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15.某商场销售一种微波炉和电磁炉,微波炉每台定价800元,电磁炉每台定价200元.“双十一”期间商场决定开展促销活动,活动期间向客户提供两种优惠方案.
方案一:买一台微波炉送一台电磁炉;
方案二:微波炉和电磁炉都按定价的90%付款.
现某客户要到该商场购买2台微波炉、$x(x＞2)$台电磁炉.
(1)若该客户按方案一购买,需付款元;若该客户按方案二购买,需付款元.(用含$x$的代数式表示)
(2)当$x=5$时,通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算.
方案一:买一台微波炉送一台电磁炉;
方案二:微波炉和电磁炉都按定价的90%付款.
现某客户要到该商场购买2台微波炉、$x(x＞2)$台电磁炉.
(1)若该客户按方案一购买,需付款元;若该客户按方案二购买,需付款元.(用含$x$的代数式表示)
(2)当$x=5$时,通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算.
答案
(1) $\boldsymbol{200x+1200}$；$\boldsymbol{180x+1440}$
解析
【分析】
(1) 先明确两种优惠方案的计费规则：方案一买1台微波炉送1台电磁炉，购买2台微波炉可免费获赠2台电磁炉，仅需为超出赠送数量的电磁炉付费，据此列式化简即可得到方案一的付款金额；方案二所有商品均按定价的90%付款，先计算购买商品的总定价，再乘90%化简即可得到方案二的付款金额。(2) 将$x=5$分别代入(1)中得到的两个代数式，计算出两种方案的实际付款金额，比较大小即可判断哪种方案更合算。
【解析】
(1) 按方案一购买：
购买2台微波炉的费用为$2×800=1600$元，可获赠2台电磁炉，还需额外购买$(x-2)$台电磁炉，额外购买电磁炉的费用为$200(x-2)$元，
总付款金额为：$1600 + 200(x-2) = 1600 + 200x - 400 = 200x + 1200$（元）。
按方案二购买：
2台微波炉和$x$台电磁炉的总定价为$2×800 + 200x = 1600 + 200x$元，按90%付款，
总付款金额为：$0.9×(1600 + 200x) = 1440 + 180x = 180x + 1440$（元）。
(2) 当$x=5$时：
方案一需付款：$200×5 + 1200 = 1000 + 1200 = 2200$（元），
方案二需付款：$180×5 + 1440 = 900 + 1440 = 2340$（元），
因为$2200 ＜ 2340$，所以按方案一购买较为合算。
【答案】
(1) $\boldsymbol{200x+1200}$；$\boldsymbol{180x+1440}$
(2) 当$x=5$时，按方案一购买较为合算。
【知识点】
列代数式；代数式求值；最优方案选择
【点评】
本题结合生活中的促销活动场景出题，解题核心是准确理解两种优惠方案的计费规则，正确列出对应代数式，代入数值计算后对比大小即可得到结论，主要考查学生用代数知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
(1) 先明确两种优惠方案的计费规则：方案一买1台微波炉送1台电磁炉，购买2台微波炉可免费获赠2台电磁炉，仅需为超出赠送数量的电磁炉付费，据此列式化简即可得到方案一的付款金额；方案二所有商品均按定价的90%付款，先计算购买商品的总定价，再乘90%化简即可得到方案二的付款金额。(2) 将$x=5$分别代入(1)中得到的两个代数式，计算出两种方案的实际付款金额，比较大小即可判断哪种方案更合算。
【解析】
(1) 按方案一购买：
购买2台微波炉的费用为$2×800=1600$元，可获赠2台电磁炉，还需额外购买$(x-2)$台电磁炉，额外购买电磁炉的费用为$200(x-2)$元，
总付款金额为：$1600 + 200(x-2) = 1600 + 200x - 400 = 200x + 1200$（元）。
按方案二购买：
2台微波炉和$x$台电磁炉的总定价为$2×800 + 200x = 1600 + 200x$元，按90%付款，
总付款金额为：$0.9×(1600 + 200x) = 1440 + 180x = 180x + 1440$（元）。
(2) 当$x=5$时：
方案一需付款：$200×5 + 1200 = 1000 + 1200 = 2200$（元），
方案二需付款：$180×5 + 1440 = 900 + 1440 = 2340$（元），
因为$2200 ＜ 2340$，所以按方案一购买较为合算。
【答案】
(1) $\boldsymbol{200x+1200}$；$\boldsymbol{180x+1440}$
(2) 当$x=5$时，按方案一购买较为合算。
【知识点】
列代数式；代数式求值；最优方案选择
【点评】
本题结合生活中的促销活动场景出题，解题核心是准确理解两种优惠方案的计费规则，正确列出对应代数式，代入数值计算后对比大小即可得到结论，主要考查学生用代数知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
