \mathrm{m}$。
$\because$测得小船C的俯角是$30°$，$\therefore ∠ DCE=30°$，
在$\mathrm{Rt}△ CDE$中，$\tan∠ DCE=\frac{DE}{CE}$，
即$\tan30°=\frac{DE}{AC+AH+HE}$，
代入数据得：$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{10}{AC+6.3+1}$，
$\therefore AC+7.3=10\sqrt{3}\approx10×1.73=17.3$，
$\therefore AC\approx17.3-7.3=10\ \mathrm{m}$。
【答案】
此时小船C到岸边的距离AC的长约为10 m。
【知识点】
解直角三角形的应用；坡度坡角问题；俯角的应用
【点评】
本题是实际应用类题型，将坡度、俯角两个常见的解直角三角形考点结合，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形，将实际问题中的长度、角度对应到直角三角形的边角中计算。
【难度系数】
0.6

4. 已知直线$y=2x$、直线$y=3x$向上的方向与$x$轴正方向所成的角分别为$α,β$,则 （）

A.$α＞β$
B.$α=β$
C.$α＜β$
D.以上结论都不对

4.C

【分析】
要比较角α和β的大小，可结合正比例函数的图象性质判断：对于正比例函数y=kx（k＞0），比例系数k的大小决定了直线的倾斜程度，k越大，直线向上的方向与x轴正方向所成的角越大。我们只需要比较两条直线的k值大小，就能得出对应角的大小关系。
【解析】
对于直线y=kx（k＞0），k越大，直线越陡，其向上方向与x轴正方向所成的角越大。
已知直线y=2x的比例系数k₁=2，直线y=3x的比例系数k₂=3，
因为2＜3，所以y=3x更陡，对应的角β更大，即α＜β。
因此选择选项C。
【答案】
C
【知识点】
1.一次函数的图象与性质
2.直线倾斜程度与比例系数的关系
【点评】
本题属于基础题，核心考查正比例函数中比例系数k对直线倾斜程度的影响，熟练掌握k＞0时k越大直线越陡的规律即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9

5.若直线$y=kx$经过点$(3,\sqrt{3})$，则直线向上的方向与$x$轴正方向所夹的锐角$α$为。

5.$30°$

【分析】
要求直线向上方向与x轴正方向所夹的锐角α，首先要明确直线$y=kx$的斜率$k$等于该锐角的正切值，即$\tanα=k$。解题第一步先将已知点坐标代入直线解析式求出$k$的值，再结合特殊角的三角函数值，就能求出对应的锐角度数。
【解析】
将点$(3,\sqrt{3})$代入直线解析式$y=kx$，可得：
$\sqrt{3}=3k$
解得$k=\frac{\sqrt{3}}{3}$
由题意可知锐角α为直线的倾斜角，满足$\tanα=k=\frac{\sqrt{3}}{3}$
因为$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，且α为锐角，所以$α=30°$
【答案】
$30°$
【知识点】
一次函数解析式求解、斜率的几何意义、特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础题型，核心是理解一次函数中系数$k$的几何意义，熟练掌握特殊角的三角函数值即可快速得出结果，是对基础知识点应用的常规考查。
【难度系数】
0.8

6. [2024·合肥庐阳区二模]图1为我们常见的马扎，马扎上层是可以折叠但不能伸缩的帆布.图2是马扎撑开后的侧面示意图，其中腿AB和CD的长度相等，O是它们的中点，AB=60 cm，AD=41 cm.当有人坐在马扎上时，马扎的侧面示意图变成图3(假设AE与DE都是线段)，且AE=DE，点E离地面BC的距离即为马扎实际支撑的高度.若某人坐在马扎上时测得∠AOD=83.6°，他要求实际支撑高度为40 cm，请问：这款马扎能否符合他的要求？
(参考数据：$\sin 41.8°\approx\frac{2}{3}$，$\cos 41.8°\approx\frac{3}{4}$)

6. 如图,连接AD,过点O作$OH⊥ BC$于点H,延长HO交AD于点F.

根据题意可得$AB=CD=60\ \mathrm{cm},∠ AOD=83.6°$,
$OD=OC=OA=OB=30\ \mathrm{cm},AE=DE=\frac{41}{2}\ \mathrm{cm}$,
$\therefore FH$是AD的垂直平分线,$\therefore$点E在FH上,
$\therefore∠ AOF=∠ DOF=\frac{1}{2}∠ AOD=41.8°$.
易得$△ AOD≌△ BOC$,
$\therefore OH=OF=OA·\cos 41.8°\approx30×\frac{3}{4}=\frac{45}{2}(\mathrm{cm})$.
$\because AF=OA·\sin 41.8°\approx30×\frac{2}{3}=20(\mathrm{cm})$,
$\therefore EF=\sqrt{AE^2-AF^2}=\frac{9}{2}\ \mathrm{cm}$,
$\therefore EH=2OH-EF=\frac{81}{2}\ \mathrm{cm}≠40\ \mathrm{cm}$.
答:这款马扎不符合他的要求.

【分析】
要判断马扎是否符合要求，需先计算点E到地面BC的实际高度，再与40cm比较即可。解题思路如下：① 结合O是AB、CD中点，AB=CD，AE=DE的条件，作辅助线构造垂直平分线，确定所求高度在AD、BC的公共垂直平分线上；② 利用等腰三角形三线合一求出∠AOF的度数，结合三角函数计算OF、AF的长度；③ 利用全等三角形性质得到OH=OF，再通过勾股定理求出EF的长度；④ 计算E到地面的高度，和40cm比较得出结论。
【解析】
如图，连接AD，过点O作$OH⊥ BC$于点H，延长HO交AD于点F。

根据题意可得$AB=CD=60\ \mathrm{cm},∠ AOD=83.6°$，
∵O是AB、CD的中点，
∴$OD=OC=OA=OB=30\ \mathrm{cm}$，
∵帆布不可伸缩，
∴$AE=DE=\frac{41}{2}\ \mathrm{cm}$。
∵$OA=OD$，$AE=DE$，
∴FH是AD的垂直平分线，点E在FH上，
∴$∠ AOF=∠ DOF=\frac{1}{2}∠ AOD=41.8°$。
在$△ AOD$和$△ BOC$中：
$\begin{cases}OA=OB\\∠AOD=∠BOC\\OD=OC\end{cases}$
∴$△ AOD≌△ BOC(\mathrm{SAS})$，即$OH=OF$。
在$\mathrm{Rt}△ AOF$中：
$OF=OA·\cos 41.8°\approx30×\frac{3}{4}=\frac{45}{2}(\mathrm{cm})$，
$AF=OA·\sin 41.8°\approx30×\frac{2}{3}=20(\mathrm{cm})$。
在$\mathrm{Rt}△ AEF$中，由勾股定理得：
$EF=\sqrt{AE^2-AF^2}=\sqrt{(\frac{41}{2})^2-20^2}=\frac{9}{2}\ \mathrm{cm}$，
∴点E到BC的高度$EH=2OH-EF=2×\frac{45}{2}-\frac{9}{2}=\frac{81}{2}=40.5\mathrm{cm}≠40\mathrm{cm}$。
【答案】
这款马扎不符合他的要求。

【知识点】
解直角三角形的应用；等腰三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题以生活中常见的马扎为背景，将实际问题转化为几何计算问题，综合考查了全等三角形判定、等腰三角形性质、三角函数及勾股定理的应用，解题关键是正确作出辅助线，梳理清楚各线段之间的数量关系。
【难度系数】
0.6