16. 新考向·跨学科融合（2024·重庆）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图所示的是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子。第1种如图1有4个氢原子，第2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（）
A.20
B.22
C.24
D.26
A.20
B.22
C.24
D.26
答案
B
解析
【分析】
我们先观察给出的前3种化合物的氢原子数量：第1种4个，第2种6个，第3种8个，能发现每往后增加1种，氢原子的数量就增加2个，我们可以先推导第n种化合物的氢原子数量的通用表达式，再把n=10代入表达式就能算出第10种的氢原子个数。
【解析】
先整理已知的氢原子数量规律：
第1种：氢原子数 = 4 = 2×1 + 2
第2种：氢原子数 = 6 = 2×2 + 2
第3种：氢原子数 = 8 = 2×3 + 2
以此类推，可得到第n种化合物的氢原子数为 $\boldsymbol{2n+2}$
当$n=10$时，氢原子数 = $2×10 + 2 = 22$
【答案】
B
【知识点】
图形规律探究；代数式求值
【点评】
本题结合化学有机物分子结构模型考查规律探究能力，体现了跨学科融合的新考向，解题的关键是从已知数据中总结出通用的数量规律，再代入对应数值计算即可。
【难度系数】
0.8
我们先观察给出的前3种化合物的氢原子数量：第1种4个，第2种6个，第3种8个，能发现每往后增加1种，氢原子的数量就增加2个，我们可以先推导第n种化合物的氢原子数量的通用表达式，再把n=10代入表达式就能算出第10种的氢原子个数。
【解析】
先整理已知的氢原子数量规律：
第1种：氢原子数 = 4 = 2×1 + 2
第2种：氢原子数 = 6 = 2×2 + 2
第3种：氢原子数 = 8 = 2×3 + 2
以此类推，可得到第n种化合物的氢原子数为 $\boldsymbol{2n+2}$
当$n=10$时，氢原子数 = $2×10 + 2 = 22$
【答案】
B
【知识点】
图形规律探究；代数式求值
【点评】
本题结合化学有机物分子结构模型考查规律探究能力，体现了跨学科融合的新考向，解题的关键是从已知数据中总结出通用的数量规律，再代入对应数值计算即可。
【难度系数】
0.8
17. 观察一列单项式：$x, -3x^3, 7x^5, -15x^7, 31x^9, \dots$，则第$n$个单项式是 （）
A.$(-1)^{n+1}(2n - 1)x^{2n - 1}$
B.$(-1)^n(2^n - 1)x^{2n + 1}$
C.$(-1)^{n+1}(2^n - 1)x^{2n - 1}$
D.$(-1)^n(2^n + 1)x^{2n - 1}$
A.$(-1)^{n+1}(2n - 1)x^{2n - 1}$
B.$(-1)^n(2^n - 1)x^{2n + 1}$
C.$(-1)^{n+1}(2^n - 1)x^{2n - 1}$
D.$(-1)^n(2^n + 1)x^{2n - 1}$
答案
C
解析
【分析】
解决这类单项式找规律的问题，可将单项式拆成符号、系数绝对值、x的次数三个模块分别探究规律，再合并得到通用表达式：①先看符号特征：奇数项为正、偶数项为负，推导符号的表达式；②再看系数绝对值的特征：1、3、7、15、31…分析其与2的幂次的关系，推导系数绝对值的规律；③最后看x的次数特征：1、3、5、7…是连续奇数，推导次数的规律，组合后匹配选项即可，也可代入特殊值快速排除错误选项。
【解析】
我们分三步分析规律：
1. 符号规律：第1个单项式为正，第2个为负，第3个为正，奇数项正、偶数项负，因此符号部分为$\boldsymbol{(-1)^{n+1}}$（n=1时$(-1)^2=1$，符合正号要求）。
2. 系数绝对值规律：第1个系数绝对值$1=2^1-1$，第2个$3=2^2-1$，第3个$7=2^3-1$，第4个$15=2^4-1$，因此系数绝对值部分为$\boldsymbol{2^n-1}$。
3. x的次数规律：第1个次数$1=2×1-1$，第2个$3=2×2-1$，第3个$5=2×3-1$，因此x的次数部分为$\boldsymbol{2n-1}$。
将三部分组合，第n个单项式为$(-1)^{n+1}(2^n - 1)x^{2n - 1}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
单项式的概念，数字规律探究
【点评】
本题考查单项式的规律探究类问题，拆分模块逐一分析的思路清晰易懂，也可通过代入n=1、2等特殊值快速排除错误选项，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
解决这类单项式找规律的问题，可将单项式拆成符号、系数绝对值、x的次数三个模块分别探究规律，再合并得到通用表达式：①先看符号特征：奇数项为正、偶数项为负，推导符号的表达式；②再看系数绝对值的特征：1、3、7、15、31…分析其与2的幂次的关系，推导系数绝对值的规律；③最后看x的次数特征：1、3、5、7…是连续奇数，推导次数的规律，组合后匹配选项即可，也可代入特殊值快速排除错误选项。
【解析】
我们分三步分析规律：
1. 符号规律：第1个单项式为正，第2个为负，第3个为正，奇数项正、偶数项负，因此符号部分为$\boldsymbol{(-1)^{n+1}}$（n=1时$(-1)^2=1$，符合正号要求）。
2. 系数绝对值规律：第1个系数绝对值$1=2^1-1$，第2个$3=2^2-1$，第3个$7=2^3-1$，第4个$15=2^4-1$，因此系数绝对值部分为$\boldsymbol{2^n-1}$。
3. x的次数规律：第1个次数$1=2×1-1$，第2个$3=2×2-1$，第3个$5=2×3-1$，因此x的次数部分为$\boldsymbol{2n-1}$。
将三部分组合，第n个单项式为$(-1)^{n+1}(2^n - 1)x^{2n - 1}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
单项式的概念，数字规律探究
【点评】
本题考查单项式的规律探究类问题，拆分模块逐一分析的思路清晰易懂，也可通过代入n=1、2等特殊值快速排除错误选项，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
18.如图,下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律,依此规律,那么第4个图形中的x=;一般地,用含m,n的代数式表示y,那么 y=.
答案
$\boldsymbol{63}$；$\boldsymbol{m(n+1)}$（或$mn+m$）
解析
【分析】
先观察每个图形三个数的位置特征，从已知的前3组数据入手找运算关系：首先发现左下角的数总比上方的数大1：1+1=2，3+1=4，5+1=6；再看右下角的数与另外两个数的关系：第一个图形3=1×(2+1)，第二个图形15=3×(4+1)，第三个图形35=5×(6+1)，可总结规律：右下角的数=上方的数×(左下角的数+1)，再用规律求解即可。
【解析】
1. 验证规律：
第1个图：$3=1×(2+1)$
第2个图：$15=3×(4+1)$
第3个图：$35=5×(6+1)$
规律成立：右下角的数=上方的数×(左下角的数+1)
2. 计算第4个图的x：
第4个图上方数是7，左下角数是8，代入规律：
$x=7×(8+1)=7×9=63$
3. 推导通用表达式：
当上方数为$m$，左下角数为$n$时，右下角的数$y=m(n+1)$，展开也可写为$y=mn+m$。
【答案】
$\boldsymbol{63}$；$\boldsymbol{m(n+1)}$（或$\boldsymbol{mn+m}$）
【知识点】
数字规律探究、列代数式
【点评】
本题是典型的规律探究题，解题核心是通过特殊例子归纳出不同位置数字的运算关系，考查观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
先观察每个图形三个数的位置特征，从已知的前3组数据入手找运算关系：首先发现左下角的数总比上方的数大1：1+1=2，3+1=4，5+1=6；再看右下角的数与另外两个数的关系：第一个图形3=1×(2+1)，第二个图形15=3×(4+1)，第三个图形35=5×(6+1)，可总结规律：右下角的数=上方的数×(左下角的数+1)，再用规律求解即可。
【解析】
1. 验证规律：
第1个图：$3=1×(2+1)$
第2个图：$15=3×(4+1)$
第3个图：$35=5×(6+1)$
规律成立：右下角的数=上方的数×(左下角的数+1)
2. 计算第4个图的x：
第4个图上方数是7，左下角数是8，代入规律：
$x=7×(8+1)=7×9=63$
3. 推导通用表达式：
当上方数为$m$，左下角数为$n$时，右下角的数$y=m(n+1)$，展开也可写为$y=mn+m$。
【答案】
$\boldsymbol{63}$；$\boldsymbol{m(n+1)}$（或$\boldsymbol{mn+m}$）
【知识点】
数字规律探究、列代数式
【点评】
本题是典型的规律探究题，解题核心是通过特殊例子归纳出不同位置数字的运算关系，考查观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
19. NEW 新考向·推理能力“歌唱家在家唱歌”“蜜蜂酿蜂蜜”这两句话从左往右读和从右往左读，结果完全相同，文学上把这样的现象称为“回文”。数学上也有类似的“回文数”，比如252，7 887，34 143。小明在计算两位数减法的过程中意外地发现，有些等式从左往右读的结果和从右往左读的结果一样，例如：$65 - 38 = 83 - 56$；$91 - 37 = 73 - 19$；$54 - 36 = 63 - 45$。数学上把这类等式叫作“减法回文等式”。
(1)观察以上等式，请再写出一个“减法回文等式”。
(2)请归纳“减法回文等式”的被减数$\overline{ab}$(十位数字为$a$，个位数字为$b$)与减数$\overline{cd}$应满足的条件，并说明理由。
(1)观察以上等式，请再写出一个“减法回文等式”。
(2)请归纳“减法回文等式”的被减数$\overline{ab}$(十位数字为$a$，个位数字为$b$)与减数$\overline{cd}$应满足的条件，并说明理由。
答案
(1)$81-72=27-18$(答案不唯一).
(2)“减法回文等式”的被减数$\overline{ab}$(十位数字为$a$,个位数字为$b$)与减数$\overline{cd}$应满足的条件是$a-c=d-b$. 理由:$\because 10a+b-(10c+d)=10d+c-(10b+a),\therefore 10a+b-(10c+d)-10d-c+(10b+a)=0. \therefore 11a+11b-11c-11d=0. \therefore 11(a-c)=11(d-b). \therefore a-c=d-b.$
(2)“减法回文等式”的被减数$\overline{ab}$(十位数字为$a$,个位数字为$b$)与减数$\overline{cd}$应满足的条件是$a-c=d-b$. 理由:$\because 10a+b-(10c+d)=10d+c-(10b+a),\therefore 10a+b-(10c+d)-10d-c+(10b+a)=0. \therefore 11a+11b-11c-11d=0. \therefore 11(a-c)=11(d-b). \therefore a-c=d-b.$
解析
【分析】
(1) 观察给出的“减法回文等式”可发现规律：将等式左边的被减数、减数的数位分别反转后，右边的算式为反转后的减数减去反转后的被减数，且两边差值相等，按照该规律写出符合要求的等式即可。
(2) 首先回忆两位数的表示方法：十位数字为$x$、个位数字为$y$的两位数可表示为$10x+y$。再根据“减法回文等式”的定义，列出左边运算等于右边反转后运算的等式，通过整式的加减化简整理，即可推导出被减数和减数满足的条件。
【解析】
(1) 根据示例的规律，可写出等式：$81-72=27-18$（答案不唯一，符合规律即可）。
(2) 被减数$\overline{ab}$与减数$\overline{cd}$应满足的条件是$a-c=d-b$，理由如下：
根据“减法回文等式”的定义可得：$\overline{ab}-\overline{cd}=\overline{dc}-\overline{ba}$
将两位数用代数式展开得：
$10a+b-(10c+d)=10d+c-(10b+a)$
移项合并同类项得：
$10a+b-10c-d-10d-c+10b+a=0$
$11a+11b-11c-11d=0$
两边同时除以11得：
$a+b-c-d=0$
整理后可得：$a-c=d-b$
【答案】
(1)$81-72=27-18$(答案不唯一)
(2)应满足的条件是$a-c=d-b$，理由见解析。
【知识点】
1. 两位数的代数式表示
2. 整式加减运算
3. 新定义规律探究
【点评】
本题以趣味“回文”概念为载体，既考查学生的观察归纳能力，又结合整式运算考查逻辑推理能力，题型新颖，贴合核心素养考查要求。
【难度系数】
0.7
(1) 观察给出的“减法回文等式”可发现规律：将等式左边的被减数、减数的数位分别反转后，右边的算式为反转后的减数减去反转后的被减数，且两边差值相等，按照该规律写出符合要求的等式即可。
(2) 首先回忆两位数的表示方法：十位数字为$x$、个位数字为$y$的两位数可表示为$10x+y$。再根据“减法回文等式”的定义，列出左边运算等于右边反转后运算的等式，通过整式的加减化简整理，即可推导出被减数和减数满足的条件。
【解析】
(1) 根据示例的规律，可写出等式：$81-72=27-18$（答案不唯一，符合规律即可）。
(2) 被减数$\overline{ab}$与减数$\overline{cd}$应满足的条件是$a-c=d-b$，理由如下：
根据“减法回文等式”的定义可得：$\overline{ab}-\overline{cd}=\overline{dc}-\overline{ba}$
将两位数用代数式展开得：
$10a+b-(10c+d)=10d+c-(10b+a)$
移项合并同类项得：
$10a+b-10c-d-10d-c+10b+a=0$
$11a+11b-11c-11d=0$
两边同时除以11得：
$a+b-c-d=0$
整理后可得：$a-c=d-b$
【答案】
(1)$81-72=27-18$(答案不唯一)
(2)应满足的条件是$a-c=d-b$，理由见解析。
【知识点】
1. 两位数的代数式表示
2. 整式加减运算
3. 新定义规律探究
【点评】
本题以趣味“回文”概念为载体，既考查学生的观察归纳能力，又结合整式运算考查逻辑推理能力，题型新颖，贴合核心素养考查要求。
【难度系数】
0.7
